ΦΑΡΜΑΚΕΥΤΙΚΗ ΑΘΗΝΩΝ 1961

parmenides51 · #1

Εξεταστές: Κάππος - Ζερβός

1. Να προσδιορισθεί το $\displaystyle{\alpha}$ ώστε το σύστημα $\displaystyle{ \begin{cases} x+y+z=\alpha \\ x+y+z=\alpha^2 \\ x+y+z=\alpha^3 \end{cases}}$ να έχει λύση.

2. Δίνεται τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ και σημείο $\displaystyle{M}$ εσωτερικό του τριγώνου.
Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του $\displaystyle{M}$ ώστε τα σχηματιζόμενα τρίγωνα $\displaystyle{MAB}$ και $\displaystyle{MA\Gamma}$ να είναι ισοδύναμα.

3. Σε τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ δίνονται $\displaystyle{\beta=1, \alpha+\gamma=2}$ και $\displaystyle{ \widehat{A}=60^o}$ . Να επιλυθεί το τρίγωνο.

#2

parmenides51 έγραψε:Εξεταστές: Κάππος - Ζερβός

3. Σε τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ δίνονται $\displaystyle{\beta=1, \alpha+\gamma=2}$ και $\displaystyle{ \widehat{A}=60^o}$ . Να επιλυθεί το τρίγωνο.

Από Νόμο συνημιτόνων με πλευρές $\displaystyle{\alpha ,\beta = 1,\gamma = 2 - \alpha }$ και $\displaystyle{ \widehat{A}=60^o}$ .

$\displaystyle{{\alpha ^2} = 1 + {(2 - \alpha )^2} - 2(2 - \alpha )\sigma \upsilon \nu {60^0} \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{{\alpha ^2} = 1 + 4 - 4\alpha + {\alpha ^2} - 2 + \alpha \Leftrightarrow 3\alpha = 3 \Leftrightarrow \alpha = 1}$ . Οπότε και $\gamma=1$ .

Άρα το τρίγωνο είναι ισόπλευρο με πλευρά

.

#3

parmenides51 έγραψε:Εξεταστές: Κάππος - Ζερβός

1. Να προσδιορισθεί το $\displaystyle{\alpha}$ ώστε το σύστημα $\displaystyle{ \begin{cases} x+y+z=\alpha \\ x+y+z=\alpha^2 \\ x+y+z=\alpha^3 \end{cases}}$ να έχει λύση.

θα πρέπει

.

$\displaystyle{{\alpha ^3} = \alpha \Leftrightarrow \alpha (\alpha - 1)(\alpha + 1) = 0 \Leftrightarrow \alpha = 0 \vee \alpha = 1 \vee \alpha = - 1}$

$\displaystyle{{\alpha ^2} = \alpha \Leftrightarrow \alpha (\alpha - 1) = 0 \Leftrightarrow \alpha = 0 \vee \alpha = 1}$ .

Άρα θα πρέπει $\boxed{a=0}$ ή $\boxed{a=1}$ .

Και στις δύο περιπτώσεις το σύστημα έχει άπειρες λύσεις.

#4

parmenides51 έγραψε:Εξεταστές: Κάππος - Ζερβός

2. Δίνεται τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ και σημείο $\displaystyle{M}$ εσωτερικό του τριγώνου.
Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του $\displaystyle{M}$ ώστε τα σχηματιζόμενα τρίγωνα $\displaystyle{MAB}$ και $\displaystyle{MA\Gamma}$ να είναι ισοδύναμα.

: Φαρμακευτική Αθηνών-1961.png (16.41 KiB) Προβλήθηκε 1095 φορές

Έστω

ένα σημείο του γεωμετρικού τόπου. Τα τρίγωνα $\displaystyle{MAB}$ και $\displaystyle{MA\Gamma}$ έχουν κοινή βάση

και αφού είναι ισοδύναμα θα έχουν και ίσα ύψη.

Έστω ότι η

τέμνει τη $B\Gamma$ στο $\Delta$ και έστω ακόμα

και $\Gamma Z$ τα ύψη των τριγώνων που αντιστοιχούν στην πλευρά

.

Τα ορθογώνια τρίγωνα $BE\Delta, \Gamma Z\Delta$ είναι ίσα ( $\displaystyle{{\rm B}{\rm E} = \Gamma {\rm Z},{\widehat \Delta _1} = {\widehat \Delta _2}}$ ). Άρα $B\Delta=\Delta\Gamma$ .

Δηλαδή το σημείο $\Delta$ είναι το μέσο της $B\Gamma$ . Επομένως ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι το ευθύγραμμο τμήμα $A\Delta$ .

ΦΑΡΜΑΚΕΥΤΙΚΗ ΑΘΗΝΩΝ 1961

ΦΑΡΜΑΚΕΥΤΙΚΗ ΑΘΗΝΩΝ 1961

Re: ΦΑΡΜΑΚΕΥΤΙΚΗ ΑΘΗΝΩΝ 1961

Re: ΦΑΡΜΑΚΕΥΤΙΚΗ ΑΘΗΝΩΝ 1961

Re: ΦΑΡΜΑΚΕΥΤΙΚΗ ΑΘΗΝΩΝ 1961

Μέλη σε σύνδεση