ΦΥΣΙΚΟ - ΦΥΣΙΟΓΝΩΣΤΙΚΟ ΑΘΗΝΩΝ 1961

parmenides51 · #1

Εξεταστές: Κάππος - Στρατηγόπουλος

1. Δίνεται η εξίσωση $\displaystyle{x^4=x}$ . Να βρεθούν οι ρίζες της στο $\displaystyle{ \color{red}\mathbb{C}}$ και να αποδειχθούν οτι οι ρίζες αυτές επαληθεύουν την σχέση $\displaystyle{(x^2+x+1)+(x^{17}-x^5)(1-375x)\ge 0}$ .

2. Δίνεται ευθεία $\displaystyle{ (\varepsilon)}$ και δυο τεμνόμενοι κύκλοι $\displaystyle{K}$ και $\displaystyle{ \Lambda}$ . Να κατασκευαστεί κύκλος που να έχει το κέντρο του O πάνω στην ευθεία $\displaystyle{(\varepsilon) }$ και να τέμνει κάθετα τους κύκλους $\displaystyle{ K}$ και $\displaystyle{\Lambda}$ .

3. Να βρεθούν τα μεταξύ των $\displaystyle{0}$ και $\displaystyle{ 2\pi }$ τόξα που επαληθεύουν την ανισότητα $\displaystyle{\frac{4\eta\mu x\sigma\upsilon\nu x-\sqrt2}{2\sigma\upsilon\nu^2 x-3\sigma\upsilon\nu x+1}>0}$

Υ.Γ. Συμπλήρωσα στο 1ο , το σύνολο των μιγαδικών μιας και τότε τις έλυναν στο $\displaystyle{\mathbb{C}}$

#2

parmenides51 έγραψε:Εξεταστές: Κάππος - Στρατηγόπουλος

1. Δίνεται η εξίσωση $\displaystyle{x^4=x}$ . Να βρεθούν οι ρίζες της στο $\displaystyle{ \color{red}\mathbb{C}}$ και να αποδειχθούν οτι οι ρίζες αυτές επαληθεύουν την σχέση $\displaystyle{(x^2+x+1)+(x^{17}-x^5)(1-375x)\ge 0}$ .

$\displaystyle{{x^4} = x \Leftrightarrow x({x^3} - 1) = 0 \Leftrightarrow x(x - 1)({x^2} + x + 1) = 0 \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{x = 0 \vee x = 1 \vee {x^2} + x + 1 = 0}$

$\displaystyle{{x^2} + x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{ - 1}}{2} \pm i\frac{{\sqrt 3 }}{2}}$

Οι μιγαδικές ρίζες της εξίσωσης παίρνουν την τριγωνομετρική μορφή:

$\displaystyle{{x_1} = \sigma \upsilon \nu \frac{{2\pi }}{3} + i\eta \mu \frac{{2\pi }}{3},{x_2} = \sigma \upsilon \nu \left( { - \frac{{2\pi }}{3}} \right) + i\eta \mu \left( { - \frac{{2\pi }}{3}} \right)}$ .

Έστω $\displaystyle{A = ({x^2} + x + 1) + {x^5}({x^{12}} - 1)(1 - 375x)}$

● Για x=0

,

● Για

,

● Αν ο

είναι μιγαδικός, τότε x^2+x+1=0

$\displaystyle{{x^{12}} = \sigma \upsilon \nu \frac{{24\pi }}{3} \pm i\eta \mu \frac{{24\pi }}{3} = \sigma \upsilon \nu 8\pi \pm i\eta \mu 8\pi = 1}$ $\displaystyle{ \Leftrightarrow {x^{12}} - 1 = 0}$

Οπότε A=0

. Άρα σε κάθε περίπτωση $\boxed{A \ge 0}$

ΦΥΣΙΚΟ - ΦΥΣΙΟΓΝΩΣΤΙΚΟ ΑΘΗΝΩΝ 1961

ΦΥΣΙΚΟ - ΦΥΣΙΟΓΝΩΣΤΙΚΟ ΑΘΗΝΩΝ 1961

Re: ΦΥΣΙΚΟ - ΦΥΣΙΟΓΝΩΣΤΙΚΟ ΑΘΗΝΩΝ 1961

Μέλη σε σύνδεση