ΜΙΚΡΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ 1962 ΑΛΓΕΒΡΑ

parmenides51 · #1

Εξεταστής: Δ. Βυθούλκας

1. α) Να διαπιστώσετε οτι όποιοι και αν είναι οι πραγματικοί αριθμοί $\displaystyle{x}$ και $\displaystyle{y}$ , έχει μηδενική τιμή η έκφραση
$\displaystyle{A=\frac{x}{x^3+x^2y+xy^2+y^3}+\frac{y}{x^3-x^2y+xy^2-y^3}+\frac{1}{x^2-y^2}-\frac{1}{x^2+y^2}-\frac{x^2+3y^2}{x^4-y^4}}$

β) Να διαπιστώσετε οτι οποιοσδήποτε και αν είναι ο πραγματικός αριθμός $\displaystyle{x}$ , έχει τιμή μονάδα η έκφραση
$\displaystyle{B=\frac{x^4-(x-1)^2}{(x{\color{red}^2}+1)^2-x^2}+\frac{x^2-(x^2-1)^2}{x^2(x+1)^2-1}+\frac{x^2(x-1)^2-1}{x^4-(x+1)^2}}$

2. Να βρεθούν δυο διάφοροι του μηδενός αριθμοί των οποίων το άθροισμα, το γινόμενο και το πηλίκο είναι ίσα.

3. Ακέραιο ως προς $\displaystyle{x }$ πολυώνυμο, διαιρούμενο από το $\displaystyle{x^2-1 }$ δίνει ως υπόλοιπο την έκφραση $\displaystyle{3{\color{red}x}+5}$ .
Ποια είναι τα υπόλοιπα που προκύπτουν, αν το πολυώνυμο διαιρεθεί με τα διώνυμα
α) $\displaystyle{x-1}$
β) $\displaystyle{x+1}$ ;

edit's
διόρθωση (λόγω latex) τυπογραφικό στο 3ο
διόρθωση στο 1β, ευχαριστώ τον Γιώργο (Βισβίκη) που το πρόσεξε

Γιώργος Απόκης · #2

parmenides51 έγραψε:2. Να βρεθούν δυο διάφοροι του μηδενός αριθμοί των οποίων το άθροισμα, το γινόμενο και το πηλίκο είναι ίσα.

Έστω $\displaystyle{x,y\in \mathbb R^*}$ οι αριθμοί. Τότε ισχύουν $\displaystyle{xy=\frac{x}{y}~(1),~~~x+y=xy~(2)}$ .

Από την (1) έχουμε $\displaystyle{xy^2=x\Leftrightarrow x(y^2-1)=0\overset{x\ne 0}\Leftrightarrow y^2=1\Leftrightarrow y=\pm 1 }$ .

$\displaystyle{\bullet}$ Αν $\displaystyle{y=1}$ η (2) γίνεται $\displaystyle{x+1=x}$ και είναι αδύνατη

$\displaystyle{\bullet}$ Αν $\displaystyle{y=-1}$ η (2) γίνεται $\displaystyle{x-1=-x\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}}$ .

Τελικά $\displaystyle{x=\frac{1}{2},y=-1}$

Γιώργος Απόκης · #3

parmenides51 έγραψε:
3. Ακέραιο ως προς $\displaystyle{x }$ πολυώνυμο, διαιρούμενο από το $\displaystyle{x^2-1 }$ δίνει ως υπόλοιπο την έκφραση $\displaystyle{3x+5}$ .
Ποια είναι τα υπόλοιπα που προκύπτουν, αν το πολυώνυμο διαιρεθεί με τα διώνυμα
α) $\displaystyle{x-1}$
β) $\displaystyle{x+1}$ ;

Aν $\displaystyle{P(x)}$ το πολυώνυμο, η ταυτότητα της διαίρεσης γράφεται : $\displaystyle{P(x)=(x^2-1)\pi(x)+3x+5~(1)}$

α) Tο υπόλοιπο της $\displaystyle{P(x):(x-1)}$ είναι ίσο με $\displaystyle{P(1)\overset{(1)}=8}$

β) Tο υπόλοιπο της $\displaystyle{P(x):(x+1)}}$ είναι ίσο με $\displaystyle{P(-1)\overset{(1)}=2}$

#4

parmenides51 έγραψε:Εξεταστής: Δ. Βυθούλκας

1. α) Να διαπιστώσετε οτι όποιοι και αν είναι οι πραγματικοί αριθμοί $\displaystyle{x}$ και $\displaystyle{y}$ , έχει μηδενική τιμή η έκφραση
$\displaystyle{A=\frac{x}{x^3+x^2y+xy^2+y^3}+\frac{y}{x^3-x^2y+xy^2-y^3}+\frac{1}{x^2-y^2}-\frac{1}{x^2+y^2}-\frac{x^2+3y^2}{x^4-y^4}}$

β) Να διαπιστώσετε οτι οποιοσδήποτε και αν είναι ο πραγματικός αριθμός $\displaystyle{x}$ , έχει τιμή μονάδα η έκφραση
$\displaystyle{B=\frac{x^4-(x-1)^2}{(x{\color{red}^2}+1)^2-x^2}+\frac{x^2-(x^2-1)^2}{x^2(x+1)^2-1}+\frac{x^2(x-1)^2-1}{x^4-(x+1)^2}}$

α) Αν παραγοντοποιήσουμε τους παρονομαστές του πρώτου, δεύτερου και τελευταίου κλάσματος, η παράσταση

γράφεται:

$\displaystyle{{\rm A} = \frac{x}{{(x + y)({x^2} + {y^2})}} + \frac{y}{{(x - y)({x^2} + {y^2})}} + \frac{1}{{{x^2} - {y^2}}} - \frac{1}{{{x^2} + {y^2}}} - \frac{{{x^2} + 3{y^2}}}{{({x^2} - {y^2})({x^2} + {y^2})}}}$

$\displaystyle{A = \frac{{x(x - y) + y(x + y) + {x^2} + {y^2} - {x^2} + {y^2} - {x^2} - 3{y^2}}}{{({x^2} - {y^2})({x^2} + {y^2})}} = 0}$

Σχόλιο: Η σωστή εκφώνηση είναι: ...όποιοι και αν είναι οι πραγματικοί αριθμοί x και y με $\displaystyle{|x| \ne |y|}$ ...", αλλιώς η παράσταση δεν έχει νόημα πραγματικού αριθμού.

β) Παραγοντοποιούμε τις διαφορές τετραγώνων στους αριθμητές και στους παρονομαστές:

$\displaystyle{B = \frac{{({x^2} - x + 1)({x^2} + x - 1)}}{{({x^2} - x + 1)({x^2} + x + 1)}} + \frac{{( - {x^2} + x + 1)({x^2} + x - 1)}}{{({x^2} + x - 1)({x^2} + x + 1)}} + \frac{{({x^2} - x - 1)({x^2} - x + 1)}}{{({x^2} - x - 1)({x^2} + x + 1)}}}$

$\displaystyle{B = \frac{{{x^2} + x - 1 - {x^2} + x + 1 + {x^2} - x + 1}}{{{x^2} + x + 1}} = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{{x^2} + x + 1}} = 1}$

Σχόλιο: $\displaystyle{{x^2} - x + 1,{x^2} + x + 1 \ne 0}$ , για κάθε $\displaystyle{x \in R}$ .

Αλλά η παράσταση x^2+x-1

μηδενίζεται για $\displaystyle{x = \frac{{ - 1 \pm \sqrt 5 }}{2}}$

Το ίδιο συμβαίνει και για το $\displaystyle{{x^2} - x - 1}$ που μηδενίζεται για $\displaystyle{x = \frac{{1 \pm \sqrt 5 }}{2}}$

Κι εδώ λοιπόν η έκφραση: "οποιοσδήποτε και αν είναι ο πραγματικός αριθμός x" , είναι ατυχής.

ΜΙΚΡΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ 1962 ΑΛΓΕΒΡΑ

ΜΙΚΡΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ 1962 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΜΙΚΡΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ 1962 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΜΙΚΡΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ 1962 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΜΙΚΡΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ 1962 ΑΛΓΕΒΡΑ

Μέλη σε σύνδεση