ΜΙΚΡΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ 1962 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

[parmenides51]

1. Δοθέν παραλληλόγραμμο κινείται στο επίπεδο του, έτσι ώστε δυο διαδοχικές πλευρές του ή οι οι προεκτάσεις τους να διέρχονται από δυο σταθερά σημεία. Να δειχθεί οτι στην περίπτωση αυτή, η διχοτόμος της γωνίας των παραπάνω πλευρών του διέρχεται από άλλο σταθερό σημείο.


2. Έστω τα συμμετρικά των κορυφών του τριγώνου ως προς τις πλευρές αντίστοιχα. Να δειχθεί οτι
α) οι περιγεγραμμένοι κύκλοι στα τρίγωνα και διέρχονται από το ίδιο σημείο, το κοινό των
β) εαν είναι το σημείο τομής των και , η ευθεία είναι διχοτόμος της γωνίας
γ) ο περιγεγραμμένος κύκλος στο τρίγωνο διέρχεται από το κέντρο O του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου


3. Να δειχθεί οτι εαν τρεις κύκλοι διέρχονται από το ίδιο σημείο κι επανατέμνονται ανά δυο στα σημεία υπάρχει απεριόριστος αριθμός τριγώνων, των οποίων οι μεν κορυφές είναι αντίστοιχα σημεία των τριών αυτών κύκλων και οι δε πλευρές διέρχονται από τα σημεία .

[george visvikis]

1. Δοθέν παραλληλόγραμμο κινείται στο επίπεδο του, έτσι ώστε δυο διαδοχικές πλευρές του ή οι οι προεκτάσεις τους να διέρχονται από δυο σταθερά σημεία. Να δειχθεί οτι στην περίπτωση αυτή, η διχοτόμος της γωνίας των παραπάνω πλευρών του διέρχεται από άλλο σταθερό σημείο.

Μικρό Πολυτεχνείο Γεωμετρία 1963.png (8.85 KiB) Προβλήθηκε 1016 φορές

Έστω το δοθέν παραλληλόγραμμο και έστω τα σταθερά σημεία των πλευρών του και αντίστοιχα.
Αν , τότε καθώς το παραλληλόγραμμο κινείται η γωνία παραμένει σταθερή. Άρα η κορυφή κινείται σε τόξο κύκλου χορδής που δέχεται γωνία .

Ο κύκλος αυτός είναι σταθερός. Αν η μεσοκάθετος του τμήματος τέμνει το τόξο , στο οποίο δεν ανήκει το , σ' ένα σημείο , τότε και το θα είναι σταθερό σημείο.
Η είναι όμως διχοτόμος της γωνίας .

Άρα η διχοτόμος της γωνίας των πλευρών διέρχεται από το σταθερό σημείο , καθώς το παραλληλόγραμμο κινείται σύμφωνα με τα δεδομένα της άσκησης.