ΓΕΩΠΟΝΙΚΗ ΑΘΗΝΩΝ 1962 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

parmenides51 · #1

Εξεταστής: Σπ. Σαραντόπουλος

1. Δίνεται σφαίρα ακτίνας $\displaystyle{R}$ και άγεται επίπεδο που την τέμνει σε δυο μέρη $\displaystyle{A}$ και $\displaystyle{B}$ ώστε το άθροισμα του μέρους $\displaystyle{A}$ και του εγγεγραμμένου κώνου $\displaystyle{K}$ στο μέρος $\displaystyle{B}$ που έχει ως βάση την τομή της σφαίρας να έχει όγκο ίσο με τον όγκο που απομένει μετά την αφαίρεση του μέρους $\displaystyle{A}$ , του κώνου $\displaystyle{K}$ και της σφαίρας που έχει ακτίνα ίση με την απόσταση του κέντρο $\displaystyle{O }$ της δοθείσης σφαίρας από το επίπεδο που την τέμνει. Πόση θα είναι η απόσταση αυτή, εκφρασμένη συναρτήσει της ακτίνας $\displaystyle{R}$ με δεδομένο οτι το $\displaystyle{K}$ περιέχει το κέντρο $\displaystyle{O}$ ;

2. Να κατασκευασθεί κύκλος δοθείσης ακτίνας $\displaystyle{R}$ , ο οποίος να φαίνεται από δοθέν σημείο $\displaystyle{B}$ , υπό δοθείσα γωνία $\displaystyle{2\omega}$ και από ένα σημείο δοθείσας ευθείας $\displaystyle{(\varepsilon) }$ υπό την μέγιστη γωνία.

3. Να επιλυθεί τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ όταν $\displaystyle{ \widehat{A}=45^0}$ , $\displaystyle{\alpha=1.000}$ μ. και $\displaystyle{\sigma\tau\varepsilon\mu B+ \sigma\tau\varepsilon\mu \Gamma =1+\sqrt2}$

Υ.Γ. Σχετικά με το 3ο $\displaystyle{\sigma\tau\varepsilon\mu x=\frac{1}{\eta\mu x}}$

#2

parmenides51 έγραψε:3. Να επιλυθεί τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ όταν $\displaystyle{ \widehat{A}=45^0}$ , $\displaystyle{\alpha=1.000}$ μ. και $\displaystyle{\sigma\tau\varepsilon\mu B+ \sigma\tau\varepsilon\mu \Gamma =1+\sqrt2}$

Υ.Γ. Σχετικά με το 3ο $\displaystyle{\sigma\tau\varepsilon\mu x=\frac{1}{\eta\mu x}}$

Tiς ευχές μου για καλή Σαρακοστή στον ακούραστο και με τόση μεγάλη προσφορά σε όλους μας Parmenides.

Έχουμε: $\displaystyle{\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}\Rightarrow 1000\sqrt{2}= \frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}\Rightarrow}$

$\displaystyle{\frac{1}{sinB}=\frac{1000\sqrt{2}}{b}}$ και $\displaystyle{\frac{1}{sinC}=\frac{1000\sqrt{2}}{c}}$ . Με πρόσθεση κατά μέλη παίρνουμε:

$\displaystyle{\frac{1}{sinB}+\frac{1}{sinC}=1000\sqrt{2}(\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\Rightarrow 1+\sqrt{2}=1000\sqrt{2}(\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\Rightarrow}$

$\displaystyle{b+c=\frac{2+\sqrt{2}}{2000}bc}$ , (ΣΧΕΣΗ 1)

Από τον νόμο συνημιτόνων, έχουμε: $\displaystyle{a^2 =b^2 +c^2 -2bccosA\Rightarrow b^2 +c^2 -\sqrt{2}bc =1000^2 \Rightarrow}$

$\displaystyle{(b+c)^2 -2bc-\sqrt{2}bc=1000^2 \Rightarrow (\frac{2+\sqrt{2}}{2.1000}bc)^2 -(2+\sqrt{2})bc-1000^2 =0\Rightarrow}$

$\displaystyle{(2+\sqrt{2})^2 (bc)^2 -4.1000^2 (2+\sqrt{2})bc -4.1000^4 =0}$ . Από την λύση της δευτεροβάθμιας αυτής εξίσωσης, βρίσκουμε ότι:

$\displaystyle{bc=1000^2 \sqrt{2}}$ , (ΣΧΕΣΗ 2)

Τώρα η ΣΧΕΣΗ (1) γράφεται: $\displaystyle{b+c=1000(1+\sqrt{2})}$ , (ΣΧΕΣΗ 3)

Από τις σχέσεις (1) και (3) συμπεραίνουμε ότι τα $\displaystyle{b , c}$ είναι οι ρίζες της εξίσωσης: $\displaystyle{t^2 -1000(\sqrt{2}+1)t+1000^2 \sqrt{2}=0}$ της οποίαου ς η διακρίνουσα

είναι $\displaystyle{\Delta = 1000^2 [\sqrt{2}^2 +1-2\sqrt{2}]=1000^2 (\sqrt{2}-1)^2}$ , οπότε :

$\displaystyle{b=1000\sqrt{2} , c=1000}$ (ή αντιστρόφως).

Για να βρούμε τώρα και τις γωνίες του τριγώνου $\displaystyle{ABC}$ , παρατηρούμε ότι είναι ισοσκελές (με $\displaystyle{a=c ,}$ ή $\displaystyle{a=b}$ ), και εφόσον είναι $\displaystyle{A=45^{o}}$

άρα $\displaystyle{B=C=\frac{135^{o}}{2}}$ .

(Σημείωση: Αν θέλουμε και το εμβαδόν του, είναι πλέον εύκολο να το βρούμε)

ΓΕΩΠΟΝΙΚΗ ΑΘΗΝΩΝ 1962 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

ΓΕΩΠΟΝΙΚΗ ΑΘΗΝΩΝ 1962 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Re: ΓΕΩΠΟΝΙΚΗ ΑΘΗΝΩΝ 1962 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Μέλη σε σύνδεση