Μηχανικό-μαθηματικό Μόσχας, 2004 (Μάρτιος) επιλογή 1
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1797
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Μηχανικό-μαθηματικό Μόσχας, 2004 (Μάρτιος) επιλογή 1
Πρόβλημα 1: Να βρείτε το άθροισμα των εφαπτομένων όλων των , που ικανοποιούν την
.
Πρόβλημα 2: Να λύσετε την ανίσωση
Πρόβλημα 3: Να βρείτε όλες τις δυνατές τιμές του αθροίσματος της φθίνουσας αριθμητικής προόδου
όπου τυχαίος ακέραιος.
Πρόβλημα 4: Στο κυρτό τετράπλευρο οι διαγώνιοι και είναι κάθετες στις πλευρές και αντίστοιχα και το μήκος της πλευράς είναι ίσο με . Στην πλευρά βρίσκεται σημείο τέτοιο ώστε . Είναι γνωστό ότι . Να βρείτε το μήκος της τεθλασμένης και το εμβαδόν του τετραπλεύρου , αν .
Πρόβλημα 5: Να βρείτε όλες τις τιμές της παραμέτρου , για τις οποίες η εξίσωση
έχει ακριβώς τρεις λύσεις.
Πρόβλημα 6: Δίνεται σφαίρα ακτίνας 1 και κέντρου . Από σημείο εκτός σφαίρας φέρουμε τέσσερεις ευθείες. Η πρώτη ευθεία τέμνει την επιφάνεια της σφαίρα κατα σειρά στα σημεία και , η δεύτερη στα σημεία και , η τρίτη στα σημεία και , η τέταρτη στα σημεία και . Οι ευθείες και τέμνονται στο σημείο και οι ευθείες και στο σημείο . Να βρείτε τον όγκο της πυραμίδας , αν , και η γωνία μεταξύ των εδρών και είναι ίση με .
.
Πρόβλημα 2: Να λύσετε την ανίσωση
Πρόβλημα 3: Να βρείτε όλες τις δυνατές τιμές του αθροίσματος της φθίνουσας αριθμητικής προόδου
όπου τυχαίος ακέραιος.
Πρόβλημα 4: Στο κυρτό τετράπλευρο οι διαγώνιοι και είναι κάθετες στις πλευρές και αντίστοιχα και το μήκος της πλευράς είναι ίσο με . Στην πλευρά βρίσκεται σημείο τέτοιο ώστε . Είναι γνωστό ότι . Να βρείτε το μήκος της τεθλασμένης και το εμβαδόν του τετραπλεύρου , αν .
Πρόβλημα 5: Να βρείτε όλες τις τιμές της παραμέτρου , για τις οποίες η εξίσωση
έχει ακριβώς τρεις λύσεις.
Πρόβλημα 6: Δίνεται σφαίρα ακτίνας 1 και κέντρου . Από σημείο εκτός σφαίρας φέρουμε τέσσερεις ευθείες. Η πρώτη ευθεία τέμνει την επιφάνεια της σφαίρα κατα σειρά στα σημεία και , η δεύτερη στα σημεία και , η τρίτη στα σημεία και , η τέταρτη στα σημεία και . Οι ευθείες και τέμνονται στο σημείο και οι ευθείες και στο σημείο . Να βρείτε τον όγκο της πυραμίδας , αν , και η γωνία μεταξύ των εδρών και είναι ίση με .
- Christos.N
- Δημοσιεύσεις: 2105
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
- Τοποθεσία: Ίλιον
Re: Μηχανικό-μαθηματικό Μόσχας, 2004 (Μάρτιος) επιλογή 1
Να κάνουμε την αρχή.
μου θύμισε πολύ τα θέματα που λύναμε με τον Parmenides 51
απορρίπτεται λοιπόν.Al.Koutsouridis έγραψε:Πρόβλημα 1: Να βρείτε το άθροισμα των εφαπτομένων όλων των , που ικανοποιούν την
..
μου θύμισε πολύ τα θέματα που λύναμε με τον Parmenides 51
τελευταία επεξεργασία από Christos.N σε Σάβ Νοέμ 14, 2015 7:35 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
- Christos.N
- Δημοσιεύσεις: 2105
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
- Τοποθεσία: Ίλιον
Re: Μηχανικό-μαθηματικό Μόσχας, 2004 (Μάρτιος) επιλογή 1
(για ορεκτικό) Περιορισμοί:Al.Koutsouridis έγραψε:
Πρόβλημα 2: Να λύσετε την ανίσωση
Από τα παραπάνω προκύπτει
(για κυρίως γεύμα) Στην συνέχεια:
(για επιδόρπιο) Όπου η τελευταία αληθεύει για κάθε
Υ.Γ. Ευχαριστώ πολύ τον Αλέξανδρο για τις διορθώσεις του.
τελευταία επεξεργασία από Christos.N σε Σάβ Νοέμ 21, 2015 9:50 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.
Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Μηχανικό-μαθηματικό Μόσχας, 2004 (Μάρτιος) επιλογή 1
Οι ασκήσεις είναι μάλλον απλές για το συγκεκριμένο Πανεπιστήμιο. Για την παραπάνω, η συνθήκη της αριθμητικής προοόδου δίνειAl.Koutsouridis έγραψε:
Πρόβλημα 3: Να βρείτε όλες τις δυνατές τιμές του αθροίσματος της φθίνουσας αριθμητικής προόδου
όπου τυχαίος ακέραιος.
, οπότε . Επίσης, αφού έχουμε μόνο . Κρατάμε εκείνα τα που δίνουν πολλαπλάσιο του , δηλαδή τα με αντίστοιχα . Τώρα η άσκηση έγινε τετριμμένη (άμεσος έλεγχος τεσσάρων απλών περιπτώσεων).
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Μηχανικό-μαθηματικό Μόσχας, 2004 (Μάρτιος) επιλογή 1
Σωστά αλλά για χάρη πληρότητας δεν πρέπει να ξεχάσουμε να κάνουμε έλεγχο ότι τα είναι διαφορετικά μεταξύ τους. Είναι μεν απλό, αλλά απαραίτητο.Christos.N έγραψε:
- Christos.N
- Δημοσιεύσεις: 2105
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
- Τοποθεσία: Ίλιον
Re: Μηχανικό-μαθηματικό Μόσχας, 2004 (Μάρτιος) επιλογή 1
Δηλαδή να κάνω έλεγχο αν για δύο διαφορετικούς πραγματικούς αριθμούς, υπάρχουν αντίστοιχα απο δύο λύσεις για τις εφαπτομένες σε διάστημα ενός πλήρη κύκλου.Mihalis_Lambrou έγραψε:
Σωστά αλλά για χάρη πληρότητας δεν πρέπει να ξεχάσουμε να κάνουμε έλεγχο ότι τα είναι διαφορετικά μεταξύ τους. Είναι μεν απλό, αλλά απαραίτητο.
Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Μηχανικό-μαθηματικό Μόσχας, 2004 (Μάρτιος) επιλογή 1
Σωστά. Επειδή οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις είναι περιοδικές, ενδέχεται μία λύση από την μία εξίσωση να είναι λύση και της άλλης.Christos.N έγραψε: Δηλαδή να κάνω έλεγχο αν για δύο διαφορετικούς πραγματικούς αριθμούς, υπάρχουν αντίστοιχα απο δύο λύσεις για τις εφαπτομένες σε διάστημα ενός πλήρη κύκλου.
Για παράδειγμα (απευθύνομαι σε μαθητές) αν η άσκηση έλεγε να βρεθεί το άθροισμα των ριζών στο της , τότε παρατηρούμε πως η είναι ρίζα και της και της . Στο άθροισμα όμως πρέπει να την μετρήσουμε μία φορά.
Στην αρχική άσκηση είναι τετριμμένο ότι οι ρίζες των δύο εξισώσεων είναι διαφορετικές. Όμως αυτό το τεριμμένο πρέπει (για χάρη της πληρότητα πάντα) να αναφερθεί έστω και αν η διαπίστωσή του είναι άμεση. Αλλιώς πρόκειται για μικρό κενό σε επίπεδο ιδεών (σε αντιδαστολή σε κενό σε επίπεδο πράξεων).
Στην λύση που έγραψα δύο ποστ πιο πάνω (σε άλλη άσκηση), επίτηδες παρέλειψα μερικά βήματα. Για παράδειγμα έδιωξα του παρονομαστές της αριθμητικής προόδου. Κανονικά έπρεπε να το αναφέρω ρητά αλλά επειδή είναι θέμα απλών πράξεων (και όχι ιδεών), η αμαρτία αυτή συνηθίζεται να συγχωρείται. Αν κάποιος φέρει αντίρρηση στο ότι έφαγα το βήμα, θα απαντήσω ότι έχει δίκιο. Άλλο το ένα και άλλο το άλλο.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες