Μηχανικό-μαθηματικό Μόσχας (Μάρτιος 2003) επιλογή 1η
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1797
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Μηχανικό-μαθηματικό Μόσχας (Μάρτιος 2003) επιλογή 1η
Πρόβλημα 1. Να βρεθεί ο πρώτος όρος αριθμητικής προόδου ακέραιων αριθμών, για την οποία το άθροισμα των πρώτων έξι όρων διαφέρει από το άθροισμα των αμέσως επόμενων έξι όρων λιγότερο από 450 και το άθροισμα των πρώτων πέντε όρων υπερβαίνει το άθροισμα οποιαδήποτε άλλης συλλογής διαφορετικών όρων, περισσότερο από 5.
Πρόβλημα 2. Να λυθεί η ανίσωση
.
Πρόβλημα 3. Στην προέκταση προς το σημείο της διχοτόμου τριγώνου θεωρούμε σημείο τέτοιο, ώστε και . Να βρεθεί το εμβαδόν του τριγώνου . Ποιό το ελάχιστο εμβαδόν του τριγώνου δεδομένων αυτών των συνθηκών;
Πρόβλημα 4. Να βρεθεί το εμβαδόν του σχήματος που προκύπτει στο καρτεσιανό επίπεδο από το σύστημα
Πρόβλημα 5. Σημείο βρίσκεται στην τομή ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου διαστάσεων τέτοιο, ώστε
Σφαίρα με κέντρο το εφάπτεται των επιπέδων και δεν έχει κοινό σημείο με το επίπεδο . Να βρείτε την απόσταση του σημείου από αυτό το επίπεδο.
Πρόβλημα 6. Να βρείτε όλες τις τιμές της παραμέτρου , για κάθε μια από τις οποίες η απόσταση μεταξύ δυο οποινδήποτε γειτονικών ριζών της εξίσωσης
δεν υπερβαίνει το .
Πρόβλημα 2. Να λυθεί η ανίσωση
.
Πρόβλημα 3. Στην προέκταση προς το σημείο της διχοτόμου τριγώνου θεωρούμε σημείο τέτοιο, ώστε και . Να βρεθεί το εμβαδόν του τριγώνου . Ποιό το ελάχιστο εμβαδόν του τριγώνου δεδομένων αυτών των συνθηκών;
Πρόβλημα 4. Να βρεθεί το εμβαδόν του σχήματος που προκύπτει στο καρτεσιανό επίπεδο από το σύστημα
Πρόβλημα 5. Σημείο βρίσκεται στην τομή ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου διαστάσεων τέτοιο, ώστε
Σφαίρα με κέντρο το εφάπτεται των επιπέδων και δεν έχει κοινό σημείο με το επίπεδο . Να βρείτε την απόσταση του σημείου από αυτό το επίπεδο.
Πρόβλημα 6. Να βρείτε όλες τις τιμές της παραμέτρου , για κάθε μια από τις οποίες η απόσταση μεταξύ δυο οποινδήποτε γειτονικών ριζών της εξίσωσης
δεν υπερβαίνει το .
τελευταία επεξεργασία από Al.Koutsouridis σε Δευ Νοέμ 23, 2015 10:42 pm, έχει επεξεργασθεί 3 φορές συνολικά.
Re: Μηχανικό-μαθηματικό Μόσχας (Μάρτιος 2003) επιλογή 1η
Ας δούμε δύο διαφορετικά σχήματα της άσκησης. ( Είναι απολύτου ακριβείας)Al.Koutsouridis έγραψε: Πρόβλημα 3. Στην προέκταση προς το σημείο της διχοτόμου τριγώνου θεωρούμε σημείο τέτοιο, ώστε και . Να βρεθεί το εμβαδόν του τριγώνου . Ποιό το ελάχιστο εμβαδόν του τριγώνου δεδομένων αυτών των συνθηκών;
"Όλα τα λεφτά" είναι η κατασκευή ενός τέτοιου τριγώνου (υπάρχουν άπειρα) . Πάντως όλα έχουν το ίδιο εμβαδόν. το δεύτερο ερώτημα είναι μετά απλό .
.
Ν.
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1797
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Μηχανικό-μαθηματικό Μόσχας (Μάρτιος 2003) επιλογή 1η
Καλησπέρα κ.Νίκο,Doloros έγραψε:
"Όλα τα λεφτά" είναι η κατασκευή ενός τέτοιου τριγώνου (υπάρχουν άπειρα) . Πάντως όλα έχουν το ίδιο εμβαδόν. το δεύτερο ερώτημα είναι μετά απλό .
Ν.
Μια κατασκευή (μόνο η περιγραφή προς το παρόν).
Θεωρούμε ευθύγραμμο τμήμα και προς την μεριά του το προεκτείνουμε κατά . Από το και υπό γωνία 120 μοιρών προς την φέρουμε ευθεία και διαλέγουμε τυχαίο σημείο σε αυτήν ( ).
Φέρουμε το περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου και έστω το δεύτερο σημείο τομής της ευθείας με αυτόν. Με κέντρο το και ακτίνα φέρουμε κύκλο που τέμνει τον στο σημείο . Το τρίγωνο είναι το ζητούμενο με τις ιδιότητες που θέλουμε.
Re: Μηχανικό-μαθηματικό Μόσχας (Μάρτιος 2003) επιλογή 1η
Καλημέρα!
και το τρίγωνο έχει το ελάχιστο εμβαδόν όταν γίνεται ισόπλευρο εγγεγραμμένο σε κύκλο διαμέτρου , οπότε πλευρά ισοπλεύρου τριγώνου
και
Επεξεργασία: Η κατασκευή ενός τυχαίου τριγώνου και του αντίστοιχου περιγράφτηκε από τον Αλέξανδρο πιο πάνω. Να προσθέσω, το προφανές, ότι μετακινώντας το σημείο πάνω στην ευθεία το σημείο κινείται πάνω στην ευθεία και το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου πάνω στην
Για την εύρεση του ελάχιστου εμβαδού κάνω νέα ανάρτηση παρακάτω
Για την κατασκευήAl.Koutsouridis έγραψε:
Πρόβλημα 3. Στην προέκταση προς το σημείο της διχοτόμου τριγώνου θεωρούμε σημείο τέτοιο, ώστε και . Να βρεθεί το εμβαδόν του τριγώνου . Ποιό το ελάχιστο εμβαδόν του τριγώνου δεδομένων αυτών των συνθηκών;
και το τρίγωνο έχει το ελάχιστο εμβαδόν όταν γίνεται ισόπλευρο εγγεγραμμένο σε κύκλο διαμέτρου , οπότε πλευρά ισοπλεύρου τριγώνου
και
Επεξεργασία: Η κατασκευή ενός τυχαίου τριγώνου και του αντίστοιχου περιγράφτηκε από τον Αλέξανδρο πιο πάνω. Να προσθέσω, το προφανές, ότι μετακινώντας το σημείο πάνω στην ευθεία το σημείο κινείται πάνω στην ευθεία και το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου πάνω στην
Για την εύρεση του ελάχιστου εμβαδού κάνω νέα ανάρτηση παρακάτω
τελευταία επεξεργασία από ealexiou σε Δευ Νοέμ 23, 2015 10:49 am, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.
Re: Μηχανικό-μαθηματικό Μόσχας (Μάρτιος 2003) επιλογή 1η
Πότε ισχύει η ισότητα και πότε η ;;Al.Koutsouridis έγραψε:
Πρόβλημα 4. Να βρεθεί το εμβαδόν του σχήματος που προκύπτει στο καρτεσιανό επίπεδο από το σύστημα
.
Aπό την δεύτερη έχουμε τελικά: και από την πρώτη:
(πρώτη περίπτωση) ή (δεύτερη περίπτωση)
κ.λπ. εμβαδόν χωρίου με ολοκληρώματα.
Νῆφε καί μέμνασο ἀπιστεῖν˙ ἄρθρα ταῦτα γάρ φρενῶν
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Re: Μηχανικό-μαθηματικό Μόσχας (Μάρτιος 2003) επιλογή 1η
Εύρεση ελάχιστου εμβαδούAl.Koutsouridis έγραψε:
Πρόβλημα 3. Στην προέκταση προς το σημείο της διχοτόμου τριγώνου θεωρούμε σημείο τέτοιο, ώστε και . Να βρεθεί το εμβαδόν του τριγώνου . Ποιό το ελάχιστο εμβαδόν του τριγώνου δεδομένων αυτών των συνθηκών;
Είναι , όμως και επειδή (δύναμη σημείου ) άρα , άρα αρκεί να βρούμε το
Επειδή ( για ) (από νόμο συνημιτόνων)
Άρα το γίνεται ελάχιστο όταν , δηλαδή όταν το τρίγωνο γίνεται ισόπλευρο εγγεγραμμένο σε κύκλο διαμέτρου .
Οπότε, όπως έχω γράψει και παραπάνω,
Re: Μηχανικό-μαθηματικό Μόσχας (Μάρτιος 2003) επιλογή 1η
Μπορούμε να έχουμε ασφαλή μετάφραση στο πρ.1 και το πως πάνε οι διαστάσεις στο πρ.5;
Νῆφε καί μέμνασο ἀπιστεῖν˙ ἄρθρα ταῦτα γάρ φρενῶν
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1797
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Μηχανικό-μαθηματικό Μόσχας (Μάρτιος 2003) επιλογή 1η
Με συγχωρείτε αν ταλαιπώρησα κόσμο...Έκανα αναδιατύπωση στο πρώτο πρόβλημα ελπίζω πιο καθαρή.rek2 έγραψε:Μπορούμε να έχουμε ασφαλή μετάφραση στο πρ.1 και το πως πάνε οι διαστάσεις στο πρ.5;
Για το πέντε ξέχασα ένα "δεν" το σωστό είναι:
Σφαίρα με κέντρο το εφάπτεται των επιπέδων και δεν έχει κοινό σημείο με το επίπεδο .
δεν διευκρινίζεται στο πρόβλημα το πως πάνε οι διαστάσεις.
Re: Μηχανικό-μαθηματικό Μόσχας (Μάρτιος 2003) επιλογή 1η
Για να σπάσει η ένταση, που είναι και μεγάλη, αυτού του ΣΚ, γράφω μια σκέψη που ξεκλειδώνει την άσκηση. ΕίναιAl.Koutsouridis έγραψε:Πρόβλημα 1.
Πρόβλημα 5. Σημείο βρίσκεται στην τομή ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου διαστάσεων τέτοιο, ώστε
Σφαίρα με κέντρο το εφάπτεται των επιπέδων και δεν έχει κοινό σημείο με το επίπεδο . Να βρείτε την απόσταση του σημείου από αυτό το επίπεδο.
με την ισότητα να ισχύει μόνο για τα σημεία της . Τώρα,το ποια διάσταση είναι ποιά και τα λοιπά, διευθετούνται εύκολα. ( Αν δεν ξέφυγε κάτι, η ζητούμενη απόσταση είναι 3.)
Νῆφε καί μέμνασο ἀπιστεῖν˙ ἄρθρα ταῦτα γάρ φρενῶν
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Μηχανικό-μαθηματικό Μόσχας (Μάρτιος 2003) επιλογή 1η
Για το πρόβλημα 5 θα συμφωνήσω με τον Κώστα(rek2) σε όλα.
Αν θέλει κάποιος αυστηρή απόδειξη για αυτό που έγραψε για τις γωνίες
πρέπει να ανατρέξει στο θεώρημα των τριών καθέτων.
Για το πρόβλημα 6(ακόμα άλυτο) δίνω μια αρχική υπόδειξη:
Από τα δεδομένα του προβλήματος βρείτε τις ρίζες.
Αν θέλει κάποιος αυστηρή απόδειξη για αυτό που έγραψε για τις γωνίες
πρέπει να ανατρέξει στο θεώρημα των τριών καθέτων.
Για το πρόβλημα 6(ακόμα άλυτο) δίνω μια αρχική υπόδειξη:
Από τα δεδομένα του προβλήματος βρείτε τις ρίζες.
Re: Μηχανικό-μαθηματικό Μόσχας (Μάρτιος 2003) επιλογή 1η
Για το πεδίο ορισμού :
υψώνοντας στο τετράγωνο η δοσμένη ανίσωση γίνεται
(1)
Η (1) προφανώς ισχύει για x=0
Αν
είναι
Οπότε (1) γίνεται:
που είναι αδύνατη
Αν
είναι
Οπότε (1) γίνεται:
Επομένως :
Τελικά λύση της ζητούμενης ανίσωσης είναι :
υψώνοντας στο τετράγωνο η δοσμένη ανίσωση γίνεται
(1)
Η (1) προφανώς ισχύει για x=0
Αν
είναι
Οπότε (1) γίνεται:
που είναι αδύνατη
Αν
είναι
Οπότε (1) γίνεται:
Επομένως :
Τελικά λύση της ζητούμενης ανίσωσης είναι :
Γ. Μανεάδης
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 5 επισκέπτες