Λύσεις τράπεζας θεμάτων άλγεβρας σε latex

mathxl · #161

Άσκηση 488

Δίνεται η συνάρτηση

, με $f\left( x \right) = \frac{{2{x^2} - 5x + 3}}{{{x^2} - 1}}$
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της ${\rm A}$ . (Μονάδες 5)
β) Να παραγοντοποιήσετε το τριώνυμο $2{x^2} - 5x + 3$ . (Μονάδες 10)
γ) Να αποδείξετε ότι για κάθε $x \in A$ ισχύει: $f\left( x \right) = \frac{{2x - 3}}{{x + 1}}$ (Μονάδες 10)

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗ ΛΥΣΗ
α) Για να έχει νόημα πραγματικού αριθμού το κλάσμα $\frac{{2{x^2} - 5x + 3}}{{{x^2} - 1}}$ πρέπει και αρκεί: ${x^2} - 1 \ne 0 \Leftrightarrow {x^2} \ne 1 \Leftrightarrow x \ne \pm 1$ .
Επομένως το σύνολο ορισμού της συνάρτησης

είναι το $A = R - \left\{ { - 1,1} \right\}$ .
β) Το τριώνυμο $2{x^2} - 5x + 3$ έχει διακρίνουσα $\Delta = {\beta ^2} - 4\alpha \gamma = {\left( { - 5} \right)^2} - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 1 > 0$ , οπότε έχει δύο άνισες πραγματικές ρίζες, τις ${x_{1,2}} = \frac{{ - \beta \pm \sqrt \Delta }}{{2\alpha }}$
Είναι ${x_1} = \frac{{ - \left( { - 5} \right) - \sqrt 1 }}{{2 \cdot 2}} = \frac{{5 - 1}}{4} = 1$ και ${x_2} = \frac{{ - \left( { - 5} \right) + \sqrt 1 }}{{2 \cdot 2}} = \frac{{5 + 1}}{4} = \frac{3}{2}$

Άρα $2{x^2} - 5x + 3 = \alpha \left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_2}} \right) = 2\left( {x - 1} \right)\left( {x - \frac{3}{2}} \right)$ .
γ) Για κάθε $x \in A$ ισχύει:
$f\left( x \right) = \frac{{2{x^2} - 5x + 3}}{{{x^2} - 1}} = \frac{{2\left( {x - 1} \right)\left( {x - \frac{3}{2}} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{2\left( {x - \frac{3}{2}} \right)}}{{x + 1}} = \frac{{2x - 3}}{{x + 1}}$

mathxl · #162

Άσκηση 489

α) Να λύσετε την ανίσωση $\left| {x - 5} \right| < 2$ (Μονάδες 8)
β) Να λύσετε την ανίσωση $\left| {2 - 3x} \right| > 5$ (Μονάδες 8)
γ) Να παραστήσετε τις λύσεις των δύο προηγούμενων ανισώσεων στον ίδιο άξονα των πραγματικών αριθμών. Με τη βοήθεια του άξονα, να προσδιορίσετε το σύνολο των κοινών τους λύσεων και να το αναπαραστήσετε με διάστημα ή ένωση διαστημάτων.
(Μονάδες 9)

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗ ΛΥΣΗ
α) $\left| {x - 5} \right| < 2 \Leftrightarrow - 2 < x - 5 < 2 \Leftrightarrow - 2 + 5 < x - 5 + 5 < 2 + 5 \Leftrightarrow 3 < x < 7$
β) $\left| {2 - 3x} \right| > 5 \Leftrightarrow 2 - 3x > 5{\rm{ }}2 - 3x < - 5 \Leftrightarrow x < - 1{\rm{ }}x > \frac{7}{3}$
γ) όπως φαίνεται από τον άξονα το σύνολο των κοινών λύσεων είναι το διάστημα (3,7)

Στο γ ερώτημα έχω αδυναμία κατασκευής του άξονα στο γουόρντ. Αν μπορεί κάποιος ας το κατασκευάσει να το επισυνάψω

mathxl · #163

Άσκηση 490

Δίνεται το τριώνυμο $2{x^2} - 3x + 1$ .
α) Να βρείτε τις ρίζες του. (Μονάδες 10)
β) Να βρείτε τις τιμές του $x \in R$ για τις οποίες : $2{x^2} - 3x + 1 < 0$ (Μονάδες 5)
γ) Να εξετάσετε αν οι αριθμοί $\frac{{\sqrt 3 }}{2}$ και $\frac{1}{{\sqrt 2 }}$ είναι λύσεις της ανίσωσης: $2{x^2} - 3x + 1 < 0$
(Μονάδες 10)

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗ ΛΥΣΗ
α) Έχουμε $\Delta = {\beta ^2} - 4\alpha \gamma = {\left( { - 3} \right)^2} - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 1 > 0$ , οπότε έχουμε δύο άνισες πραγματικές ρίζες, τις ${x_{1,2}} = \frac{{ - \beta \pm \sqrt \Delta }}{{2\alpha }}$ .
Είναι ${x_1} = \frac{{ - \left( { - 3} \right) - \sqrt 1 }}{{2 \cdot 2}} = \frac{{3 - 1}}{4} = \frac{1}{2}$ και ${x_2} = \frac{{ - \left( { - 3} \right) + \sqrt 1 }}{{2 \cdot 2}} = \frac{{3 + 1}}{4} = 1$ .
β) $2{x^2} - 3x + 1 < 0 \Leftrightarrow x \in \left( {\frac{1}{2},1} \right)$ . Εδώ μου λείπει το πινακάκι προσήμου, όποιος μπορεί να το κατασκευάσει για να το επισυνάψω

γ) Είναι $\sqrt 1 < \sqrt 3 < \sqrt 4 \Rightarrow 1 < \sqrt 3 < 2 \Rightarrow \frac{1}{2} < \frac{{\sqrt 3 }}{2} < 1$ άρα $\frac{{\sqrt 3 }}{2} \in \left( {\frac{1}{2},1} \right)$ ( σε αυτήν την γραμμή αγνοείστε τα κόκκινα...δεν ξέρω πως βγαίνουν)
Έχουμε ότι: $\frac{1}{{\sqrt 2 }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$ .

Είναι $\sqrt 1 < \sqrt 2 < \sqrt 4 \Rightarrow 1 < \sqrt 2 < 2 \Rightarrow \frac{1}{2} < \frac{{\sqrt 2 }}{2} < 1 \Rightarrow \frac{1}{2} < \frac{1}{{\sqrt 2 }} < 1$ άρα $\frac{1}{{\sqrt 2 }} \in \left( {\frac{1}{2},1} \right)$ .
Οπότε οι αριθμοί $\frac{{\sqrt 3 }}{2}$ και $\frac{1}{{\sqrt 2 }}$ είναι λύσεις της ανίσωσης: $2{x^2} - 3x + 1 < 0$ .

pap65 · #164

Άσκηση 495

Σε γεωμετρική πρόοδο (αν) με θετικό λόγο λ, ισχύει: $\displaystyle{{{\alpha }_{3}}=1\text{ }}$ και $\displaystyle{\text{ }{{\alpha }_{5}}=4}$
α) Να βρείτε το λόγο λ της προόδου και τον πρώτο όρο της. (Μονάδες 13)
β) Να αποδείξετε ότι ο ν-οστός όρος της προόδου είναι: $\displaystyle{{{\alpha }_{\nu }}={{2}^{\nu -3}}}$ . (Μονάδες 12)

Λύση

α)

$\displaystyle{\left\{ \begin{matrix} {{\alpha }_{3}}=1 \\ {{\alpha }_{5}}=4 \\ \end{matrix} \right.}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} {{\alpha }_{1}}{{\lambda }^{2}}=1\ \,\ \ \ \left( 1 \right) \\ {{\alpha }_{1}}{{\lambda }^{4}}=4\ \quad \left( 2 \right) \\ \end{matrix} \right.$
$\overset{\frac{\left( 2 \right)}{\left( 1 \right)}}{\mathop{\Leftrightarrow }}\,\left\{ \begin{matrix} \frac{{{\alpha }_{1}}{{\lambda }^{4}}}{{{\alpha }_{1}}{{\lambda }^{2}}}=4 \\ {{\alpha }_{1}}{{\lambda }^{2}}=1 \\ \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} {{\lambda }^{2}}=4 \\ {{\alpha }_{1}}{{\lambda }^{2}}=1 \\ \end{matrix} \right.$ $\overset{\left( \lambda >0 \right)}{\mathop{\Leftrightarrow }}\,\left\{ \begin{matrix} \lambda =2 \\ {{\alpha }_{1}}\cdot {{2}^{2}}=1 \\ \end{matrix} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \lambda =2 \\ {{\alpha }_{1}}=\frac{1}{4} \\ \end{matrix} \right.$

β) ${{\alpha }_{\nu }}={{\alpha }_{1}}{{\lambda }^{\nu -1}}=\frac{1}{4}\cdot {{2}^{\nu -1}}=\frac{1}{4}\cdot \frac{{{2}^{\nu }}}{2}=\frac{{{2}^{\nu }}}{8}=\frac{{{2}^{\nu }}}{{{2}^{3}}}={{2}^{\nu -3}}$
Άρα $\displaystyle{{{\alpha }_{\nu }}={{2}^{\nu -3}}}$

Άσκηση 496

Δίνεται η εξίσωση ${{\chi }^{2}}+2\lambda \chi +4\left( \lambda -1 \right)=0$ με παράμετρο $\displaystyle{\lambda \in \mathbb{R}}$ .
α) Να βρείτε τη διακρίνουσα της εξίσωσης. (Μονάδες 8)
β) Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές για κάθε $\displaystyle{\lambda \in \mathbb{R}}$ .
(Μονάδες 8)
γ) Αν 1 2 x , x είναι οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης, τότε να βρείτε για ποια τιμή του $\lambda$ ισχύει: ${{\left( {{\chi }_{1}}+{{\chi }_{2}} \right)}^{2}}+{{\chi }_{1}}{{\chi }_{2}}+5=0$
(Μονάδες 9)

Λύση

α) $\Delta ={{\beta }^{2}}-4\alpha \gamma ={{\left( 2\lambda \right)}^{2}}-4\cdot 4\left( \lambda -1 \right)=4{{\lambda }^{2}}-16\lambda +16$

β) Βλέπουμε ότι $\Delta =4\left( {{\lambda }^{2}}-2\lambda +1 \right)=4{{\left( \lambda -1 \right)}^{2}}\ge 0$
Επομένως η παραπάνω εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές για κάθε $\displaystyle{\lambda \in \mathbb{R}}$ .

γ) Από τους τύπους Vietta παίρνουμε :

$\displaystyle{{{\chi }_{1}}+{{\chi }_{2}}=-\frac{\beta }{\alpha }=-2\lambda }$ και $\displaystyle{{{\chi }_{1}}{{\chi }_{2}}=\frac{\gamma }{\alpha }=4\left( \lambda -1 \right)}$
Επομένως ${{\left( {{\chi }_{1}}+{{\chi }_{2}} \right)}^{2}}+{{\chi }_{1}}{{\chi }_{2}}+5=0\Leftrightarrow {{\left( -2\lambda \right)}^{2}}+4\left( \lambda -1 \right)+5=0$
$\Leftrightarrow 4{{\lambda }^{2}}+4\lambda -4+5=0\Leftrightarrow 4{{\lambda }^{2}}+4\lambda +1=0$
$\Leftrightarrow {{\left( 2\lambda +1 \right)}^{2}}=0\Leftrightarrow 2\lambda +1=0\Leftrightarrow \lambda =-\frac{1}{2}$

pap65 · #165

mathxl έγραψε:Άσκηση 489

α) Να λύσετε την ανίσωση $\left| {x - 5} \right| < 2$ (Μονάδες 8)
β) Να λύσετε την ανίσωση $\left| {2 - 3x} \right| > 5$ (Μονάδες 8)
γ) Να παραστήσετε τις λύσεις των δύο προηγούμενων ανισώσεων στον ίδιο άξονα των πραγματικών αριθμών. Με τη βοήθεια του άξονα, να προσδιορίσετε το σύνολο των κοινών τους λύσεων και να το αναπαραστήσετε με διάστημα ή ένωση διαστημάτων.
(Μονάδες 9)

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗ ΛΥΣΗ
α) $\left| {x - 5} \right| < 2 \Leftrightarrow - 2 < x - 5 < 2 \Leftrightarrow - 2 + 5 < x - 5 + 5 < 2 + 5 \Leftrightarrow 3 < x < 7$
β) $\left| {2 - 3x} \right| > 5 \Leftrightarrow 2 - 3x > 5{\rm{ }}2 - 3x < - 5 \Leftrightarrow x < - 1{\rm{ }}x > \frac{7}{3}$
γ) όπως φαίνεται από τον άξονα το σύνολο των κοινών λύσεων είναι το διάστημα

Στο γ ερώτημα έχω αδυναμία κατασκευής του άξονα στο γουόρντ. Αν μπορεί κάποιος ας το κατασκευάσει να το επισυνάψω

: 489.png (25.75 KiB) Προβλήθηκε 3068 φορές

Λύσεις τράπεζας θεμάτων άλγεβρας σε latex

Re: Λύσεις τράπεζας θεμάτων άλγεβρας σε latex

Re: Λύσεις τράπεζας θεμάτων άλγεβρας σε latex

Re: Λύσεις τράπεζας θεμάτων άλγεβρας σε latex

Re: Λύσεις τράπεζας θεμάτων άλγεβρας σε latex

Re: Λύσεις τράπεζας θεμάτων άλγεβρας σε latex

Μέλη σε σύνδεση