Re: 2234-2313 , 2073 , 2080-2083

ji2mada2006 · #1

2234
Για τη μέτρηση θερμοκρασιών χρησιμοποιούνται οι κλίμακες βαθμών Κελσίου ( Celsius), Φαρενάιτ (Fahrenheit) και Κέλβιν (Kelvin) . Οι μετατροπές της θερμοκρασίας από Κελσίου σε Φαρενάιτ και από Κελσίου σε Κέλβιν , περιγράφονται από τις Π1 και Π2 :
Π1: Για να μετατρέψουμε τη θερμοκρασία από βαθμούς Κελσίου $(^{0}C)$ σε βαθμούς Φαρενάιτ $(^{0}F)$ , πολλαπλασιάζουμε τους βαθμούς Κελσίου με 1.8

και προσθέτουμε

.
Π2: Για να μετατρέψουμε τη θερμοκρασία από βαθμούς Κελσίου $(^{0}C)$ σε βαθμούς Κέλβιν $(^{0}K)$ , προσθέτουμε στους βαθμούς Κελσίου το $273^{0}$ .
α) Να εκφράσετε συμβολικά τη σχέση που περιγράφει η κάθε πρόταση . (Μονάδες )
β) Να δείξετε ότι η εξίσωση που παριστάνει τη σχέση μεταξύ της θερμοκρασίας σε βαθμούς Κέλβιν $(^{0}K)$ και της θερμοκρασίας σε βαθμούς Φαρενάιτ $(^{0}F)$ είναι η $K=\frac{F-32}{1.8}+273$ (Μονάδες )
γ) Στη διάρκεια μιας νύχτας η θερμοκρασία σε μια πόλη κυμάνθηκε από $278^{0}K$ μέχρι $283^{0}K$ . Να βρείτε το διάστημα μεταβολής της θερμοκρασίας σε $(^{0}F)$ .
(Μονάδες )

Ενδεικτική λύση

α) Π1: <<πολλαπλασιάζουμε τους βαθμούς Κελσίου με 1.8

>> $\rightarrow 1.8C$
<<και προσθέτουμε 32>> $\rightarrow 1.8C+32$
Άρα: F= 1.8⋅C+32

Π2: << προσθέτουμε στους βαθμούς Κελσίου το 273

>> $\rightarrow C+273$
Άρα: K= C+273

.

β) Λύνω την ισότητα F= 1.8⋅C+32

ως προς C.
$F= 1.8⋅C+32\Rightarrow F-32=1.8⋅C\Rightarrow C=\frac{F-32}{1.8}$ (1)
Στη σχέση K= C+273

αντικαθιστώ την (1) :
$K= C+273\Rightarrow K=\frac{F-32}{1.8}+273$ (2).

γ)<<κυμάνθηκε από $278^{0}K$ μέχρι $283^{0}K$ >> $\rightarrow 278≤ K ≤283$
$\Rightarrow 278≤\frac{F-32}{1.8}+273≤283$
$\Rightarrow 278-273≤\frac{F-32}{1.8}+273-273≤283-273\Rightarrow 5≤ \frac{F-32}{1.8} ≤10 \Rightarrow 5⋅1,8≤F-32≤10⋅1.8\Rightarrow 9≤F-32≤18\Rightarrow 9+32≤F-32+32≤18+32\Rightarrow 41^{0}F ≤F≤50^{0}F$

ji2mada2006 · #2

Σιγά σιγά θα ανεβάσω και τις υπόλοιπες .

ji2mada2006 · #3

Δίνω και το αντίστοιχο αρχείο σε docx . Περιλαμβάνει και μία από τις <<κομμένες>> ασκήσεις την 2313 .

ji2mada2006 · #4

2238
Δίνεται η εξίσωση x^2-2kx+k^2-1=0

, με παράμετρο k∈ℝ

.
α)Να δείξετε ότι για κάθε k∈ℝ

η εξίσωση έχει δυο άνισες ρίζες. (Μονάδες 6)
β)Να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης, για κάθε k∈ℝ

. (Μονάδες 6)
γ)Να βρείτε για ποιες τιμές του πραγματικού αριθμού k , οι δυο άνισες ρίζες της εξίσωσης ανήκουν στο διάστημα (-2,4)

. (Μονάδες 13)

Ενδεικτική λύση

α) x^2-2kx+k^2-1=0

Άρα το τριώνυμο 2ου βαθμού έχει δύο πραγματικές και άνισες ρίζες για κάθε k∈ℝ

β) $x_{1.2}=\frac{2k\pm 2}{2}=k\pm 1$ , k∈ℝ

γ) $-2<k+1<4\Rightarrow -3<k<3$ .
$-2<k-1<4\Rightarrow -1<k<5$ .
Οι κοινές λύσεις των δύο ανισώσεων είναι : k∈ (-1,3)

ji2mada2006 · #5

2244
Δίνονται οι ανισώσεις: |x-2|<3

και $x^{2}-2x-8\preceq 0$ .
α)Να βρείτε τις λύσεις τους. (Μονάδες 10)
β)Να δείξετε ότι οι ανισώσεις συναληθεύουν για x ∈ (-1, 4]. (Μονάδες 5)
γ)Αν οι αριθμοί $p_{1}, p_{2}$ ανήκουν στο σύνολο των κοινών λύσεων των δυο ανισώσεων, να δείξετε ότι και ο αριθμός $\frac{p_{1}+ p_{2}}{2}$ είναι κοινή τους λύση. (Μονάδες 10)
Ενδεικτική Λύση
α) $|x-2|<3\Rightarrow-3<x-2<3\Rightarrow-1<x<5$
$x^{2}-2x-8\preceq 0$
$x^{2}-2x-8= 0$
D=36 >0

Άρα το τριώνυμο 2ου βαθμού έχει δύο πραγματικές και άνισες ρίζες τις : $x_{1}=4, x_{2}=-2$
Η λύση της ανίσωσης είναι : -2≤x≤4

.
β) Θα βρούμε τις κοινές λύσεις των δύο ανισώσεων: -1<x<5

και

άρα $x\epsilon(-1,4]$
γ) Αφού $p_{1}, p_{2}\epsilon(-1,4]$ τότε : $-1<p_{1}≤4$ και $-1<p_{2}≤4$
προσθέτω κατά μέλη τις δύο ανισώσεις
$-2<p_{1}+p_{2}≤8\Rightarrow-1<\frac{p_{1}+ p_{2}}{2}≤4$
Άρα και το $\frac{p_{1}+ p_{2}}{2}\epsilon(-1,4]$ .

ji2mada2006 · #6

2255
Δίνονται οι ανισώσεις: 2≤|x|≤3

και $x^{2}-4x\preceq 0$ .
α)Να βρείτε τις λύσεις τους. (Μονάδες 10)
β)Να δείξετε ότι οι ανισώσεις συναληθεύουν για $x\epsilon[2,3]$ . (Μονάδες 5)
γ)Αν οι αριθμοί $p_{1}, p_{2}$ ανήκουν στο σύνολο των κοινών λύσεων των δυο ανισώσεων, να δείξετε ότι και ο αριθμός $\frac{p_{1}+ p_{2}}{2}$ είναι κοινή τους λύση. (Μονάδες 10)
Ενδεικτική Λύση
α) $2≤|x|≤3\Rightarrow|x|≤3$ και $|x|\succeq 2 \Rightarrow$
$|x|≤3\Rightarrow-3≤x≤3$ και
$|x|\succeq 2 \Rightarrow x\succeq 2$ ή x≤-2

Οι κοινές λύσεις της διπλής ανίσωσης είναι : $x\epsilon[-3,-2]∪[2,3]$
$x^{2}-4x< 0$
$x^{2}-4x= 0$
Άρα το τριώνυμο 2ου βαθμού έχει δύο πραγματικές και άνισες ρίζες τις : $x_{1}=0, x_{2}=4$
Η λύση της ανίσωσης είναι : 0<x<4

.
β) Θα βρούμε τις κοινές λύσεις των δύο ανισώσεων: $x\epsilon[-3,-2]∪[2,3]$ και 0<x<4

άρα $x\epsilon[2,3]$
γ) Αφού $p_{1}, p_{2}\epsilon[2,3]$ τότε : $2≤p_{1}≤3$ και $2≤p_{2}≤3$
προσθέτω κατά μέλη τις δύο ανισώσεις
$4≤p_{1}+p_{2}≤6\Rightarrow 2≤\frac{p_{1}+ p_{2}}{2}≤3$
Άρα και το $\frac{p_{1}+ p_{2}}{2}\epsilon[2,3]$

ji2mada2006 · #7

2273
Δίνονται οι ανισώσεις: |x+1|≤2

και $x^{2}-x-2> 0$ .
α) Να λύσετε τις ανισώσεις . (Μονάδες 10)
β) Να δείξετε ότι οι ανισώσεις συναληθεύουν για $x\epsilon [-3, -1)$ . (Μονάδες 5)
γ) Αν οι αριθμοί $p_{1}, p_{2}$ ανήκουν στο σύνολο των κοινών λύσεων των δυο ανισώσεων, να δείξετε ότι $p_{1}-p_{2}\epsilon(-2,2)$ (Μονάδες 10)
Ενδεικτική Λύση
α) $|x+1|≤2\Rightarrow-2≤x+1≤2\Rightarrow-3≤x≤1$
$x^{2}-x-2> 0$
$x^{2}-x-2= 0$
D=9 >0

Άρα το τριώνυμο 2ου βαθμού έχει δύο πραγματικές και άνισες ρίζες τις : $x_{1}=2, x_{2}=-1$
Η λύση της ανίσωσης είναι : x<-1

ή

.
β) Θα βρούμε τις κοινές λύσεις των δύο ανισώσεων: -3≤x≤1

και (

ή

) άρα $x \epsilon[-3,-1)$
γ) Αφού $p_{1}, p_{2} \epsilon[-3,-1)$ τότε : $-3≤p_{1}<-1$ και $-3≤p_{2}<-1\Rightarrow 3≥-p_{2}>1\Rightarrow 1<-p_{2}≤3$
προσθέτω κατά μέλη τις δύο ανισώσεις
$-2<p_{1}-p_{2}<2$
Άρα $p_{1}-p_{2} \epsilon(-1,2)$

ji2mada2006 · #8

2287
Δίνεται ένας πραγματικός αριθμός

που ικανοποιεί τη σχέση: d (x, 5) ≤ 9

.
α) Να αποδώσετε την παραπάνω σχέση λεκτικά. (Μονάδες 5)
β) Με χρήση του άξονα των πραγματικών αριθμών, να παραστήσετε σε μορφή διαστήματος το σύνολο των δυνατών τιμών του

. (Μονάδες 5)
γ) Να γράψετε τη σχέση με το σύμβολο της απόλυτης τιμής και να επιβεβαιώσετε με αλγεβρικό τρόπο το συμπέρασμα του ερωτήματος (β).(Μονάδες 10)
δ) Να χρησιμοποιήσετε το συμπέρασμα του ερωτήματος (γ) για να δείξετε ότι: |x+4| +|x-14|=18

(Μονάδες 5)

Ενδεικτική Λύση

α) $d (x, 5) ≤ 9 \Rightarrow$ Η απόσταση του x από το 5 είναι μικρότερη ή ίση του 9 .
β)

: ajonas.png (4.35 KiB) Προβλήθηκε 6571 φορές

γ) $d (x, 5) ≤ 9 \Rightarrow|x-5|≤9 \Rightarrow-9≤x-5≤9 \Rightarrow-4≤x≤14$
δ) $-4≤x≤14\Rightarrow$
$-4≤x\Rightarrow x+4≥0\Rightarrow |x+4|=x+4$
$x≤14\Rightarrow x-14≤0 \Rightarrow|x-14|=-x+14$
Άρα |x+4| +|x-14| = x +4 - x +14 = 18

ji2mada2006 · #9

2301
Δίνονται τα σημεία Α , Β και Μ που παριστάνουν στον άξονα των πραγματικών αριθμών τους αριθμούς -2 , 7

και

αντίστοιχα,με -2 < x < 7

.
α) Να διατυπώσετε τη γεωμετρική ερμηνεία των παραστάσεων.
|x+2|

(Μονάδες 4)
|x-7|

(Μονάδες 4)
β) Με τη βοήθεια του άξονα να δώσετε τη γεωμετρική ερμηνεία του αθροίσματος:
|x+2|+|x-7|

(Μονάδες 5)
γ) Να βρείτε την τιμή της παράστασης A =|x+2|+|x-7|

γεωμετρικά. (Μονάδες 5)
δ) Να επιβεβαιώσετε αλγεβρικά το προηγούμενο συμπέρασμα. (Μονάδες 7)

Ενδεικτική Λύση

Αφού -2 < x < 7

, τότε στον άξονα των πραγματικών αριθμών έχουμε :

: ajonas.png (2.38 KiB) Προβλήθηκε 6428 φορές

α)

απόσταση του Μ από το Α = (ΑΜ).
|x-7|=

απόσταση του Μ από το Β = (ΒΜ).

β) |x+2|+|x-7|=

(ΑΜ)+(ΒΜ) = το άθροισμα των 2 αποστάσεων του σημείου Μ από τα σταθερά σημεία Α , Β .

γ) A= |x+2|+|x-7|=

(ΑΜ)+(ΒΜ)=(ΑΒ)=

αφού το σημείο Μ είναι εσωτερικό του ευθ. τμήματος ΑΒ.
δ) Αφού $-2 < x < 7\Rightarrow$
$-2<x\Rightarrow x+2>0\Rightarrow |x+2|=x+2$
$x<7\Rightarrow x-7<0\Rightarrow |x-7|=-x+7$
A =|x+2|+|x-7| = x+2-x+7 = 9

ji2mada2006 · #10

2302
Σε έναν άξονα τα σημεία Α , Β και Μ αντιστοιχούν στους αριθμούς 5, 9

και

αντίστοιχα.
α) Να διατυπώσετε τη γεωμετρική ερμηνεία των παραστάσεων |x-5|

και

. (Μονάδες 10)
β) Αν ισχύει |x-5|=|x-9|

. Ποια γεωμετρική ιδιότητα του σημείου Μ αναγνωρίζετε; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 7)
γ) Με χρήση του άξονα, να προσδιορίσετε τον πραγματικό αριθμό

που παριστάνει το σημείο Μ. Να επιβεβαιώσετε με αλγεβρικό τρόπο την απάντησή σας. (Μονάδες 8)

Ενδεικτική Λύση

: ajones.png (7.45 KiB) Προβλήθηκε 6360 φορές

α)

= απόσταση του Μ από το Α = (ΑΜ).
|x-9|

= απόσταση του Μ από το Β = (ΒΜ).

β) Αφού $|x-5|=|x-9|\Rightarrow$ (ΑΜ)=(ΒΜ) δηλαδή το σημείο Μ είναι το μέσο του ευθ. τμήματος ΑΒ αφού ισαπέχει από τα άκρα του.
γ) Το μέσο Μ του ευθ. τμήματος ΑΒ είναι το κέντρο του διαστήματος [5,9]

Δηλ. $x=\frac{5+9}{2}=7$ .
Έχουμε $|x-5|=|x-9|\Rightarrow$
$x-5=x-9 \Rightarrow -5=-9$ ΑΔΥΝΑΤΟ
$x-5=-x+9 \Rightarrow 2x=5+9 \Rightarrow x=7$

================
προστέθηκαν στο ευρετήριο
Φωτεινή.

ji2mada2006 · #11

2305
Δίνονται οι συναρτήσεις f ( x) = 4x +2

και $g( x) = x^{2}-9$ με πεδίο ορισμού το $\mathbb{R}$ .
α) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης

με τον άξονα x'x

. (Μονάδες 6)
β) Να εξετάσετε αν η γραφική παράσταση της

τέμνει τους άξονες σε κάποιο από τα σημεία (3, 0)

και

. (Μονάδες 4)
γ) Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει σημείο του άξονα x'x

, που η τετμημένη του να ικανοποιεί τη σχέση f (x) = g (x)

. (Μονάδες 8)
δ) Να βρείτε συνάρτηση

, που η γραφική της παράσταση να είναι ευθεία και να τέμνει τη γραφική παράσταση της

σε σημείο του άξονα x'x

. (Μονάδες 7)

Ενδεικτική Λύση

α) Θα βρώ, που η

τέμνει τον άξονα x'x

: $y=g( x) \Rightarrow x^{2}-9=0\Rightarrow x=±3$ άρα η γραφική παράσταση της

τέμνει τον άξονα x'x

στα σημεία Α (-3,0)

και Β

.

β) Έστω y=f( x)

, εξετάζω αν τα σημεία (3,0)

,

ανήκουν στη γραφ. παράσ. της

$0=f(3)\Rightarrow 0=4⋅3+2\Rightarrow 0=14$ Αδύνατο άρα η

δεν διέρχεται από το σημείο (3,0)

.
$0=f(-3)\Rightarrow 0=4⋅(-3)+2\Rightarrow 0=-10$ Αδύνατο άρα η

δεν διέρχεται από το σημείο (-3,0)

.

γ) Τα μοναδικά σημεία στα οποία η γραφική παράσταση της

τέμνει τον άξονα x'x

είναι τα Α (-3,0)

και Β

από τα οποία δεν διέρχεται η γραφική παράσταση της

, άρα η σχέση f (x) = g (x)

δεν ικανοποιείται από τετμημένες σημείων του x'x

.

δ) Αφού η συνάρτηση

έχει γραφική παράσταση ευθεία τότε θα είναι της μορφής h(x)=ax+b

με $a,b\epsilon \mathbb{R}$ και έστω ότι διέρχεται από το σημείο Α (-3,0)

της γραφικής παράστασης της

.
Τότε έχουμε $h(-3)=a(-3)+b \Rightarrow 0=-3a+b \Rightarrow b=3a$
Άρα η συνάρτηση

έχει γενική μορφή h(x)=ax+3a

και τέμνει την γραφ. παρ. της

sτο σημείο Α (-3,0)

του

.
Αν θέσω μία τιμή στο

,
π.χ. a=1

η συνάρτηση γίνεται h(x)=x+3

.
Με παρόμοιο τρόπο θα δουλεύαμε αν επιλέγαμε το σημείο Β (3,0)

.

ji2mada2006 · #12

4 2073
Οι δράστες μιας κλοπής διέφυγαν μ’ ένα αυτοκίνητο και μετά από την κατάθεση διαφόρων μαρτύρων έγινε γνωστό ότι ο τετραψήφιος αριθμός της πινακίδας του αυτοκινήτου είχε πρώτο και τέταρτο ψηφίο το

. Το δεύτερο ψηφίο ήταν

ή

και το τρίτο ψηφίο του ήταν

ή

.
α) Με χρήση δενδροδιαγράμματος, να προσδιορίσετε το σύνολο των δυνατών αριθμών της πινακίδας του αυτοκινήτου.
(Μονάδες 13)
β) Να υπολογίσετε τις πιθανότητες των παρακάτω ενδεχομένων
Α: Το τρίτο ψηφίο του αριθμού της πινακίδας είναι το

.
Β: Το δεύτερο ψηφίο του αριθμού της πινακίδας είναι

ή

.
Γ: Το δεύτερο ψηφίο του αριθμού της πινακίδας δεν είναι ούτε

ούτε

.
(Μονάδες 12)
Ενδεικτική λύση
α)

: dedrogramma.GIF (9.14 KiB) Προβλήθηκε 6049 φορές

Οι πιθανοί αριθμοί της πινακίδας είναι :
Ω={ 2642 , 2672 , 2842 , 2872 , 2942 , 2972

}
β) Αφού Ω={ 2642 , 2672 , 2842 , 2872 , 2942 , 2972

} τότε το πλήθος των στοιχείων του Ω είναι $N(\Omega )=6$ .
Έστω το ενδεχόμενο Α= << Το τρίτο ψηφίο του αριθμού της πινακίδας είναι το

>> άρα Α={ 2672 , 2872 , 2972

) , οπότε το πλήθος των στοιχείων του Α είναι N(A)=3

. Επιλέγουμε στην τύχη μία από τις

(ισοπίθανες ) πινακίδες , η πιθανότητα να ανήκει στο ενδεχόμενο Α είναι : Ρ(Α)= $\frac{N(A)}{N(\Omega )}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\Rightarrow P(A)= \frac{1}{2}$ .
Έστω το ενδεχόμενο
B = <<Το δεύτερο ψηφίο του αριθμού της πινακίδας είναι

ή

.>>
άρα Β = { 2642 , 2672 , 2842 , 2872

} , οπότε το πλήθος των στοιχείων του Β είναι N(B)=4

. Επιλέγουμε στην τύχη μία από τις

(ισοπίθανες ) πινακίδες η πιθανότητα να ανήκει στο ενδεχόμενο B είναι : Ρ(B)= $\frac{N(B)}{N(\Omega )}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\Rightarrow P(B)= \frac{2}{3}$ .

Έστω το ενδεχόμενο
Γ = << Το δεύτερο ψηφίο του αριθμού της πινακίδας δεν είναι ούτε

ούτε

>>
Άρα να είναι

οπότε Γ={ 2642 , 2672

} , οπότε το πλήθος των στοιχείων του Γ είναι $N(\Gamma)=2$ . Επιλέγουμε στην τύχη μία από τις

(ισοπίθανες ) πινακίδες η πιθανότητα να ανήκει στο ενδεχόμενο Γ είναι : Ρ(Γ)= $\frac{N(\Gamma)}{N(\Omega )}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\Rightarrow P(\Gamma)= \frac{1}{3}$ .

ji2mada2006 · #13

4 2080
Από μια έρευνα μεταξύ μαθητών ενός Λυκείου της χώρας, προέκυψε ότι το

% των
μαθητών πίνει γάλα ή τρώει δυο φέτες ψωμί με βούτυρο και μέλι στο σπίτι το πρωί.
Επιλέγουμε ένα μαθητή στην τύχη και ορίζουμε τα ενδεχόμενα:
Α: ο μαθητής πίνει γάλα
Β: ο μαθητής τρώει δυο φέτες ψωμί με βούτυρο και μέλι
Αν από το σύνολο των μαθητών το

% πίνει γάλα και το

% τρώει δυο φέτες ψωμί με βούτυρο και μέλι,
α) Να ορίσετε με χρήση της γλώσσας των συνόλων τα ενδεχόμενα:
i) ο μαθητής ούτε να πίνει γάλα ούτε να τρώει δυο φέτες ψωμί με βούτυρο και μέλι
ii) ο μαθητής να πίνει γάλα και να τρώει δυο φέτες ψωμί με βούτυρο και μέλι
iii) ο μαθητής να πίνει μόνο γάλα. (Μονάδες 12)
β) Να υπολογίσετε την πιθανότητα πραγματοποίησης των ενδεχομένων του α) ερωτήματος.
(Μονάδες 13)
Ενδεικτική λύση

α) Α= <<ο μαθητής πίνει γάλα >>
Β= <<ο μαθητής τρώει δυο φέτες ψωμί με βούτυρο και μέλι>>
........... (AUB)'

.......................... $A\cap B$ ...................... A–B

................

: Ευχαριστώ τον Γ. Καλαθάκη για τα σχήματα .; Venn.png (6.82 KiB) Προβλήθηκε 5828 φορές

i) Γ=<< ο μαθητής ούτε να πίνει γάλα , ούτε να τρώει δυο φέτες ψωμί με βούτυρο και μέλι>> = (AUB)'

ii) Δ=<< ο μαθητής να πίνει γάλα και να τρώει δυο φέτες ψωμί με βούτυρο και μέλι >> = $A\cap B$ .

iii) Ε=<< ο μαθητής να πίνει μόνο γάλα >> = A–B

.

β) Από την εκφώνηση έχουμε :

• το

% των μαθητών πίνει γάλα ή τρώει δυο φέτες ψωμί με βούτυρο και μέλι στο σπίτι το πρωί άρα : P(AUB)=0,8.

• το

% πίνει γάλα άρα : P( A) = 0,6

• το

% τρώει δυο φέτες ψωμί με βούτυρο και μέλι, άρα : P( B) = 0,45

.

$P( \Gamma ) = P((AUB)') = 1- P(AUB) = 1-0,8=0,2 \Rightarrow P(\Gamma) = P((AUB)') =0,2$
$P(\Delta ) = P( A\cap B) = P(A) + P(B) – P(AUB) = 0,6+0,45-0,8= 0,25$
$P(E)=P(A-B)=P(A)-P(A\cap B) = 0,6-0,25=0,35.$

ji2mada2006 · #14

4 2081
Δίνεται η εξίσωση $kx^{2}+2(k-1)x+k-2=0 (1)$ με παράμετρο $k\epsilon \mathbb{R}$
α) Να λύσετε την εξίσωση όταν k=0

. (Μονάδες 5)
β) Έστω $k\neq 0$ .
i. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση (1)

έχει ρίζες πραγματικές και άνισες, τις
οποίες στη συνέχεια να βρείτε. (Μονάδες 10)
ii. Αν $x_{1}=-1$ και $x_{2}=-1+\frac{2}{k}$ είναι οι δυο ρίζες της εξίσωσης (1)

, να
προσδιορίσετε τις τιμές του

, για τις οποίες ισχύει $| x_{1}- x_{2} | > 1$ . (Μονάδες 10)

Ενδεικτική λύση

α) $kx^{2}+2(k-1)x+k-2=0\Rightarrow0x^{2}+2(0-1)x+0-2=0\Rightarrow-2x-2=0\Rightarrow x=-1$

β) Για $k\neq 0$ έχουμε :
i. $kx^{2}+2(k-1)x+k-2=0 (1)$ ,
α =

, β =

, γ =

$\Delta=(2(k-1))^{2}-4⋅k⋅(k-2) = 4(k-1)^{2}-4⋅k^{2}+8k=4>0$

Άρα το τριώνυμο 2ου βαθμού έχει δύο πραγματικές και άνισες ρίζες.

$x_{1,2}=\frac{-2(k-1)±2}{2k} \Rightarrow x_{1}=-1 , x_{2}=-1+\frac{2}{k}$

ii. $| x_{1}- x_{2} | > 1\Rightarrow | -1-(-1+\frac{2}{k}) | > 1\Rightarrow |- \frac{2}{k} | > 1\Rightarrow | k |<2 \Rightarrow k\epsilon (-2,0)U(0.2)$

ji2mada2006 · #15

4 2083
Ένα κλειστό στάδιο έχει

σειρές καθισμάτων. Στην πρώτη σειρά έχει

καθίσματα και καθεμιά από τις επόμενες σειρές έχει δυο καθίσματα παραπάνω από την προηγούμενη.
α) Να βρείτε πόσα καθίσματα έχει η μεσαία και πόσα η τελευταία σειρά. (Μονάδες 10)
β) Να υπολογίσετε την χωρητικότητα του σταδίου. (Μονάδες 5)
γ) Οι μαθητές ενός Λυκείου προκειμένου να παρακολουθήσουν μια εκδήλωση, κατέλαβαν όλα τα καθίσματα από την

η μέχρι και την

η σειρά. Να βρείτε το πλήθος των μαθητών του Λυκείου. (Μονάδες 10)

Ενδεικτική λύση

α) Αφού τα καθίσματα από σειρά σε σειρά αυξάνονται κατά δύο, τότε έχουμε
αριθμητική πρόοδο με

ο όρο $a_{1}=12$ και διαφορά ω=

.

Οι σειρές του σταδίου είναι

(περιττός) άρα υπάρχει μεσαία σειρά και είναι η
$\frac{25+1}{2}=13^{n}$ .
Θα βρούμε πόσα καθίσματα έχει η $13^{n}(a_{13})$ και η τελευταία ,δηλ. η $25^{n}(a_{25})$ .
$a_{13}=12+(13-1)\cdot2=36$
Δηλ. η μεσαία σειρά έχει

καθίσματα .

$a_{25}=12+(25-1)\cdot2=60$
Δηλ. η τελευταία σειρά έχει

καθίσματα .

β) Για να βρω τη χωρητικότητα του σταδίου θα προσθέσω τα καθίσματα και των

σειρών , δηλ. $a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{25}=S_{25}$
$S_{25}=\frac{ a_{1} +a_{25}}{2}\cdot25=\frac{ 12 +60}{2}\cdot25=900$ θέσεις έχει το στάδιο .

γ) Το πλήθος των καθισμάτων από την

η έως την

η σειρά δίνεται από το άθροισμα:
$a_{7}+a_{8}+a_{9}+...+a_{14}=S_{14}-S_{6}$ (1)

$S_{14}=\frac{2a_{1}+(14-1)\cdot2 }{2}\cdot14=350$ θέσεις έχουν οι

πρώτες σειρές .

$S_{6}=\frac{2a_{1}+(6-1)\cdot2 }{2}\cdot6=102$ θέσεις έχουν οι

πρώτες σειρές .

Άρα $(1)\Rightarrow 350-102=248$ θέσεις . Άρα το Λύκειο έχει 248

μαθητές .