ΝΕΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ 4ο ΘΕΜΑ

hlkampel · #21

Άσκηση 4-13527

Έστω τρίγωνο ${\rm A}{\rm B}\Gamma$ και ${\mu _\beta },{\mu _\gamma }$ οι διάμεσοι του τριγώνου που αντιστοιχούν στις πλευρές $\beta$ και $\gamma$ αντίστοιχα. Δίνεται η ακόλουθη πρόταση:
Π: Αν το τρίγωνο ${\rm A}{\rm B}\Gamma$ είναι ισοσκελές με $\beta = \gamma$ , τότε οι διάμεσοι ${\mu _\beta },{\mu _\gamma }$ είναι ίσες.
α) Να εξετάσετε αν ισχύει η πρόταση Π, αιτιολογώντας την απάντησή σας. (Μονάδες 10)
β) Να διατυπώσετε την αντίστροφη πρόταση της Π και να εξετάσετε αν ισχύει αιτιολογώντας την απάντησή σας. (Μονάδες 10)
γ) Στην περίπτωση που οι δυο προτάσεις, η Π και η αντίστροφή της ισχύουν, να τις διατυπώσετε ως ενιαία πρόταση. (Μονάδες 5)

Λύση

α) Έστω ότι το τρίγωνο ${\rm A}{\rm B}\Gamma$ είναι ισοσκελές με $\beta = \gamma$ και διαμέσους ${\rm B}\Delta = {\mu _\beta }$ και $\Gamma {\rm E} = {\mu _\gamma }$ τότε:
Τα τρίγωνα ${\rm A}{\rm B}\Delta$ και ${\rm A}{\rm E}\Gamma$ είναι ίσα από $\Pi - \Gamma - \Pi$ αφού έχουν:
${\rm A}{\rm B} = {\rm A}\Gamma$ από υπόθεση, $\widehat {\rm A}$ κοινή γωνία και ${\rm A}{\rm E} = {\rm A}\Delta$ ως μισά των ίσων πλευρών $\beta ,\gamma$
Άρα έχουν και ${\rm B}\Delta = \Gamma {\rm E} \Rightarrow {\mu _\beta } = {\mu _\gamma }$ δηλαδή η πρόταση Π ισχύει.

β) Η αντίστροφη πρόταση της Π είναι:
Π1: Αν σε τρίγωνο ${\rm A}{\rm B}\Gamma$ οι διάμεσοι ${\mu _\beta },{\mu _\gamma }$ είναι ίσες, τότε είναι ισοσκελές με $\beta = \gamma$ .
Η πρόταση αυτή ισχύει αφού:
Αν οι διάμεσοι ${\mu _\beta },{\mu _\gamma }$ είναι ίσες και τέμνονται στο σημείο $\Theta$ θα είναι ${\rm B}\Theta = \dfrac{2}{3}{\mu _\beta }$ και $\Gamma \Theta = \dfrac{2}{3}{\mu _\gamma }$
επειδή το $\Theta$ είναι βαρύκεντρο του τριγώνου ${\rm A}{\rm B}\Gamma$ , οπότε και ${\rm B}\Theta = \Gamma \Theta \;\left( 1 \right)$
Από την $\left( 1 \right)$ συμπεραίνουμε ότι το τρίγωνο ${\rm B}\Theta \Gamma$ είναι ισοσκελές οπότε $\widehat {\Gamma {\rm B}\Delta } = \widehat {{\rm E}\Gamma {\rm B}}\;\left( 2 \right)$
Τα τρίγωνα ${\rm B}\Gamma \Delta$ και ${\rm B}\Gamma {\rm E}$ είναι ίσα από $\Pi - \Gamma - \Pi$ αφού έχουν:
${\rm B}\Gamma$ κοινή πλευρά, $\widehat {\Gamma {\rm B}\Delta } = \widehat {{\rm E}\Gamma {\rm B}}$ από τη σχέση $\left( 2 \right)$ και ${\rm B}\Delta = \Gamma {\rm E}$ από υπόθεση
έτσι θα έχουν και $\widehat {\rm B} = \widehat \Gamma$ οπότε το τρίγωνο ${\rm A}{\rm B}\Gamma$ είναι ισοσκελές με $\beta = \gamma$ .

γ) Οι δυο αυτές προτάσεις εκφράζονται ως μία ως εξής:
Αν ένα τρίγωνο ${\rm A}{\rm B}\Gamma$ είναι ισοσκελές με $\beta = \gamma$ , τότε οι διάμεσοι ${\mu _\beta },{\mu _\gamma }$ είναι ίσες και αντιστρόφως.
ή
Ένα τρίγωνο ${\rm A}{\rm B}\Gamma$ είναι ισοσκελές με $\beta = \gamma$ , αν και μόνο αν οι διάμεσοι ${\mu _\beta },{\mu _\gamma }$ είναι ίσες.

: 13527.png (13.44 KiB) Προβλήθηκε 3020 φορές

#22

xr.tsif έγραψε:Τα κόκκινα είναι τα νέα θέματα και τα μαύρα παλιά που συμπληρώθηκαν οι εκφωνήσεις τους
ΘΕΜΑ 4- 3719
ΘΕΜΑ 4- 3739
ΘΕΜΑ 4- 4800

#23

To 3719.
Απορώ γιατί ένα θέμα της Α γυμνασίου μπήκε για 4ο θέμα στην Α Λυκείου

#24

hlkampel έγραψε:03. Άσκηση 4-3702

Έστω ότι και είναι τα μέσα των πλευρών και $\Gamma \Delta$ παραλληλογράμμου Α ${\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta$ αντίστοιχα.
Αν για το παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ επιπλέον ισχύουν ${\rm A}{\rm B} > {\rm A}\Delta$ και γωνία ${\rm A}$ αμβλεία , να εξετάσετε αν είναι αληθείς οι ακόλουθοι ισχυρισμοί:
Ισχυρισμός 1: Το τετράπλευρο $\Delta {\rm E}{\rm B}{\rm H}$ είναι παραλληλόγραμμο.
Ισχυρισμός 2: Τα τρίγωνα ${\rm A}\Delta {\rm E}$ και ${\rm B}\Gamma {\rm H}$ είναι ίσα.
Ισχυρισμός 3: Τα τρίγωνα ${\rm A}\Delta {\rm E}$ και ${\rm B}\Gamma {\rm H}$ είναι ισοσκελή.
α) Στην περίπτωση που θεωρείτε ότι κάποιος ισχυρισμός είναι αληθής να τον
αποδείξετε. (Μονάδες 16)
β) Στην περίπτωση που κάποιος ισχυρισμός δεν είναι αληθής, να βρείτε τη σχέση
των διαδοχικών πλευρών του παραλληλογράμμου ώστε να είναι αληθής. Να
αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 9)

Καλημέρα σε όλους. Απλά για την ιστορία να σημειώσω ότι την ίδια άσκηση, δίχως την προσθήκη με τα κόκκινα γράμματα, είχαμε σχολιάσει ΕΔΩ. Σωστά έπραξε η επιτροπή και την απέσυρε άμεσα.

Είχε προκύψει ένα πολύ ενδιαφέρον πρόβλημα διερεύνησης (ΕΔΩ), αυστηρώς ακατάλληλο για ενδοσχολικές εξετάσεις. Συμπληρώνοντας στην νέα εκφώνηση στην υπόθεση το δεδομένο και γωνία ${\rm A}$ αμβλεία μένει μόνο η περίπτωση που έγραψε ο Ηλίας στη λύση του.

xr.tsif έγραψε:Τα κόκκινα είναι τα νέα θέματα και τα μαύρα παλιά που συμπληρώθηκαν οι εκφωνήσεις τους
ΘΕΜΑ 4- 3719
ΘΕΜΑ 4- 3739
ΘΕΜΑ 4- 4800

Χρήστο καλημέρα. Πού βρήκες ότι ξαναμπήκαν αυτά τα θέματα; Στην τράπεζα δεν τα βρίσκω.

Πάντως είναι θέματα που είχαν αποσυρθεί τον Μάιο. Δες ΕΔΩ, ΕΔΩ και (ουφ...) ΕΔΩ.

#25

Γιώργο καλησπέρασ το 3739 υπάρχει στην τράπεζα
τα άλλα δύο ,τώρα δεν τα βλέπω. Κατέβασα τα θέματα την πρώτη μέρα που αναρτήθηκαν
και δεν ξέρω αν έχουν αποσυρθεί πάλι.

#26

Ανέβασα τα φυλλάδια με το 4ο ΘΕΜΑ
http://www.mathematica.gr/index.php?ind ... ew&idev=10

ΝΕΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ 4ο ΘΕΜΑ

Re: ΝΕΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ 4ο ΘΕΜΑ

Re: ΝΕΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ 4ο ΘΕΜΑ

Re: ΝΕΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ 4ο ΘΕΜΑ

Re: ΝΕΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ 4ο ΘΕΜΑ

Re: ΝΕΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ 4ο ΘΕΜΑ

Re: ΝΕΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ 4ο ΘΕΜΑ

Μέλη σε σύνδεση