ΝΕΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ 4ο ΘΕΜΑ
Συντονιστής: Μιχάλης Νάννος
ΝΕΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ 4ο ΘΕΜΑ
Τα κόκκινα είναι τα νέα θέματα και τα μεύρα παλιά που συμπληρώθηκαν οι εκφωνήσεις τους
01. ΘΕΜΑ 4-2789
02. ΘΕΜΑ 4-2809
03. ΘΕΜΑ 4-3702
04. ΘΕΜΑ 4-3703
05. ΘΕΜΑ 4-3711
06. ΘΕΜΑ 4-3731
07. ΘΕΜΑ 4-3767
08. ΘΕΜΑ 4-3803
09. ΘΕΜΑ 4-3813
10. ΘΕΜΑ 4-4555
11. ΘΕΜΑ 4-4579
12. ΘΕΜΑ 4-4614
13. ΘΕΜΑ 4-4619
14. ΘΕΜΑ 4-4652
15. ΘΕΜΑ 4-4653
16. ΘΕΜΑ 4-4741
17. ΘΕΜΑ 4-4753
18. ΘΕΜΑ 4-4762
19. ΘΕΜΑ 4-4778
20. ΘΕΜΑ 4-4786
21. ΘΕΜΑ 4-4794
22. ΘΕΜΑ 4-4798
23. ΘΕΜΑ 4-4804
24. ΘΕΜΑ 4-4806
25. ΘΕΜΑ 4-4808
26. ΘΕΜΑ 4-6876
27. ΘΕΜΑ 4-13527
01. ΘΕΜΑ 4-2789
02. ΘΕΜΑ 4-2809
03. ΘΕΜΑ 4-3702
04. ΘΕΜΑ 4-3703
05. ΘΕΜΑ 4-3711
06. ΘΕΜΑ 4-3731
07. ΘΕΜΑ 4-3767
08. ΘΕΜΑ 4-3803
09. ΘΕΜΑ 4-3813
10. ΘΕΜΑ 4-4555
11. ΘΕΜΑ 4-4579
12. ΘΕΜΑ 4-4614
13. ΘΕΜΑ 4-4619
14. ΘΕΜΑ 4-4652
15. ΘΕΜΑ 4-4653
16. ΘΕΜΑ 4-4741
17. ΘΕΜΑ 4-4753
18. ΘΕΜΑ 4-4762
19. ΘΕΜΑ 4-4778
20. ΘΕΜΑ 4-4786
21. ΘΕΜΑ 4-4794
22. ΘΕΜΑ 4-4798
23. ΘΕΜΑ 4-4804
24. ΘΕΜΑ 4-4806
25. ΘΕΜΑ 4-4808
26. ΘΕΜΑ 4-6876
27. ΘΕΜΑ 4-13527
Γιατί πάντα αριθμόν έχοντι. Άνευ τούτου ουδέν νοητόν και γνωστόν.
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13235
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: ΝΕΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ 4ο ΘΕΜΑ
Καλημέρα Χρήστο
Τα νέα αυτά θέματα, όταν λυθούν, σε ποιο φάκελο μπορούμε να τα αναρτήσουμε;
Τα νέα αυτά θέματα, όταν λυθούν, σε ποιο φάκελο μπορούμε να τα αναρτήσουμε;
Re: ΝΕΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ 4ο ΘΕΜΑ
Γιώργο βάλτε τα σε αυτό το post με times New roman 12 και θα τα αποδελτιώσω σιγά σιγά
Γιατί πάντα αριθμόν έχοντι. Άνευ τούτου ουδέν νοητόν και γνωστόν.
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13235
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: ΝΕΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ 4ο ΘΕΜΑ
01. Άσκηση 4-2789
Δίνεται τρίγωνο στο οποίο η εξωτερική του γωνία είναι διπλάσια της εσωτερικής του γωνίας . Από την κορυφή διέρχεται ημιευθεία στο ημιεπίπεδο . Στην ημιευθεία θεωρούμε σημείο τέτοιο ώστε . Να αποδείξετε ότι:
α) Η διέρχεται από το μέσο του τμήματος . (Μονάδες )
β) Η είναι διχοτόμος της . (Μονάδες )
γ) Το τρίγωνο είναι ισοσκελές. (Μονάδες )
Λύση:
α) Επειδή , το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο, οπότε οι διαγώνιες του διχοτομούνται και κατά συνέπεια η διέρχεται από το μέσο του τμήματος .
β) , οπότε . Αλλά , άρα η είναι διχοτόμος της .
γ)
Επομένως το τρίγωνο είναι ισοσκελές.
Δίνεται τρίγωνο στο οποίο η εξωτερική του γωνία είναι διπλάσια της εσωτερικής του γωνίας . Από την κορυφή διέρχεται ημιευθεία στο ημιεπίπεδο . Στην ημιευθεία θεωρούμε σημείο τέτοιο ώστε . Να αποδείξετε ότι:
α) Η διέρχεται από το μέσο του τμήματος . (Μονάδες )
β) Η είναι διχοτόμος της . (Μονάδες )
γ) Το τρίγωνο είναι ισοσκελές. (Μονάδες )
Λύση:
α) Επειδή , το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο, οπότε οι διαγώνιες του διχοτομούνται και κατά συνέπεια η διέρχεται από το μέσο του τμήματος .
β) , οπότε . Αλλά , άρα η είναι διχοτόμος της .
γ)
Επομένως το τρίγωνο είναι ισοσκελές.
- Γιώργος Ρίζος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5283
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
- Τοποθεσία: Κέρκυρα
Re: ΝΕΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ 4ο ΘΕΜΑ
GI_A_GEO_4_2809
Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο και τα ύψη του και , τα οποία τέμνονται στο . Αν τα σημεία και είναι τα μέσα των και αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι:
α) Το τρίγωνο είναι ισοσκελές (Μονάδες 5)
β) Τα τρίγωνα και είναι ίσα (Μονάδες 5)
γ) Το προεκτεινόμενο διέρχεται από το μέσο της πλευράς . (Μονάδες 5)
δ) Το τετράπλευρο είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. (Μονάδες 10)
α) Αφού το είναι ισόπλευρο, τα ύψη του είναι και διάμεσοι και διχοτόμοι, άρα άρα το είναι ισοσκελές με .
β) Τα τρίγωνα έχουν τις ίσες, όπως αποδείξαμε, , ως κατακορυφήν γωνίες και , αφού είναι
Από το κριτήριο Γ-Π-Γ προκύπτει ότι είναι ίσα.
γ) Το είναι ορθόκεντρο του , οπότε το βρίσκεται επί του ύψους του, το οποίο είναι και διάμεσός του, άρα το προεκτεινόμενο διέρχεται από το μέσο της πλευράς ΒΓ.
δ) Αφού διάμεσοι, τα είναι μέσα των αντίστοιχα, οπότε είναι
Ομοίως, αφού τα είναι μέσα των είναι και , οπότε το είναι παραλληλόγραμμο.
Στο τα είναι μέσα των , οπότε είναι , άρα το είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο.
Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο και τα ύψη του και , τα οποία τέμνονται στο . Αν τα σημεία και είναι τα μέσα των και αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι:
α) Το τρίγωνο είναι ισοσκελές (Μονάδες 5)
β) Τα τρίγωνα και είναι ίσα (Μονάδες 5)
γ) Το προεκτεινόμενο διέρχεται από το μέσο της πλευράς . (Μονάδες 5)
δ) Το τετράπλευρο είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. (Μονάδες 10)
α) Αφού το είναι ισόπλευρο, τα ύψη του είναι και διάμεσοι και διχοτόμοι, άρα άρα το είναι ισοσκελές με .
β) Τα τρίγωνα έχουν τις ίσες, όπως αποδείξαμε, , ως κατακορυφήν γωνίες και , αφού είναι
Από το κριτήριο Γ-Π-Γ προκύπτει ότι είναι ίσα.
γ) Το είναι ορθόκεντρο του , οπότε το βρίσκεται επί του ύψους του, το οποίο είναι και διάμεσός του, άρα το προεκτεινόμενο διέρχεται από το μέσο της πλευράς ΒΓ.
δ) Αφού διάμεσοι, τα είναι μέσα των αντίστοιχα, οπότε είναι
Ομοίως, αφού τα είναι μέσα των είναι και , οπότε το είναι παραλληλόγραμμο.
Στο τα είναι μέσα των , οπότε είναι , άρα το είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο.
- Συνημμένα
-
- Λύση GI_A_GEO_4_2809.doc
- (107.5 KiB) Μεταφορτώθηκε 145 φορές
τελευταία επεξεργασία από Γιώργος Ρίζος σε Τετ Οκτ 29, 2014 9:05 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.
Re: ΝΕΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ 4ο ΘΕΜΑ
03. Άσκηση 4-3702
Έστω ότι και είναι τα μέσα των πλευρών και παραλληλογράμμου Α αντίστοιχα.
Αν για το παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ επιπλέον ισχύουν και γωνία αμβλεία , να εξετάσετε αν είναι αληθείς οι ακόλουθοι ισχυρισμοί:
Ισχυρισμός 1: Το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο.
Ισχυρισμός 2: Τα τρίγωνα και είναι ίσα.
Ισχυρισμός 3: Τα τρίγωνα και είναι ισοσκελή.
α) Στην περίπτωση που θεωρείτε ότι κάποιος ισχυρισμός είναι αληθής να τον
αποδείξετε. (Μονάδες 16)
β) Στην περίπτωση που κάποιος ισχυρισμός δεν είναι αληθής, να βρείτε τη σχέση
των διαδοχικών πλευρών του παραλληλογράμμου ώστε να είναι αληθής. Να
αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 9)
Λύση
α) Ο ισχυρισμός 1, δηλαδή ότι το είναι παραλληλόγραμμο ισχύει αφού είναι ως μισά των ίσων και παραλλήλων τμημάτων και .
Ο ισχυρισμός 2 , δηλαδή ότι τα τρίγωνα και είναι ίσα ισχύει αφού έχουν:
ως απέναντι πλευρές παραλληλογράμμου,
ως απέναντι γωνίες παραλληλογράμμου και
ως μισά των ίσων πλευρών και .
Ο ισχυρισμός 3 δεν είναι αληθής γενικά.
β) Για να ισχύει ο ισχυρισμός 3 πρέπει να ισχύει
Έστω ότι και είναι τα μέσα των πλευρών και παραλληλογράμμου Α αντίστοιχα.
Αν για το παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ επιπλέον ισχύουν και γωνία αμβλεία , να εξετάσετε αν είναι αληθείς οι ακόλουθοι ισχυρισμοί:
Ισχυρισμός 1: Το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο.
Ισχυρισμός 2: Τα τρίγωνα και είναι ίσα.
Ισχυρισμός 3: Τα τρίγωνα και είναι ισοσκελή.
α) Στην περίπτωση που θεωρείτε ότι κάποιος ισχυρισμός είναι αληθής να τον
αποδείξετε. (Μονάδες 16)
β) Στην περίπτωση που κάποιος ισχυρισμός δεν είναι αληθής, να βρείτε τη σχέση
των διαδοχικών πλευρών του παραλληλογράμμου ώστε να είναι αληθής. Να
αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 9)
Λύση
α) Ο ισχυρισμός 1, δηλαδή ότι το είναι παραλληλόγραμμο ισχύει αφού είναι ως μισά των ίσων και παραλλήλων τμημάτων και .
Ο ισχυρισμός 2 , δηλαδή ότι τα τρίγωνα και είναι ίσα ισχύει αφού έχουν:
ως απέναντι πλευρές παραλληλογράμμου,
ως απέναντι γωνίες παραλληλογράμμου και
ως μισά των ίσων πλευρών και .
Ο ισχυρισμός 3 δεν είναι αληθής γενικά.
β) Για να ισχύει ο ισχυρισμός 3 πρέπει να ισχύει
- Συνημμένα
-
- 3702.doc
- (81.5 KiB) Μεταφορτώθηκε 131 φορές
-
- 3702.png (14.67 KiB) Προβλήθηκε 7445 φορές
Ηλίας Καμπελής
Re: ΝΕΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ 4ο ΘΕΜΑ
04. Άσκηση 4-3703
Δίνεται τρίγωνο . Προεκτείνουμε το ύψος του κατά τμήμα και τη
διάμεσό του κατά τμήμα .
Να αποδείξετε ότι:
α) (Μονάδες 8)
β) (Μονάδες 8)
γ) Το τετράπλευρο είναι ισοσκελές τραπέζιο. (Μονάδες 9)
Λύση
α) Το τρίγωνο είναι ισοσκελές αφού το είναι ύψος και διάμεσος, έτσι
Τα τρίγωνα και είναι ίσα αφού έχουν:
αφού το είναι μέσο της
από υπόθεση και
ως κατακορυφήν.
Έτσι και
Από
β) Στο ισοσκελές τρίγωνο το είναι και διχοτόμος, έτσι
Από
γ) Σημείωση: Αυτό το ερώτημα νομίζω έχει πρόβλημα.
i. Αν είναι τα σημεία ταυτίζονται οπότε δεν υφίσταται τετράπλευρο .
ii. Αν το είναι ορθογώνιο.
Σε περίπτωση που δεν ισχύουν τα παραπάνω, με το δοσμένο σχήμα δηλαδή, είναι:
Στο τρίγωνο το τμήμα ενώνει τα μέσα των πλευρών του αντίστοιχα, έτσι .
δηλαδή οι και τέμνονται οπότε το είναι ισοσκελές τραπέζιο αφού έχει και
Δίνεται τρίγωνο . Προεκτείνουμε το ύψος του κατά τμήμα και τη
διάμεσό του κατά τμήμα .
Να αποδείξετε ότι:
α) (Μονάδες 8)
β) (Μονάδες 8)
γ) Το τετράπλευρο είναι ισοσκελές τραπέζιο. (Μονάδες 9)
Λύση
α) Το τρίγωνο είναι ισοσκελές αφού το είναι ύψος και διάμεσος, έτσι
Τα τρίγωνα και είναι ίσα αφού έχουν:
αφού το είναι μέσο της
από υπόθεση και
ως κατακορυφήν.
Έτσι και
Από
β) Στο ισοσκελές τρίγωνο το είναι και διχοτόμος, έτσι
Από
γ) Σημείωση: Αυτό το ερώτημα νομίζω έχει πρόβλημα.
i. Αν είναι τα σημεία ταυτίζονται οπότε δεν υφίσταται τετράπλευρο .
ii. Αν το είναι ορθογώνιο.
Σε περίπτωση που δεν ισχύουν τα παραπάνω, με το δοσμένο σχήμα δηλαδή, είναι:
Στο τρίγωνο το τμήμα ενώνει τα μέσα των πλευρών του αντίστοιχα, έτσι .
δηλαδή οι και τέμνονται οπότε το είναι ισοσκελές τραπέζιο αφού έχει και
- Συνημμένα
-
- 3703.doc
- (114.5 KiB) Μεταφορτώθηκε 128 φορές
-
- 3703.png (13.53 KiB) Προβλήθηκε 7405 φορές
Ηλίας Καμπελής
- Γιώργος Ρίζος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5283
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
- Τοποθεσία: Κέρκυρα
Re: ΝΕΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ 4ο ΘΕΜΑ
GI_A_GEO_4_3731
Δίνεται κύκλος και σημείο εξωτερικό του. Από το φέρουμε τα εφαπτόμενα τμήματα και του κύκλου και έστω ότι το σημείο είναι το συμμετρικό του ως προς την ευθεία .
α) Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο. (Μονάδες 7)
β) Να προσδιορίσετε το κέντρο του περιγγεγραμμένου κύκλου του τετραπλεύρου και να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 9)
γ) Να αποδείξετε ότι . (Μονάδες 9)
α) Τα είναι εφαπτόμενα τμήματα στον κύκλο, άρα είναι κάθετα στις ακτίνες αντίστοιχα, οπότε , άρα το είναι εγγράψιμο τετράπλευρο σε κύκλο αφού έχει δύο απέναντι γωνίες παραπληρωματικές.
β) Φέρνουμε τη . Αφού είναι , η είναι διάμετρος του περιγεγραμμένου κύκλου του , οπότε το κέντρο του κύκλου είναι το μέσο του .
γ) Το είναι το μέσο του και το είναι το μέσο του , οπότε στο τρίγωνο είναι .
Χρήστο, παράβλεψα την 4-3711, αφού θέλει απλώς συμπλήρωση, για να μην την ξαναγράψω από την αρχή. Αν θες, ανάρτησε (σε word) όσες θέλουν απλώς συμπλήρωση για να τις επιμεληθούμε.
Δίνεται κύκλος και σημείο εξωτερικό του. Από το φέρουμε τα εφαπτόμενα τμήματα και του κύκλου και έστω ότι το σημείο είναι το συμμετρικό του ως προς την ευθεία .
α) Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο. (Μονάδες 7)
β) Να προσδιορίσετε το κέντρο του περιγγεγραμμένου κύκλου του τετραπλεύρου και να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 9)
γ) Να αποδείξετε ότι . (Μονάδες 9)
α) Τα είναι εφαπτόμενα τμήματα στον κύκλο, άρα είναι κάθετα στις ακτίνες αντίστοιχα, οπότε , άρα το είναι εγγράψιμο τετράπλευρο σε κύκλο αφού έχει δύο απέναντι γωνίες παραπληρωματικές.
β) Φέρνουμε τη . Αφού είναι , η είναι διάμετρος του περιγεγραμμένου κύκλου του , οπότε το κέντρο του κύκλου είναι το μέσο του .
γ) Το είναι το μέσο του και το είναι το μέσο του , οπότε στο τρίγωνο είναι .
Χρήστο, παράβλεψα την 4-3711, αφού θέλει απλώς συμπλήρωση, για να μην την ξαναγράψω από την αρχή. Αν θες, ανάρτησε (σε word) όσες θέλουν απλώς συμπλήρωση για να τις επιμεληθούμε.
- Συνημμένα
-
- Λύση GI_A_GEO_4_3731.doc
- (51 KiB) Μεταφορτώθηκε 139 φορές
- Γιώργος Ρίζος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5283
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
- Τοποθεσία: Κέρκυρα
Re: ΝΕΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ 4ο ΘΕΜΑ
Ηλία καλησπέρα, εύλογη η ένστασή σου.hlkampel έγραψε:04. Άσκηση 4-3703
γ) Σημείωση: Αυτό το ερώτημα νομίζω έχει πρόβλημα.
i. Αν είναι τα σημεία ταυτίζονται οπότε δεν υφίσταται τετράπλευρο .
ii. Αν το είναι ορθογώνιο.
Ας δεχτούμε ότι αφού αναφέρει ως διακριτά τα σημεία και ότι το τρίγωνο δεν είναι ισοσκελές. Άντε να δεχτούμε το ίδιο και για το ορθογώνιο.
Όμως.... αν , τότε το τραπέζιο είναι το κι όχι το !
ΠΡΕΠΕΙ να συμπληρωθεί η εκφώνηση με τους περιορισμούς και .
Αναρωτιέμαι (και ζητώ τη γνώμη σας) Το ότι έχει συνοδευτικό ένα συγκεκριμένο σχήμα, δίχως να δηλώνεται στην υπόθεση, απαλλάσει τον λύτη από την υποχρέωση διερεύνησης;
Γενικότερα, είναι σωστό στη Γεωμετρία, να δίνονται ελλιπή στοιχεία στην υπόθεση και να περιγράφονται απλά με ένα σχήμα;
Ηλία, προτείνω να αναρτήσεις την παρατήρησή σου ΕΔΩ
τελευταία επεξεργασία από Γιώργος Ρίζος σε Τετ Οκτ 29, 2014 11:00 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Re: ΝΕΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ 4ο ΘΕΜΑ
GK_A_GEO_4_3803
Σε τετράγωνο προεκτείνουμε τη διαγώνιο ( προς το ) κατά τμήμα .
Έστω το μέσο της και το σημείο τομής των ευθειών και .
α) Να αποδείξετε ότι (Μονάδες 6)
β) Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου (Μονάδες 5)
γ) να αποδείξετε ότι :
i. (Μονάδες 7)
ii. (Μονάδες 7)
Λύση
α) Επειδή και το είναι μέσο του ,στο τρίγωνο το θα είναι μέσο της πλευράς .
Τώρα το ευθύγραμμο τμήμα .
β) Το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και ισοσκελές άρα οι οξείες του γωνίες θα είναι από
γ)
i. Οι διαγώνιοι του τετραγώνου , δηλαδή οι και τέμνονται κάθετα .
Στο τρίγωνο το ευθύγραμμο τμήμα συνδέει τα μέσα των πλευρών του και άρα .
Δηλαδή και αφού θα είναι και
ii. Έστω το σημείο που η τέμνει κάθετα (προηγούμενο ερώτημα) την .
Αφού και στο τρίγωνο το σημείο είναι ορθόκεντρο,
Συνεπώς η ευθεία είναι ο φορέας του τρίτου του ύψους και ως εκ τούτου , έστω στο σημείο .
Φιλικά Νίκος
Σε τετράγωνο προεκτείνουμε τη διαγώνιο ( προς το ) κατά τμήμα .
Έστω το μέσο της και το σημείο τομής των ευθειών και .
α) Να αποδείξετε ότι (Μονάδες 6)
β) Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου (Μονάδες 5)
γ) να αποδείξετε ότι :
i. (Μονάδες 7)
ii. (Μονάδες 7)
Λύση
α) Επειδή και το είναι μέσο του ,στο τρίγωνο το θα είναι μέσο της πλευράς .
Τώρα το ευθύγραμμο τμήμα .
β) Το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και ισοσκελές άρα οι οξείες του γωνίες θα είναι από
γ)
i. Οι διαγώνιοι του τετραγώνου , δηλαδή οι και τέμνονται κάθετα .
Στο τρίγωνο το ευθύγραμμο τμήμα συνδέει τα μέσα των πλευρών του και άρα .
Δηλαδή και αφού θα είναι και
ii. Έστω το σημείο που η τέμνει κάθετα (προηγούμενο ερώτημα) την .
Αφού και στο τρίγωνο το σημείο είναι ορθόκεντρο,
Συνεπώς η ευθεία είναι ο φορέας του τρίτου του ύψους και ως εκ τούτου , έστω στο σημείο .
Φιλικά Νίκος
- Συνημμένα
-
- Θέμα 4_4_3803.doc
- (112 KiB) Μεταφορτώθηκε 134 φορές
τελευταία επεξεργασία από Doloros σε Πέμ Οκτ 30, 2014 1:45 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Re: ΝΕΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ 4ο ΘΕΜΑ
A_GEO_4_6876
Δίδεται ισοσκελές τρίγωνο . Φέρουμε τα ύψη του και .
Αν το μέσο της να αποδείξετε ότι :
α) Το τρίγωνο είναι ισοσκελές ( Μονάδες 10)
β) Η είναι διχοτόμος της γωνίας ( Μονάδες 15)
Λύση
α) Οι είναι διάμεσοι προς την κοινή υποτείνουσα των ορθογωνίων τριγώνων
αφ ενός και αφ ετέρου .
Θα είναι λοιπόν
β) Η απάντηση σ αυτό το ερώτημα χωρίς επί πλέον χάραξη γραμμών απαιτεί εγγράψιμα και ισότητα τριγώνων ( και όχι μόνο).
Θα δοθεί μια «γρήγορη» λύση που όμως δεν είναι εύκολο να την σκεφτεί ο μέσος μαθητής ειδικά σε ώρα εξετάσεων .
Από το φέρνουμε παράλληλη στην που τέμνει τη στο .
Επειδή το είναι και μέσο της βάσης του ισοσκελούς τριγώνου θα είναι
και άρα σε πρώτη «φάση» το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο.
Όμως λόγω του α) ερωτήματος θα είναι άρα το τετράπλευρο είναι ρόμβος.
Ως εκ τούτου οι διαγώνιοι διχοτομούν τις γωνίες του του ρόμβου αυτού δηλαδή η είναι διχοτόμος της γωνίας .
Υπάρχει πάντως και απλή λύση που δεν την "είδα", αλλά μου την υπέδειξαν . Δεν αλλάζω όμως τίποτα για παραδειγματισμό μου !
Φιλικά Νίκος
Δίδεται ισοσκελές τρίγωνο . Φέρουμε τα ύψη του και .
Αν το μέσο της να αποδείξετε ότι :
α) Το τρίγωνο είναι ισοσκελές ( Μονάδες 10)
β) Η είναι διχοτόμος της γωνίας ( Μονάδες 15)
Λύση
α) Οι είναι διάμεσοι προς την κοινή υποτείνουσα των ορθογωνίων τριγώνων
αφ ενός και αφ ετέρου .
Θα είναι λοιπόν
β) Η απάντηση σ αυτό το ερώτημα χωρίς επί πλέον χάραξη γραμμών απαιτεί εγγράψιμα και ισότητα τριγώνων ( και όχι μόνο).
Θα δοθεί μια «γρήγορη» λύση που όμως δεν είναι εύκολο να την σκεφτεί ο μέσος μαθητής ειδικά σε ώρα εξετάσεων .
Από το φέρνουμε παράλληλη στην που τέμνει τη στο .
Επειδή το είναι και μέσο της βάσης του ισοσκελούς τριγώνου θα είναι
και άρα σε πρώτη «φάση» το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο.
Όμως λόγω του α) ερωτήματος θα είναι άρα το τετράπλευρο είναι ρόμβος.
Ως εκ τούτου οι διαγώνιοι διχοτομούν τις γωνίες του του ρόμβου αυτού δηλαδή η είναι διχοτόμος της γωνίας .
Υπάρχει πάντως και απλή λύση που δεν την "είδα", αλλά μου την υπέδειξαν . Δεν αλλάζω όμως τίποτα για παραδειγματισμό μου !
Φιλικά Νίκος
- Συνημμένα
-
- Θέμα 4_6876.doc
- (71.5 KiB) Μεταφορτώθηκε 144 φορές
τελευταία επεξεργασία από Doloros σε Πέμ Οκτ 30, 2014 9:04 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13235
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: ΝΕΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ 4ο ΘΕΜΑ
Άσκηση 4-3767
Δίνεται κύκλος και μία επίκεντρη γωνία του . Οι εφαπτόμενες του κύκλου στα σημεία και τέμνονται στο σημείο . Θεωρούμε σημείο του τόξου και φέρνουμε τις χορδές και , οι οποίες προεκτεινόμενες τέμνουν τις και στα σημεία και αντίστοιχα.
Να αποδείξετε ότι:
α) Το τρίγωνο είναι ισόπλευρο. (Μονάδες )
β) . (Μονάδες )
γ) Τα τρίγωνα και είναι ίσα. (Μονάδες )
Λύση.
α) Το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο(δύο απέναντι γωνίες του είναι ορθές), άρα . Το τρίγωνο είναι ισοσκελές () και έχει μία γωνία , οπότε είναι ισόπλευρο.
β) (τόξοτόξο)(τόξο).
γ) Τα τρίγωνα και έχουν:
, (λόγω του ισοπλεύρου τριγώνου ) και (σχέση εγγεγραμμένης γωνίας με γωνία χορδής κι εφαπτομένης), άρα είναι ίσα .
Δίνεται κύκλος και μία επίκεντρη γωνία του . Οι εφαπτόμενες του κύκλου στα σημεία και τέμνονται στο σημείο . Θεωρούμε σημείο του τόξου και φέρνουμε τις χορδές και , οι οποίες προεκτεινόμενες τέμνουν τις και στα σημεία και αντίστοιχα.
Να αποδείξετε ότι:
α) Το τρίγωνο είναι ισόπλευρο. (Μονάδες )
β) . (Μονάδες )
γ) Τα τρίγωνα και είναι ίσα. (Μονάδες )
Λύση.
α) Το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο(δύο απέναντι γωνίες του είναι ορθές), άρα . Το τρίγωνο είναι ισοσκελές () και έχει μία γωνία , οπότε είναι ισόπλευρο.
β) (τόξοτόξο)(τόξο).
γ) Τα τρίγωνα και έχουν:
, (λόγω του ισοπλεύρου τριγώνου ) και (σχέση εγγεγραμμένης γωνίας με γωνία χορδής κι εφαπτομένης), άρα είναι ίσα .
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13235
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: ΝΕΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ 4ο ΘΕΜΑ
Άσκηση 4-3813
Δίνεται παραλληλόγραμμο με και τη γωνία αμβλεία. Από την κορυφή φέρουμε την κάθετη στην ευθεία και έστω τα μέσα των αντίστοιχα.
Να αποδείξετε ότι:
α) Το τετράπλευρο είναι ρόμβος. (Μονάδες )
β) Το τετράπλευρο είναι ισοσκελές τραπέζιο. (Μονάδες )
γ) Η είναι διχοτόμος της γωνίας . (Μονάδες )
Λύση.
α) , οπότε το είναι παραλληλόγραμμο. Αλλά , άρα τελικά είναι ρόμβος.
β) Η είναι η διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ορθογωνίου τριγώνου , οπότε . Είναι ακόμα και επιπλέον (Επειδή η γωνία είναι αμβλεία το βρίσκεται στην προέκταση της ). Άρα το τετράπλευρο είναι ισοσκελές τραπέζιο.
γ) Το ως ισοσκελές τραπέζιο είναι εγγράψιμο, οπότε (εγγεγραμμένες γωνίες που βαίνουν σε αντίστοιχα τόξα ίσων χορδών).
ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Επειδή η εκφώνηση της άσκησης δεν συνοδεύεται από σχήμα, νομίζω ότι θα έπρεπε να διευκρινιστεί ότι το είναι σημείο της ευθείας
Δίνεται παραλληλόγραμμο με και τη γωνία αμβλεία. Από την κορυφή φέρουμε την κάθετη στην ευθεία και έστω τα μέσα των αντίστοιχα.
Να αποδείξετε ότι:
α) Το τετράπλευρο είναι ρόμβος. (Μονάδες )
β) Το τετράπλευρο είναι ισοσκελές τραπέζιο. (Μονάδες )
γ) Η είναι διχοτόμος της γωνίας . (Μονάδες )
Λύση.
α) , οπότε το είναι παραλληλόγραμμο. Αλλά , άρα τελικά είναι ρόμβος.
β) Η είναι η διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ορθογωνίου τριγώνου , οπότε . Είναι ακόμα και επιπλέον (Επειδή η γωνία είναι αμβλεία το βρίσκεται στην προέκταση της ). Άρα το τετράπλευρο είναι ισοσκελές τραπέζιο.
γ) Το ως ισοσκελές τραπέζιο είναι εγγράψιμο, οπότε (εγγεγραμμένες γωνίες που βαίνουν σε αντίστοιχα τόξα ίσων χορδών).
ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Επειδή η εκφώνηση της άσκησης δεν συνοδεύεται από σχήμα, νομίζω ότι θα έπρεπε να διευκρινιστεί ότι το είναι σημείο της ευθείας
- Γιώργος Ρίζος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5283
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
- Τοποθεσία: Κέρκυρα
Re: ΝΕΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ 4ο ΘΕΜΑ
GI_A_GEO_4_4555
Δίνεται τρίγωνο . Από το μέσο του φέρουμε ευθύγραμμο τμήμα ίσο και παράλληλο με το και ευθύγραμμο τμήμα ίσο και παράλληλο με το (τα σημεία και είναι στο ημιεπίπεδο που ορίζεται από τo και το σημείο ). Να αποδείξετε ότι:
α) Τα σημεία είναι συνευθειακά. (Μονάδες 10)
β) Η περίμετρος του τριγώνου είναι ίση με την περίμετρο του τριγώνου . (Μονάδες 9)
γ) Όταν ένας καθηγητής έθεσε στους μαθητές του το ερώτημα αν τα σημεία είναι συνευθειακά, ένας από αυτούς έκανε το παρακάτω σχήμα και απάντησε ως εξής:
(εντός εναλλάξ των ΑΒ//ΜΔ που τέμνονται από ΑΖ)
(εντός εκτός και επί τα αυτά μέρη των ΑΒ//ΜΔ που τέμνονται από ΔΕ)
Όμως (άθροισμα γωνιών του τριγώνου ΑΔΖ). Άρα σύμφωνα με τα προηγούμενα έχουμε: . Οπότε συνευθειακά.
Όμως ο καθηγητής είπε ότι υπάρχει λάθος στο συλλογισμό. Μπορείτε να εντοπίσετε το λάθος του μαθητή; (Μονάδες 6) α) Αφού το είναι παραλληλόγραμμο. Ομοίως, αφού και το είναι παραλληλόγραμμο, οπότε και αφού οι έχουν κοινό σημείο το είναι συνευθειακά τμήματα, άρα τα σημεία είναι συνευθειακά.
β) Ακόμα, είναι , οπότε .
Άρα είναι Περίμετρος = Περίμετρος
γ) Το λάθος του μαθητή είναι στην πρόταση: (εντός εκτός και επί τα αυτά μέρη των ΑΒ//ΜΔ που τέμνονται από ΔΕ), αφού δεν έχουμε αποδείξει ότι το είναι προέκταση της .
(Αυτό είναι το ζητούμενο της απόδειξης…)
ΣΧΟΛΙΟ: Το δεδομένο ότι το είναι μέσο της είναι περιττό.
Δίνεται τρίγωνο . Από το μέσο του φέρουμε ευθύγραμμο τμήμα ίσο και παράλληλο με το και ευθύγραμμο τμήμα ίσο και παράλληλο με το (τα σημεία και είναι στο ημιεπίπεδο που ορίζεται από τo και το σημείο ). Να αποδείξετε ότι:
α) Τα σημεία είναι συνευθειακά. (Μονάδες 10)
β) Η περίμετρος του τριγώνου είναι ίση με την περίμετρο του τριγώνου . (Μονάδες 9)
γ) Όταν ένας καθηγητής έθεσε στους μαθητές του το ερώτημα αν τα σημεία είναι συνευθειακά, ένας από αυτούς έκανε το παρακάτω σχήμα και απάντησε ως εξής:
(εντός εναλλάξ των ΑΒ//ΜΔ που τέμνονται από ΑΖ)
(εντός εκτός και επί τα αυτά μέρη των ΑΒ//ΜΔ που τέμνονται από ΔΕ)
Όμως (άθροισμα γωνιών του τριγώνου ΑΔΖ). Άρα σύμφωνα με τα προηγούμενα έχουμε: . Οπότε συνευθειακά.
Όμως ο καθηγητής είπε ότι υπάρχει λάθος στο συλλογισμό. Μπορείτε να εντοπίσετε το λάθος του μαθητή; (Μονάδες 6) α) Αφού το είναι παραλληλόγραμμο. Ομοίως, αφού και το είναι παραλληλόγραμμο, οπότε και αφού οι έχουν κοινό σημείο το είναι συνευθειακά τμήματα, άρα τα σημεία είναι συνευθειακά.
β) Ακόμα, είναι , οπότε .
Άρα είναι Περίμετρος = Περίμετρος
γ) Το λάθος του μαθητή είναι στην πρόταση: (εντός εκτός και επί τα αυτά μέρη των ΑΒ//ΜΔ που τέμνονται από ΔΕ), αφού δεν έχουμε αποδείξει ότι το είναι προέκταση της .
(Αυτό είναι το ζητούμενο της απόδειξης…)
ΣΧΟΛΙΟ: Το δεδομένο ότι το είναι μέσο της είναι περιττό.
- Συνημμένα
-
- Λύση GI_A_GEO_4_4555.doc
- (101 KiB) Μεταφορτώθηκε 123 φορές
-
- GI_A_GEO_4_4555.ggb
- (6.86 KiB) Μεταφορτώθηκε 120 φορές
τελευταία επεξεργασία από Γιώργος Ρίζος σε Πέμ Οκτ 30, 2014 10:39 pm, έχει επεξεργασθεί 3 φορές συνολικά.
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13235
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: ΝΕΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ 4ο ΘΕΜΑ
Άσκηση 4-4614
Δίνεται τετράγωνο και τυχαίο σημείο στην πλευρά . Φέρουμε τη διχοτόμο της γωνίας και τη κάθετη από το προς την , η οποία τέμνει την στο και την στο .
Να αποδείξετε ότι:
α) Τα τρίγωνα και είναι ίσα. (Μονάδες )
β) και . (Μονάδες )
γ) . (Μονάδες )
Λύση:
α) Τα τρίγωνα και είναι ορθογώνια και έχουν (ως πλευρές τετραγώνου) και (είναι οξείες γωνίες με πλευρές κάθετες). Άρα τα τρίγωνα είναι ίσα.
β) Στο τρίγωνο το είναι ύψος και διχοτόμος, οπότε είναι ισοσκελές. Δηλαδή και . (ως κατακορυφήν). (ως εντός εναλλάξ).
Άρα:
γ) , . Οπότε:
Δίνεται τετράγωνο και τυχαίο σημείο στην πλευρά . Φέρουμε τη διχοτόμο της γωνίας και τη κάθετη από το προς την , η οποία τέμνει την στο και την στο .
Να αποδείξετε ότι:
α) Τα τρίγωνα και είναι ίσα. (Μονάδες )
β) και . (Μονάδες )
γ) . (Μονάδες )
Λύση:
α) Τα τρίγωνα και είναι ορθογώνια και έχουν (ως πλευρές τετραγώνου) και (είναι οξείες γωνίες με πλευρές κάθετες). Άρα τα τρίγωνα είναι ίσα.
β) Στο τρίγωνο το είναι ύψος και διχοτόμος, οπότε είναι ισοσκελές. Δηλαδή και . (ως κατακορυφήν). (ως εντός εναλλάξ).
Άρα:
γ) , . Οπότε:
τελευταία επεξεργασία από george visvikis σε Πέμ Οκτ 30, 2014 11:07 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Re: ΝΕΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ 4ο ΘΕΜΑ
Άσκηση 4-4778
Σε παραλληλόγραμμο με και θεωρούμε σημείο στην προέκταση της (προς το ) τέτοιο ώστε .
Αν είναι σημείο της , τέτοιο ώστε , να αποδείξετε ότι:
α) Η γωνία είναι ορθή. (Μονάδες 8)
β) Το τετράπλευρο είναι ισοσκελές τραπέζιο. (Μονάδες 8)
γ) Το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο. (Μονάδες 9)
Λύση
α) Στο τρίγωνο η διάμεσός του είναι το μισό της αντίστοιχης πλευράς της.
Άρα το τρίγωνο είναι ορθογώνιο με
β) Είναι και
Η ευθεία τέμνει την άρα θα τέμνει και την παράλληλή της .
Έτσι το τετράπλευρο είναι ισοσκελές τραπέζιο.
γ) Είναι οπότε το είναι παραλληλόγραμμο.
Σε παραλληλόγραμμο με και θεωρούμε σημείο στην προέκταση της (προς το ) τέτοιο ώστε .
Αν είναι σημείο της , τέτοιο ώστε , να αποδείξετε ότι:
α) Η γωνία είναι ορθή. (Μονάδες 8)
β) Το τετράπλευρο είναι ισοσκελές τραπέζιο. (Μονάδες 8)
γ) Το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο. (Μονάδες 9)
Λύση
α) Στο τρίγωνο η διάμεσός του είναι το μισό της αντίστοιχης πλευράς της.
Άρα το τρίγωνο είναι ορθογώνιο με
β) Είναι και
Η ευθεία τέμνει την άρα θα τέμνει και την παράλληλή της .
Έτσι το τετράπλευρο είναι ισοσκελές τραπέζιο.
γ) Είναι οπότε το είναι παραλληλόγραμμο.
- Συνημμένα
-
- 4778.doc
- (86 KiB) Μεταφορτώθηκε 141 φορές
Ηλίας Καμπελής
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13235
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: ΝΕΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ 4ο ΘΕΜΑ
Ένας άλλος τρόπος για το β) ερώτημα της άσκησης 4-6876.
Δίδεται ισοσκελές τρίγωνο . Φέρουμε τα ύψη του και .
Αν το μέσο της να αποδείξετε ότι :
α) Το τρίγωνο είναι ισοσκελές ( Μονάδες 10)
β) Η είναι διχοτόμος της γωνίας ( Μονάδες 15)
Λύση.
β) Από το ισοσκελές τρίγωνο , έχουμε
Η ενώνει τα μέσα των πλευρών του τριγώνου , οπότε, . Άρα:
Δίδεται ισοσκελές τρίγωνο . Φέρουμε τα ύψη του και .
Αν το μέσο της να αποδείξετε ότι :
α) Το τρίγωνο είναι ισοσκελές ( Μονάδες 10)
β) Η είναι διχοτόμος της γωνίας ( Μονάδες 15)
Λύση.
β) Από το ισοσκελές τρίγωνο , έχουμε
Η ενώνει τα μέσα των πλευρών του τριγώνου , οπότε, . Άρα:
- Γιώργος Ρίζος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5283
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
- Τοποθεσία: Κέρκυρα
Re: ΝΕΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ 4ο ΘΕΜΑ
GI_A_GEO_4_4794
Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο με διχοτόμο και ύψος, που τέμνονται στο . Η κάθετη από το στην τέμνει τις και στα και αντίστοιχα.
α) Να αποδείξετε ότι:
i. Tα τρίγωνα και είναι ίσα. (Μονάδες 6)
ii. Tο τρίγωνο είναι ισοσκελές. (Μονάδες 6)
iii. Η είναι κάθετη στην . (Μονάδες 7)
β) Αν επιπλέον το ορθογώνιο τρίγωνο είναι και ισοσκελές, να αποδείξετε ότι η είναι διχοτόμος της γωνίας . (Μονάδες 6)
αi) Το ανήκει στη διχοτόμο της , άρα ισαπέχει από τις , δηλαδή είναι .
Τα ορθογώνια τρίγωνα και έχουν , όπως αποδείξαμε και ως κατακορυφήν γωνίες, άρα είναι ίσα.
ii) Τα ορθογώνια τρίγωνα και έχουν τη κοινή, από υπόθεση, άρα είναι ίσα, οπότε είναι , δηλαδή ισοσκελές.
iii) Στο το είναι ορθόκεντρο, αφού είναι σημείο τομής των υψών , οπότε και το ανήκει στο ύψος από το στην .
β) Αν ορθογώνιο με και ισοσκελές, τότε το ύψος είναι και διχοτόμος, οπότε το είναι έγκεντρο του , άρα και η είναι διχοτόμος της γωνίας .
Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο με διχοτόμο και ύψος, που τέμνονται στο . Η κάθετη από το στην τέμνει τις και στα και αντίστοιχα.
α) Να αποδείξετε ότι:
i. Tα τρίγωνα και είναι ίσα. (Μονάδες 6)
ii. Tο τρίγωνο είναι ισοσκελές. (Μονάδες 6)
iii. Η είναι κάθετη στην . (Μονάδες 7)
β) Αν επιπλέον το ορθογώνιο τρίγωνο είναι και ισοσκελές, να αποδείξετε ότι η είναι διχοτόμος της γωνίας . (Μονάδες 6)
αi) Το ανήκει στη διχοτόμο της , άρα ισαπέχει από τις , δηλαδή είναι .
Τα ορθογώνια τρίγωνα και έχουν , όπως αποδείξαμε και ως κατακορυφήν γωνίες, άρα είναι ίσα.
ii) Τα ορθογώνια τρίγωνα και έχουν τη κοινή, από υπόθεση, άρα είναι ίσα, οπότε είναι , δηλαδή ισοσκελές.
iii) Στο το είναι ορθόκεντρο, αφού είναι σημείο τομής των υψών , οπότε και το ανήκει στο ύψος από το στην .
β) Αν ορθογώνιο με και ισοσκελές, τότε το ύψος είναι και διχοτόμος, οπότε το είναι έγκεντρο του , άρα και η είναι διχοτόμος της γωνίας .
- Συνημμένα
-
- Λύση GI_A_GEO_4_4794.doc
- (120 KiB) Μεταφορτώθηκε 109 φορές
-
- GI_A_GEO_4_4794.ggb
- (7.04 KiB) Μεταφορτώθηκε 88 φορές
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13235
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: ΝΕΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ 4ο ΘΕΜΑ
Άσκηση GI_A_GEO_4_4808
Δίνονται δυο ίσα ισοσκελή τρίγωνα και, τέτοια ώστε οι πλευρές τους και να τέμνονται κάθετα στο σημείο , όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Τα σημεία και είναι τα μέσα των τμημάτων και αντίστοιχα.
Να αποδείξετε ότι:
α) . (Μονάδες )
β) . (Μονάδες )
γ) Το τρίγωνο είναι ισοσκελές και . (Μονάδες )
Λύση.
α) Από τα ίσα ισοσκελή τρίγωνα έχουμε και , οπότε τα ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα. Άρα
β) Είναι ακόμα , δηλαδή τα τρίγωνα είναι ορθογώνια και ισοσκελή, οπότε:
γ) Επειδή η διάμεσος ορθογωνίου τριγώνου που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα είναι ίση με το μισό της, θα έχουμε: , οπότε το τρίγωνο είναι ισοσκελές.
Η είναι διάμεσος του ισοσκελούς τραπεζίου , άρα .
ΣΧΟΛΙΟ: Η κατασκευή του σχήματος είναι δύσκολη για μαθητές, επειδή δεν έχουμε απλώς δύο ίσα ισοσκελή τρίγωνα, αλλά ισοσκελή τρίγωνα με συγκεκριμένες γωνίες ().
Δίνονται δυο ίσα ισοσκελή τρίγωνα και, τέτοια ώστε οι πλευρές τους και να τέμνονται κάθετα στο σημείο , όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Τα σημεία και είναι τα μέσα των τμημάτων και αντίστοιχα.
Να αποδείξετε ότι:
α) . (Μονάδες )
β) . (Μονάδες )
γ) Το τρίγωνο είναι ισοσκελές και . (Μονάδες )
Λύση.
α) Από τα ίσα ισοσκελή τρίγωνα έχουμε και , οπότε τα ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα. Άρα
β) Είναι ακόμα , δηλαδή τα τρίγωνα είναι ορθογώνια και ισοσκελή, οπότε:
γ) Επειδή η διάμεσος ορθογωνίου τριγώνου που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα είναι ίση με το μισό της, θα έχουμε: , οπότε το τρίγωνο είναι ισοσκελές.
Η είναι διάμεσος του ισοσκελούς τραπεζίου , άρα .
ΣΧΟΛΙΟ: Η κατασκευή του σχήματος είναι δύσκολη για μαθητές, επειδή δεν έχουμε απλώς δύο ίσα ισοσκελή τρίγωνα, αλλά ισοσκελή τρίγωνα με συγκεκριμένες γωνίες ().
Re: ΝΕΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ 4ο ΘΕΜΑ
Μια διαφορετική λύση για το β) Το είναι ισοσκλές τραπέζιο ( δεν ξέρω αν ο Νίκος εννοεί αυτή )Doloros έγραψε: Δίδεται ισοσκελές τρίγωνο . Φέρουμε τα ύψη του και .
Αν το μέσο της να αποδείξετε ότι :
α) Το τρίγωνο είναι ισοσκελές ( Μονάδες 10)
β) Η είναι διχοτόμος της γωνίας ( Μονάδες 15)
Λύση
Στο β) υπάρχει και απλή λύση που δεν την "είδα" . Φιλικά Νίκος
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες