Α' ΔΕΣΜΗ 1990
- parmenides51
- Δημοσιεύσεις: 6239
- Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
- Τοποθεσία: Πεύκη
- Επικοινωνία:
Α' ΔΕΣΜΗ 1990
1. α) Αν είναι πίνακες και ισχύουν οι σχέσεις και όπου ο μηδενικός πίνακας
τότε να αποδείξετε ότι είναι .
β) Έστω πίνακες και ο μοναδιαίος πίνακας .
Αν ισχύει ότι τότε να αποδείξετε ότι ο είναι αντιστρέψιμος και ότι
γ) Έστω πίνακες όπου ο είναι αντιστρέψιμος.
Να αποδείξετε ότι για κάθε θετικό ακέραιο ισχύει η σχέση .
2. α) Να αποδείξετε ότι αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο και παραγωγίσιμη στο
τότε υπάρχει τέτοιο ώστε να είναι .
β) Θεωρούμε τη συνάρτηση με όπου είναι πραγματικοί αριθμοί
και ισχύει .
Να αποδείξετε ότι υπάρχει τέτοιο ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της στο σημείο
να είναι παράλληλη προς τον άξονα .
3. α) Θεωρούμε κύκλο με κέντρο και ακτίνα καθώς και σημείο αυτού του κύκλου.
Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη του κύκλου στο σημείο έχει εξίσωση .
β) Δίνονται η ευθεία με εξίσωση και ο κύκλος με εξίσωση που τέμνονται στα σημεία και .
i) Να αποδείξετε ότι για κάθε πραγματικό αριθμό η εξίσωση παριστάνει κύκλο
ο οποίος περνάει από τα σημεία και . Για ποια τιμή του ο κύκλος αυτός περνάει από την αρχή των αξόνων;
ii) Να αποδείξετε ότι τα κέντρα των κύκλων του ερωτήματος (i) ανήκουν σε ευθεία της οποίας να βρείτε την εξίσωση.
4. Δίνεται η συνάρτηση με
α) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης
β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται μεταξύ της γραφικής παράστασης της της ευθείας
με εξίσωση και των ευθειών με εξισώσεις και με .
γ) Να υπολογίσετε το όριο του εμβαδού του ανωτέρου χωρίου όταν το \alpha}$ τείνει στο άπειρο.
τότε να αποδείξετε ότι είναι .
β) Έστω πίνακες και ο μοναδιαίος πίνακας .
Αν ισχύει ότι τότε να αποδείξετε ότι ο είναι αντιστρέψιμος και ότι
γ) Έστω πίνακες όπου ο είναι αντιστρέψιμος.
Να αποδείξετε ότι για κάθε θετικό ακέραιο ισχύει η σχέση .
2. α) Να αποδείξετε ότι αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο και παραγωγίσιμη στο
τότε υπάρχει τέτοιο ώστε να είναι .
β) Θεωρούμε τη συνάρτηση με όπου είναι πραγματικοί αριθμοί
και ισχύει .
Να αποδείξετε ότι υπάρχει τέτοιο ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της στο σημείο
να είναι παράλληλη προς τον άξονα .
3. α) Θεωρούμε κύκλο με κέντρο και ακτίνα καθώς και σημείο αυτού του κύκλου.
Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη του κύκλου στο σημείο έχει εξίσωση .
β) Δίνονται η ευθεία με εξίσωση και ο κύκλος με εξίσωση που τέμνονται στα σημεία και .
i) Να αποδείξετε ότι για κάθε πραγματικό αριθμό η εξίσωση παριστάνει κύκλο
ο οποίος περνάει από τα σημεία και . Για ποια τιμή του ο κύκλος αυτός περνάει από την αρχή των αξόνων;
ii) Να αποδείξετε ότι τα κέντρα των κύκλων του ερωτήματος (i) ανήκουν σε ευθεία της οποίας να βρείτε την εξίσωση.
4. Δίνεται η συνάρτηση με
α) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης
β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται μεταξύ της γραφικής παράστασης της της ευθείας
με εξίσωση και των ευθειών με εξισώσεις και με .
γ) Να υπολογίσετε το όριο του εμβαδού του ανωτέρου χωρίου όταν το \alpha}$ τείνει στο άπειρο.
Re: Α' ΔΕΣΜΗ 1990
Θα κάνω μια προσπάθεια:parmenides51 έγραψε:1. α) Αν είναι πίνακες και ισχύουν οι σχέσεις και όπου ο μηδενικός πίνακας
τότε να αποδείξετε ότι είναι .
β) Έστω πίνακες και ο μοναδιαίος πίνακας .
Αν ισχύει ότι τότε να αποδείξετε ότι ο είναι αντιστρέψιμος και ότι
γ) Έστω πίνακες όπου ο είναι αντιστρέψιμος.
Να αποδείξετε ότι για κάθε θετικό ακέραιο ισχύει η σχέση .
α) Είναι , όμοια
Έτσι και και αφού
β) Είναι
Από τη σχέση άρα ο αντιστρέφεται με
γ) Για προφανώς η σχέση ισχύει
Έστω ότι ισχύει για δηλαδή
Για είναι και το ζητούμενο έπεται από τη μαθηματική επαγωγή.
1. Δεν διδάσκουμε με αυτό που λέμε και κάνουμε. Διδάσκουμε με αυτό που είμαστε.
2. Ο μέτριος δάσκαλος περιγράφει. Ο καλός δάσκαλος εξηγεί. Ο σωστός δάσκαλος αποδεικνύει. Ο σπουδαίος δάσκαλος εμπνέει. ( Γουίλιαμ Γουάρντ)
2. Ο μέτριος δάσκαλος περιγράφει. Ο καλός δάσκαλος εξηγεί. Ο σωστός δάσκαλος αποδεικνύει. Ο σπουδαίος δάσκαλος εμπνέει. ( Γουίλιαμ Γουάρντ)
- Christos75
- Δημοσιεύσεις: 422
- Εγγραφή: Δευ Φεβ 02, 2009 9:41 pm
- Τοποθεσία: Athens
- Επικοινωνία:
Re: Α' ΔΕΣΜΗ 1990
parmenides51 έγραψε: 2. α) Να αποδείξετε ότι αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο και παραγωγίσιμη στο
τότε υπάρχει τέτοιο ώστε να είναι .
β) Θεωρούμε τη συνάρτηση με όπου είναι πραγματικοί αριθμοί
και ισχύει .
Να αποδείξετε ότι υπάρχει τέτοιο ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της στο σημείο
να είναι παράλληλη προς τον άξονα .
Πάμε να δούμε το ακόλουθο θεματάκι που είναι και απλό.
α) Θεωρία σχολικού βιβλίου
β) Μας δίνεται η συνάρτηση η οποία είναι:
Συνεχής στο διάστημα ως πολυωνυμική,
Παραγωγίσιμη στο για τον ίδιο λόγο.
και επιπλέον ισχύει: και
προκύπτει αν εκμεταλλευτούμε τη δοσμένη σχέση εξ'υποθέσεως.
Άρα
Χρησιμοποιώντας το α) ερώτημα, από θεώρημα Rolle από όπου αποδεικνύεται το ζητούμενο.
Χρήστος Λοΐζος
-
- Δημοσιεύσεις: 1753
- Εγγραφή: Σάβ Φεβ 25, 2012 10:19 pm
Re: Α' ΔΕΣΜΗ 1990
ΠΕΡΙΤΤΑ
τελευταία επεξεργασία από orestisgotsis σε Κυρ Φεβ 25, 2024 9:45 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
-
- Δημοσιεύσεις: 1753
- Εγγραφή: Σάβ Φεβ 25, 2012 10:19 pm
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης