Δ' ΔΕΣΜΗ 1996
- parmenides51
- Δημοσιεύσεις: 6239
- Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
- Τοποθεσία: Πεύκη
- Επικοινωνία:
Δ' ΔΕΣΜΗ 1996
1. α) Έστω με και . Θεωρούμε το γραμμικό σύστημα όπου
με αγνώστους .Έστω η ορίζουσα του πίνακα και οι ορίζουσες που προκύπτουν από την
αν αντικαταστήσουμε την η , η και η στήλη αντίστοιχα με τη στήλη των σταθερών όρων του συστήματος.
Έστω ότι .
Να λυθεί το σύστημα .
β) Δίνεται ο πίνακας και το πολυώνυμο
i) Να βρεθούν οι τιμές του έτσι ώστε όπου ο μοναδιαίος πίνακας.
ii) Αν συμβολίζει τον πίνακα , να αποδείξετε ότι υπάρχει μη μηδενικός πίνακας
τέτοιος ώστε όπου ο μηδενικός πίνακας.
2. α) i) Έστω μια πραγματική συνάρτηση συνεχής σ’ ένα διάστημα .
Να αποδείξετε ότι αν για κάθε εσωτερικό σημείο του , τότε η είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το .
ii) Θεωρούμε τις παραγωγίσιμες συναρτήσεις που έχουν πεδίο ορισμού το διάστημα για τις οποίες ισχύει η σχέση
για .
Να αποδείξετε ότι για κάθε
β) i) Έστω η συνάρτηση όπου .
Να αποδειχθεί ότι υπάρχουν δυο τιμές της παραμέτρου έτσι ώστε να ικανοποιείται η σχέση για κάθε
ii) Έστω με . Θεωρούμε τη συνάρτηση με .
Έστω ότι υπάρχει πραγματικός αριθμός τέτοιος ώστε . Να αποδειχθεί ότι .
3. α) i) Δίνεται η συνάρτηση συνεχής στο και .
Να αποδείξετε ότι η είναι δυο φορές παραγωγίσιμη και να μελετήσετε την ως προς τα κοίλα όταν για κάθε
ii) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων και
και την ευθεία .
β) Θεωρούμε τη συνάρτηση
ii) Να υπολογίσετε την τιμή του αν είναι γνωστό ότι
ii) Για την τιμή του που βρήκατε παραπάνω να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα .
4. α) i) Δίνεται ο πίνακας όπου είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί με .
Να αποδειχθεί ότι όπου είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί με .
ii) Έστω ότι είναι ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης και ενδεχόμενα του
Θεωρούμε του πίνακες και όπου το συμπληρωματικά σύνολα των αντίστοιχα.
Αν και τότε να βρεθούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων και .
β) Έστω ότι είναι η ποσότητα ενός αντιβιοτικού που έχει απορροφηθεί από το ανθρώπινο σώμα κατά τη χρονική στιγμή όπου
και είναι πραγματική συνάρτηση με
Να βρεθεί η χρονική στιγμή κατά την οποία ο ρυθμός απορρόφησης του αντιβιοτικού από το ανθρώπινο σώμα είναι ίσος
με το του ρυθμού απορρόφησης κατά τη χρονική στιγμή .
edit's
1. συμπλήρωση στο 4ο ελέω , θενξ Ηλία
2. διόρθωση ονομασίας στο 3α) ii), σωστός ο Ορέστης
με αγνώστους .Έστω η ορίζουσα του πίνακα και οι ορίζουσες που προκύπτουν από την
αν αντικαταστήσουμε την η , η και η στήλη αντίστοιχα με τη στήλη των σταθερών όρων του συστήματος.
Έστω ότι .
Να λυθεί το σύστημα .
β) Δίνεται ο πίνακας και το πολυώνυμο
i) Να βρεθούν οι τιμές του έτσι ώστε όπου ο μοναδιαίος πίνακας.
ii) Αν συμβολίζει τον πίνακα , να αποδείξετε ότι υπάρχει μη μηδενικός πίνακας
τέτοιος ώστε όπου ο μηδενικός πίνακας.
2. α) i) Έστω μια πραγματική συνάρτηση συνεχής σ’ ένα διάστημα .
Να αποδείξετε ότι αν για κάθε εσωτερικό σημείο του , τότε η είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το .
ii) Θεωρούμε τις παραγωγίσιμες συναρτήσεις που έχουν πεδίο ορισμού το διάστημα για τις οποίες ισχύει η σχέση
για .
Να αποδείξετε ότι για κάθε
β) i) Έστω η συνάρτηση όπου .
Να αποδειχθεί ότι υπάρχουν δυο τιμές της παραμέτρου έτσι ώστε να ικανοποιείται η σχέση για κάθε
ii) Έστω με . Θεωρούμε τη συνάρτηση με .
Έστω ότι υπάρχει πραγματικός αριθμός τέτοιος ώστε . Να αποδειχθεί ότι .
3. α) i) Δίνεται η συνάρτηση συνεχής στο και .
Να αποδείξετε ότι η είναι δυο φορές παραγωγίσιμη και να μελετήσετε την ως προς τα κοίλα όταν για κάθε
ii) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων και
και την ευθεία .
β) Θεωρούμε τη συνάρτηση
ii) Να υπολογίσετε την τιμή του αν είναι γνωστό ότι
ii) Για την τιμή του που βρήκατε παραπάνω να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα .
4. α) i) Δίνεται ο πίνακας όπου είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί με .
Να αποδειχθεί ότι όπου είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί με .
ii) Έστω ότι είναι ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης και ενδεχόμενα του
Θεωρούμε του πίνακες και όπου το συμπληρωματικά σύνολα των αντίστοιχα.
Αν και τότε να βρεθούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων και .
β) Έστω ότι είναι η ποσότητα ενός αντιβιοτικού που έχει απορροφηθεί από το ανθρώπινο σώμα κατά τη χρονική στιγμή όπου
και είναι πραγματική συνάρτηση με
Να βρεθεί η χρονική στιγμή κατά την οποία ο ρυθμός απορρόφησης του αντιβιοτικού από το ανθρώπινο σώμα είναι ίσος
με το του ρυθμού απορρόφησης κατά τη χρονική στιγμή .
edit's
1. συμπλήρωση στο 4ο ελέω , θενξ Ηλία
2. διόρθωση ονομασίας στο 3α) ii), σωστός ο Ορέστης
τελευταία επεξεργασία από parmenides51 σε Τρί Ιούλ 02, 2013 2:31 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
- Christos75
- Δημοσιεύσεις: 422
- Εγγραφή: Δευ Φεβ 02, 2009 9:41 pm
- Τοποθεσία: Athens
- Επικοινωνία:
Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1996
Λύσηparmenides51 έγραψε: 2. α) i) Έστω μια πραγματική συνάρτηση συνεχής σ’ ένα διάστημα .
Να αποδείξετε ότι αν για κάθε εσωτερικό σημείο του , τότε η είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το .
ii) Θεωρούμε τις παραγωγίσιμες συναρτήσεις που έχουν πεδίο ορισμού το διάστημα για τις οποίες ισχύει η σχέση
για .
Να αποδείξετε ότι για κάθε
β) i) Έστω η συνάρτηση όπου .
Να αποδειχθεί ότι υπάρχουν δυο τιμές της παραμέτρου έτσι ώστε να ικανοποιείται η σχέση για κάθε
ii) Έστω με . Θεωρούμε τη συνάρτηση με .
Έστω ότι υπάρχει πραγματικός αριθμός τέτοιος ώστε . Να αποδειχθεί ότι .
α)
i) Θεωρία
ii) Μας δίνεται ότι για κάθε
Η παραπάνω σχέση γράφεται
Αν θέσω τότε για κάθε
Συνεπώς η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισμού της, οπότε θα ισχύει
και έτσι αποδείξαμε το ζητούμενο.
β)
i) Μας δίνεται η συνάρτηση και ικανοποιείται η σχέση
Αλλά και επίσης
Αντικαθιστώντας τα παραπάνω στην σχέση και έχουμε
ii) Έχουμε
Υπολογίζουμε την παράγωγο της συνάρτησης
Επίσης
και επίσης
Αντικαθιστώντας την στην έχουμε
και αφού
τότε και εν συνεχεία
Συνεπώς αποδείξαμε ότι
Χρήστος Λοΐζος
-
- Δημοσιεύσεις: 1753
- Εγγραφή: Σάβ Φεβ 25, 2012 10:19 pm
Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1996
ΠΕΡΙΤΤΑ
τελευταία επεξεργασία από orestisgotsis σε Δευ Φεβ 26, 2024 1:05 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
-
- Δημοσιεύσεις: 1753
- Εγγραφή: Σάβ Φεβ 25, 2012 10:19 pm
Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1996
ΠΕΡΙΤΤΑ
τελευταία επεξεργασία από orestisgotsis σε Δευ Φεβ 26, 2024 1:05 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1996
α)parmenides51 έγραψε:1. α) Έστω με και . Θεωρούμε το γραμμικό σύστημα όπου
με αγνώστους .Έστω η ορίζουσα του πίνακα και οι ορίζουσες που προκύπτουν από την
αν αντικαταστήσουμε την η , η και η στήλη αντίστοιχα με τη στήλη των σταθερών όρων του συστήματος.
Έστω ότι .
Να λυθεί το σύστημα .
β) Δίνεται ο πίνακας και το πολυώνυμο
i) Να βρεθούν οι τιμές του έτσι ώστε όπου ο μοναδιαίος πίνακας.
ii) Αν συμβολίζει τον πίνακα , να αποδείξετε ότι υπάρχει μη μηδενικός πίνακας
τέτοιος ώστε όπου ο μηδενικός πίνακας.
αφού
Έτσι , οπότε το σύστημα έχει μοναδική λύση την: (1)
Από τη σχέση (1) συμπεραίνουμε ότι η μοναδική λύση του συστήματος είναι
β) i)
Έτσι
ii. Είναι και (2)
Άρα το ομογενές σύστημα έχει και μη μηδενικές λύσεις, αφού , δηλαδή υπάρχει και μη μηδενικός πίνακας με
Ηλίας Καμπελής
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 9 επισκέπτες