Συλλογή εφαρμοσμένων μαθηματικών

Στον παρόντα φάκελο μπορούν να γίνουν προσκλήσεις για συγγραφή ομαδικών εργασιών που αφορούν μαθηματικά από μέλη του mathematica.gr. Η θεματολογία μπορεί να ποικίλει ανάλογα με τα ενδιαφέροντα των συγγραφέων.
Κανόνες Δ. Συζήτησης
Συνοπτικοί κανόνες για την ομαδική συγγραφή εργασιών μέσα στους χώρους του mathematica.gr

α) Κάθε πρόσκληση για ομαδική εργασία γίνεται στον παρόντα φάκελο.
β) Ένα μέλος του mathematica.gr ορίζεται ως συντονιστής της έκδοσης της εργασίας, είναι ο υπεύθυνος της έκδοσης και ορίζει τις αρμοδιότητες των υπολοίπων μελών. Αυτό μπορεί να γίνει και σε συνεννόηση με άλλα μέλη. Ο συντονιστής της έκδοσης έρχεται σε επαφή με το συμβούλιο των συντονιστών του mathematica.gr και απευθύνεται σε αυτό για οποιοδήποτε απορία/πρόβλημα προκύψει.
γ) Οι λύσεις όλων των θεμάτων γράφονται σε {\color{orange}\LaTeX} και προαιρετικά μπορεί η δημοσίεση να περιλαμβάνει τη λύση γραμμένη και σε Mathtype.
δ) Στο τέλος αναρτάται ΜΟΝΟ σε μορφή .pdf η έκδοση.
ε) Περιέχεται σε κάθε σελίδα και στο εξώφυλλο το λογότυπο του mathematica.gr
στ) Στο εξώφυλλο αναφέρονται τα επώνυμα μέλη που βοήθησαν στην συγγραφή του δελτίου. Σε περίπτωση που ο αριθμός τους είναι μεγάλος τότε τα ονόματα αντί στο εξώφυλλο αναφέρονται σε ειδικό χώρο στο εσώφυλλο του Δελτίου.
ζ) Την τελική έγκριση του Δελτίου την έχουν οι συντονιστές του mathematica.gr
Νίκος Παπαγεωργίου
Δημοσιεύσεις: 51
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 16, 2014 1:55 pm
Επικοινωνία:

Συλλογή εφαρμοσμένων μαθηματικών

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Νίκος Παπαγεωργίου » Τρί Ιουν 20, 2017 4:31 pm

Κυρίες κύριοι, με την ιδιότητα:

1. του γονιού τριών παιδιών σε σχολική ηλικία
2. του αναλυτή παραγωγικών συστημάτων (επιχειρήσεις, οργανισμοί) με σκοπό τη βελτίωση και τον περιορισμό να αποσβένεται το κόστος προτάσεων υλοποίησης εντός 5ετίας
3. του εφευρέτη (νέα συστήματα πρόωσης - θέρμανσης) και ερευνητή των εφαρμοσμένων μαθηματικών (Μαθηματικά της Μεταβολής)

προτείνω να συγγράψουμε (και να συγκεντρώσουμε λυμένες) εφαρμογές των μαθηματικών κεφαλαίων σε όσο το δυνατόν περισσότερα επιστημονικά πεδία (Οικονομία, Φυσική, Χημεία, …)

Με την πρώτη μου ιδιότητα διαπιστώνω ότι η συνάρτηση που περιγράφει τη σχέση των διδασκόμενων μαθηματικών με τις εφαρμογές τους (όχι ασκήσεων) στη χρονική διάρκεια των σχολικών ετών είναι:

μια εκθετική με ταχύτατη απόσβεση (ιδίως στο λύκειο).

Π.χ. στο κεφάλαιο των μιγαδικών συναρτήσεων του σχολικού βιβλίου δεν θα βρείτε ούτε μια πραγματική εφαρμογή (δεν εννοώ ότι δεν υπάρχουν, αλλά ότι δεν εμπεριέχονται).

Το κεφάλαιο που θα μπορούσαμε να ξεκινήσουμε είναι οι γραμμικές συναρτήσεις (για μαθητές από τη β Γυμνασίου). Υπάρχουν πάρα πολλές ασκήσεις (εύκολα μετατρέπονται σε πραγματικά προβλήματα), που ενώ ανήκουν στις γραμμικές δεν επιλύονται με χρήση της γραμμικής συνάρτησης και ταυτόχρονη απεικόνιση σε δισδιάστατο σύστημα αναφοράς (με ευθείες), αλλά ως σύστημα γραμμικών εξισώσεων.

Άποψή μου είναι ότι τα μαθήματα που διδάσκονται στα παιδιά (Γυμνάσιο – Λύκειο) πρέπει να τους είναι χρήσιμα είτε συνεχίσουν τις σπουδές είτε όχι. Η ύλη που υπάρχει και υπηρετεί αυτό το σκοπό είναι τόσο μεγάλη, που δεν περισσεύει χρόνος για μη εφαρμοσμένα μαθηματικά. Π.χ. πόσα παιδιά μπορούν μετά το Λύκειο να κάνουν οικογενειακό προγραμματισμό, ή να επιλέξουν ένα πλυντήριο (αυτοκίνητο, ψυγείο, σκούπα, επάγγελμα, πολιτικό κόμμα…) με κριτήρια βαθμού απόδοσης – απόσβεσης; Και συγκρατώ τον εαυτό μου να μη ρωτήσω ποια εφαρμογή έχουν οι ασκήσεις στις πανελλαδικές!

Η αποδοχή της παραπάνω πρότασης (κάποτε στο μέλλον) θα οδηγήσει σε ένα εκπαιδευτικό σύστημα, όπου οι εξετάσεις (διαγωνίσματα) θα γίνονται με ανοιχτά βιβλία. Σκοπός του εκπαιδευτικού συστήματος (θα έπρεπε να) είναι η αξιοποίηση και όχι η αποστήθιση πληροφοριών (η Γεωγραφία – τόπος – παίζει ρόλο στην Ιστορία – χρονική μεταβολή και αυτό μαθηματικοποιείται ή πόσες λέξεις μπορεί να έχει η ελληνική γλώσσα;).

Πόσο σημαντικό είναι να θυμάται κάποιος ένα μαθηματικό (ή άλλο) τύπο, όταν είναι σε θέση να τον χρησιμοποιήσει; Καθόλου. Η μεγάλη δυσκολία δεν είναι στην επίλυση μιας αλγεβρικής παράστασης, αλλά στη δημιουργία της, δηλ. στην μαθηματικοποίηση ενός υπαρκτού προβλήματος. Και εδώ μπορώ να συμβάλω με τη δεύτερή μου ιδιότητα.

Ο Euler έλεγε (και έπραττε) ότι για κάθε δρομολόγηση λύσης υπάρχει και μια δεύτερη, που οδηγεί στο ίδιο αποτέλεσμα. Ο απειροστικός προς τον διαφορικό λογισμό φαίνεται πως δεν είναι ο μόνος δρόμος και εδώ μπορώ να συμβάλω με την τρίτη μου ιδιότητα.

Ακόμα όμως κι αν ήμουν μαθηματικός δεν θα μπορούσα να εκπονήσω ένα έργο για μαθητές, διότι αυτό πρέπει να είναι αποτέλεσμα πολλών ειδικοτήτων και μεγάλης διδακτικής πείρας (τέτοια αποκτώ προσφάτως από τα παιδιά μου και κάτι μου λέει ότι δεν αρκεί!).

Δεν είμαι συμπαθής, ευγενής, υπομονετικός, ανεκτικός ... δηλ. δεν έχω καμία ιδιότητα δασκάλου (μου το λένε οι ίδιοι που με πληρώνουν να βελτιώσω τις επιχειρήσεις τους - όπου ξεκινάω με δωρεάν υπηρεσίες σαν την google..).

Είμαι όμως χρήσιμος (όχι ως πρόσωπο αλλά) ως φορέας ιδιοτήτων (κάτι σαν ιός για εμβόλιο έλλειψης χιούμορ). Π.χ.

Ένα μήλο + ένα πορτοκάλι = 2 φρούτα (η ιδιότητα μετράει όχι το περίβλημα)

Έτσι αρχίζουν τα μαθηματικά της Χημείας, θέλετε να μάθετε πως συνεχίζουν; Λάβετε μέρος.

Τις συγγράφειν (δομείν, συντονίζειν, ελέγχειν, κρίνειν..) βούλεται;


Μαθηματικά της Μεταβολής

Λέξεις Κλειδιά:
Νίκος Παπαγεωργίου
Δημοσιεύσεις: 51
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 16, 2014 1:55 pm
Επικοινωνία:

Re: Συλλογή εφαρμοσμένων μαθηματικών

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Νίκος Παπαγεωργίου » Τετ Ιουν 21, 2017 12:14 pm

Τα παιδιά στην Β Γυμνασίου πρέπει να μπορούν να λύνουν απλές (όπως η παρούσα) γραμμικές εξισώσεις. Η επίσημη λύση που προτάθηκε στο παρακάτω πρόβλημα http://www.hms.gr/sites/default/files/s ... _01_28.pdf διαφέρει από τη δική μου.

Πρόβλημα 4 (Διαγωνισμός Ευκλείδης 2017, Β Γυμνασίου)

Ένας πεζοπόρος περπατάει από το χωριό Α για να πάρει το τρένο στην πόλη Β. Ο πεζοπόρος σε μία ώρα προχώρησε κατά 4 χιλιόμετρα και τότε διαπίστωσε ότι περπατώντας με αυτή την (σταθερή) ταχύτητα θα έφθανε στο σταθμό μία ώρα αργότερα από την αναχώρηση του τρένου. Για αυτό το λόγο στο υπόλοιπο της διαδρομής κινήθηκε με 6 χιλιόμετρα την ώρα και έτσι έφθασε στο σταθμό μισή ώρα νωρίτερα από την αναχώρηση του τρένου. Να βρείτε την απόσταση του χωριού Α από το σταθμό του τρένου στη πόλη Β.

Επειδή έχουμε σταθερή ταχύτητα μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την εξίσωση της ευθείας (δύο φορές). Η πρώτη ευθεία ορίζει το διάστημα που ο πεζοπόρος έχει σταθερή ταχύτητα 4 \left \lfloor \frac{Km}{h} \right \rfloor ενώ η δεύτερη το διάστημα που καλύπτει με 6\left \lfloor \frac{Km}{h} \right \rfloor

Γράφουμε τα Δεδομένα με μορφή συναρτήσεων και τα απεικονίζουμε σε διάγραμμα X με μονάδες μέτρησης (μ.μ.)[ώρες], \Psi με μ.μ.[Km]

Αρχική σταθερή ταχύτητα μιας ώρας από το σημείο \left ( 0, 0 \right ) μέχρι το σημείο \left ( 1,4 \right )

Προκύπτει η ευθεία \psi =4x της δίνουμε τον κωδικό (01)

Η σταθερή ταχύτητα \upsilon σε ένα διάγραμμα απόστασης - χρόνου αντιστοιχεί στην κλίση της ευθείας, δηλ. στην εφαπτομένη της γωνίας που καθορίζει τη διεύθυνση της ευθείας

\upsilon =\tan \theta =\frac{\Delta \psi }{\Delta x}


Από το σημείο \left ( 1,4 \right ) η ταχύτητα είναι 6 \left \lfloor \frac{Km}{h} \right \rfloor

Προκύπτει η ευθεία \psi =6x+c της δίνουμε τον κωδικό (02)

Την δεύτερη ώρα η απόσταση \Delta \psi που θα καλύψει ο πεζοπόρος θα είναι 6Km. Από το διάγραμμα και την εξίσωση της ευθείας βρίσκουμε ότι στις δύο πρώτες ώρες:

\psi\left ( 2 \right )=4+6=6*2+c\Rightarrow c=-2

Το c είναι το σημείο τομής της ευθείας (02) με τον άξονα \Psi. Η ευθεία (01) τέμνει τον άξονα \Psi στο μηδέν.
Η (02) γίνεται:

\psi =6x-2

Έστω T ο χρόνος αναχώρησης του τρένου. Η συνολική απόσταση για μεν την (01) (αν ο πεζοπόρος βάδιζε με σταθερή ταχύτητα 4 \left \lfloor \frac{Km}{h} \right \rfloor ) καλύπτεται για x=T+1 [ώρα]

για δε την (02) x=T-\frac{1}{2} [ώρα]

δηλαδή στο ίδιο \psi [Km] οι δύο συναρτήσεις είναι ίσες (με διαφορετικό χρόνο η κάθε μια) (01) = (02)

4\left ( T+1) \right =6\left ( T-0.5)-2

Λύνοντας ως προς T βρίσκουμε T=\frac{9}{2}

αντικαθιστώντας σε μια από τις δύο συναρτήσεις το Τ βρίσκουμε την τελική απόσταση \psi =22\left [ Km\right ]


Μαθηματικά της Μεταβολής
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3899
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Συλλογή εφαρμοσμένων μαθηματικών

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Τετ Ιουν 21, 2017 1:08 pm

Καλησπέρα σε όλους!

Για λόγους ενημέρωσης και μόνο, δίνω το σύνδεσμο που παραπέμπει και σε άλλες λύσεις του προβλήματος αυτού (επίσης ευκολότερες από τις "επίσημες" απαντήσεις). Εδώ, εδώ και εδώ.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΟΜΑΔΙΚΕΣ ΕΡΓΑΣΙΕΣ ΜΕΛΩΝ ΤΟΥ MATHEMATICA.GR”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης