4o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#41

dimkat έγραψε:Στο θέμα 4_17835 στο γ ερώτημα, αν η λύση για το λ ήταν το 3, θα γινόταν δεκτή?

Θα μπορούσε να είναι ένα πονηρό ερώτημα - παγίδα
Από τη Γεωμετρία Α΄Λυκείου
Δύο ευθείες που έχουν ένα μόνο κοινό σημείο λέγονται τεμνόμενες ευθείες και το κοινό σημείο τους λέγεται τομή των δύο ευθειών……
Το συγκεκριμμένο σημείο $\displaystyle{A}$ είναι από την υπόθεση σημείο τομής , άρα μοναδικό .
Επομένως , αφού για $\displaystyle{{\rm{\lambda = 3}}}$ , οι ευθείες έχουν άπειρα κοινά σημεία , η τιμή $\displaystyle{{\rm{\lambda = 3}}}$ δεν πρέπει να γίνει δεκτή .

akis_man · #42

chris_gatos έγραψε: GI_V_ALG_4_17835

ΙΙΙ) Αν $\lambda =-3$ τότε αντικαθιστώντας στο αρχικό μας σύστημα λαμβάνουμε: $\displaystyle{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x - y = 3}\\ {x - y = \frac{3}{5}} \end{array}} \right.}$ επομένως το σύστημα είναι αδύνατο δηλαδή τότε οι ευθείες είναι παράλληλες.

Ακόμα μία παρατήρηση για το θέμα 4_17835

Το σύστημα στο ερώτημα (Α), στην περίπτωση (III), όπου το $\lambda =-3$ είναι (ξεχάχατε ένα μείον στον σταθερό όρο):
$\displaystyle{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x - y = 3}\\ {x - y = -\frac{3}{5}} \end{array}} \right.}$
το οποίο φυσικά παραμένει αδύνατο...

depymak · #43

ποια θέματα δεν έχουν λυθεί;

akis_man · #44

Νέα θέματα Άλγρεβρας Β Λυκείου από την τράπεζα:

GI_V_ALG_4_20338
GI_V_ALG_4_20337
GI_V_ALG_4_20336
GI_V_ALG_4_20334
GI_V_ALG_4_20332
GI_V_ALG_4_20331

Γιώργος Απόκης · #45

akis_man έγραψε:Νέα θέματα Άλγρεβρας Β Λυκείου από την τράπεζα:

ΓΗ_Β_ΑΛΓ_4_20338
ΓΗ_Β_ΑΛΓ_4_20337
ΓΗ_Β_ΑΛΓ_4_20336
ΓΗ_Β_ΑΛΓ_4_20334
ΓΗ_Β_ΑΛΓ_4_20332
ΓΗ_Β_ΑΛΓ_4_20331

Με δόσεις για να έχει κι αγωνία!

#46

GI_V_ALG_4_20336

Δίνεται το σύστημα:
$\displaystyle{\left\{ \begin{array}{l} 2x - 4y = 1 - \lambda \\ x + 6y = \lambda + 2 \end{array} \right.,{\rm{ }}\lambda \in R}$

α) Να αποδείξετε ότι το σύστημα έχει λύση για οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό $\lambda$ .
(Μονάδες

)
β) Να βρείτε τα

και

συναρτήσει του $\lambda$ . (Μονάδες

)
γ) Να προσδιορίσετε την τιμή του $\lambda$ , για την οποία οι ευθείες: $2x - 4y = 1 - \lambda , x + 6y = \lambda + 2$ και 16x + 16y = 19

διέρχονται από το ίδιο σημείο. (Μονάδες

)

Λύση.

α) $\displaystyle{D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 2&{ - 4}\\ 1&6 \end{array}} \right| = 12 + 4 = 16 \ne 0}$ , άρα το σύστημα έχει λύση για οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό $\lambda$

β) $\displaystyle{{D_x} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {1 - \lambda }&{ - 4}\\ {\lambda + 2}&6 \end{array}} \right| = 6 - 6\lambda + 4\lambda + 8 = 14 - 2\lambda }$ , $\displaystyle{{D_y} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 2&{1 - \lambda }\\ 1&{\lambda + 2} \end{array}} \right| = 2\lambda + 4 - 1 + \lambda = 3\lambda + 3}$

Επομένως $\displaystyle{x = \frac{{{D_x}}}{D} = \frac{{14 - 2\lambda }}{{16}},y = \frac{{{D_y}}}{D} = \frac{{3\lambda + 3}}{{16}}}$

γ) Για να διέρχονται οι ευθείες από το ίδιο σημείο, πρέπει η λύση του συστήματος των δύο πρώτων εξισώσεων να επαληθεύει και την τρίτη. Δηλαδή:

$\displaystyle{16\left( {\frac{{14 - 2\lambda }}{{16}}} \right) + 16\left( {\frac{{3\lambda + 3}}{{16}}} \right) = 19 \Leftrightarrow 14 - 2\lambda + 3\lambda + 3 = 19 \Leftrightarrow \lambda = 2}$

Γιώργος Απόκης · #47

GI_V_ALG_4_20337

Ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο έχει περίμετρο $\displaystyle{24~cm}$ . Αν αυξήσουμε το μήκος του κατά $\displaystyle{3~cm}$ και ελαττώσουμε το πλάτος του κατά

$\displaystyle{2~cm}$ , θα προκύψει ορθογώνιο με εμβαδόν διπλάσιο του αρχικού ορθογωνίου.

α) Να εκφράσετε την παραπάνω κατάσταση με ένα σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους.

β) Να βρείτε τις διαστάσεις του ορθογωνίου.

Λύση

Αν $\displaystyle{x,y}$ (με $\displaystyle{y>2,x<10}$ ) οι αρχικές διαστάσεις, τότε οι τελικές είναι $\displaystyle{x+3,y-2}$ .

α) Αρχικά έχουμε περίμετρο $\displaystyle{2x+2y}$ και εμβαδόν $\displaystyle{xy}$ και τελικά έχουμε εμβαδόν $\displaystyle{(x+3)(y-2)}$ .

Eπομένως $\displaystyle{\begin{cases} 2x+2y=24 \\(x+3)(y-2)=2xy \end{cases}}$ .

β) Από την πρώτη εξίσωση έχουμε : $\displaystyle{y=12-x~(1)}$ και από τη δεύτερη :

$\displaystyle{xy-2x+3y-6=2xy\Leftrightarrow -2x+3y-xy-6=0\overset{(1)}\Leftrightarrow -2x+3(12-x)-x(12-x)-6=0 \Leftrightarrow}$

$\displaystyle{x^2-17χ+30=0\Leftrightarrow x=2~\acute{\eta}~x=15>10}$ . Άρα $\displaystyle{x=2,y=10}$

Εdit: Συμπλήρωσα τον περιορισμό για το $\displaystyle{x,y}$ . Γιώργη και Χρήστο ευχαριστώ!

akis_man · #48

ΘΕΜΑ: GI_V_ALG_4_20334
Διορθώθηκε μετά από υπόδειξη του συναδέλφου Παναγιώτη Παπαδόπουλου.

Στο σχήμα δίνονται οι γραφικές παραστάσεις μιας παραβολής $f\left( x \right) = \alpha {x^2} + \beta x + \gamma$ και της ευθείας $g\left( x \right) = - x + 2$ .
Εικόνα εκφώνησης:

α) Δεδομένου ότι η παραβολή διέρχεται από τα σημεία Α, Β, Γ, να βρείτε τα α, β, γ.
(Μονάδες 8)
β) Αν $\alpha = \frac{1}{2},\beta = 0$ και $\gamma = - 2$ , να βρείτε αλγεβρικά τις συντεταγμένες των κοινών σημείων ευθείας και παραβολής.
(Μονάδες 8)
γ) Αν μετατοπίσουμε την παραβολή κατά 4,5 μονάδες προς τα πάνω, να δείξετε ότι η ευθεία και η παραβολή θα έχουν ένα μόνο κοινό σημείο.
(Μονάδες 9)

(Σημείωση: Τα σημεία δε δίνονται από το σχήμα στην εκφώνηση της άσκησης. Ο μαθητής πρέπει να τα εντοπίσει.)

ΛΥΣΗ:

α) Τα σημεία είναι: ${\rm A}\left( {2,0} \right),{\rm B}\left( { - 2,0} \right),\Gamma \left( {0, - 2} \right)$ .
Αφού η παραβολή μας διέρχεται από τα σημεία Α, Β, Γ, τότε τα σημεία αυτά θα επαληθεύουν την εξίσωσής της.
Οπότε:
Από το σημείο ${\rm A}\left( {2,0} \right)$ έχω: $\displaystyle{0 = \alpha {2^2} + \beta 2 + \gamma \Leftrightarrow 4\alpha + 2\beta + \gamma = 0}$ .
Από το σημείο ${\rm B}\left( {-2,0} \right)$ έχω: $0 = \alpha {\left( { - 2} \right)^2} + \beta \left( { - 2} \right) + \gamma \Leftrightarrow 4\alpha - 2\beta + \gamma = 0$ .
Από το σημείο $\Gamma \left( {0, - 2} \right)$ έχω: $- 2 = \alpha {0^2} + \beta 0 + \gamma \Leftrightarrow \gamma = - 2$ .

Λύνοντας το σύστημα των παραπάνω εξισώσεων θα βρούμε τα α, β, και γ, και κατ’ επέκταση την εξίσωση της παραβολής μας.
$\displaystyle{\begin{array}{l} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {4\alpha + 2\beta + \gamma = 0}\\ {4\alpha - 2\beta + \gamma = 0}\\ {\gamma = - 2} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {4\alpha + 2\beta - 2 = 0}\\ {4\alpha - 2\beta - 2 = 0} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {4\alpha + 2\beta = 2}\\ {4\alpha - 2\beta = 2} \end{array}} \right.\mathop \Leftrightarrow \limits^{\left( + \right)} 8\alpha = 4 \Leftrightarrow \alpha = \frac{1}{2} \end{array}}$

Αντικαθιστώντας την τιμή του α, παίρνουμε την τιμή του β.
$4 \cdot \frac{1}{2} + 2\beta = 2 \Leftrightarrow 2 + 2\beta = 2 \Leftrightarrow 2\beta = 0 \Leftrightarrow \beta = 0$

Άρα: $\left( {\alpha ,\beta ,\gamma } \right) = \left( { & \frac{1}{2},0, - 2} \right)$

Οπότε έχουμε $\alpha = \frac{1}{2},\beta = 0,\gamma = - 2$ και η εξίσωση της παραβολή μας γίνεται: $f\left( x \right) = \frac{1}{2}{x^2} - 2$

β) Όταν $\alpha = \frac{1}{2},\beta = 0$ και $\gamma = - 2$ , η εξίσωση της παραβολή μας παίρνει την μορφή: $f\left( x \right) = \frac{1}{2}{x^2} + 0x - 2 = \frac{1}{2}{x^2} - 2$ .

Για να βρούμε τα κοινά σημεία θα λύσουμε το σύστημα της $f\left( x \right)$ και της $g\left( x \right)$ .

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {y = \frac{1}{2}{x^2} - 2}\\ {y = - x + 2} \end{array}} \right.\mathop \Leftrightarrow \limits^{\left( = \right)} \frac{1}{2}{x^2} - 2 = - x + 2 \Leftrightarrow \frac{1}{2}{x^2} + x - 4 = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 2x - 8 = 0$

$\Delta = {\beta ^2} - 4\alpha \gamma = {2^2} - 4 \cdot 1 \cdot \left( { - 8} \right) = 4 + 32 = 36$

${x_{1,2}} = \frac{{ - \beta \pm \sqrt \Delta }}{{2\alpha }} = \frac{{ - 2 \pm \sqrt {36} }}{{2 \cdot 1}} = \frac{{ - 2 \pm 6}}{2} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} = \frac{{ - 2 + 6}}{2} = \frac{4}{2} = 2}\\ {{x_2} = \frac{{ - 2 - 6}}{2} = \frac{{ - 8}}{2} = - 4} \end{array}} \right.$

Άρα για ${x_1} = 2$ έχουμε ${y_1} = - 2 + 2 = 0$ και
για ${x_2} = - 4$ έχουμε ${y_2} = - \left( { - 4} \right) + 2 = 6$ .

Οπότε τα σημεία τομής της παραβολής $f\left( x \right) = \frac{1}{2}{x^2} - 2$ και της ευθείας $g\left( x \right) = - x + 2$ είναι τα: $\left( {{x_1},{y_1}} \right) = \left( {2,0} \right)$ και $\left( {{x_2},{y_2}} \right) = \left( { - 4,6} \right)$ .

Εικόνα

γ) Αν μετατοπίσουμε την παραβολή μας κατά 4,5 μονάδες προς τα πάνω θα έχουμε μία νέα εξίσωση της μορφής:
$h\left( x \right) = f\left( x \right) + 4,5 = f\left( x \right) + \frac{9}{2} = \frac{1}{2}{x^2} - 2 + \frac{9}{2} = \frac{1}{2}{x^2} + \frac{5}{2}$ .

Λύνοντας το νέο σύστημα της $h\left( x \right) = \frac{1}{2}{x^2} + \frac{5}{2}$ και της $g\left( x \right) = - x + 2$ έχουμε:

$\begin{array}{l} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {y = \frac{1}{2}{x^2} + \frac{5}{2}}\\ {y = - x + 2} \end{array}} \right.\mathop \Leftrightarrow \limits^{\left( = \right)} \frac{1}{2}{x^2} + \frac{5}{2} = - x + 2 \Leftrightarrow \frac{1}{2}{x^2} + x + \frac{5}{2} - 2 = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{2}{x^2} + x + \frac{1}{2} = \\ {x^2} + 2x + 1 = 0\mathop \Leftrightarrow \limits^{\tau \alpha \upsilon \tau \tau \eta \tau \alpha } {\left( {x + 1} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = - 1 \end{array}$

Άρα το $y = - \left( { - 1} \right) + 2 = 3$ .
Οπότε το σημείο τομής των $h\left( x \right) = \frac{1}{2}{x^2} + \frac{5}{2}$ και $g\left( x \right) = - x + 2$ είναι ένα, το: $\left( {x,y} \right) = \left( { - 1,3} \right)$ .

Εικόνα

edit:
ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Διορθώθηκε και ενημερώθηκαν τα αρχεία word και pdf, μετά από την παρέμβαση του συναδέλφου Παναγιώτη Παπαδόπουλου, τον οποίο και ευχαριστώ πολύ για την υπόδειξή του.
Στην αρχική λύση, είχα λάβει λάθος τις συντεταγμένες του σημείου Α.

Παρακαλώ τους συντονιστές να ενημερώσουν το φυλλάδιο με τις λύσεις κατά την επόμενη ανανέωση, και ζητάω συγγνώμη εκ των προτέρων από συναδέλφους και μαθητές για την όποια αναστάτωση δημιουργήθηκε...
Βάση της νέας σωστής λύσης, η παρακάτω σημείωση δεν έχει νόημα πλέον, και παρακαλώ να την παραβλέψετε:
"Στην εκφώνηση του ερωτήματος (γ), δεν διευκρινίζεται ποια παραβολή θα πρεπει να λάβουμε, αυτή του (α) ερωτήματος ή αυτή του (β), και μπορεί να προκληθεί σύγχυση.
Αν ο μαθητής λάβει την παραβολή του ερωτήματος (α) δεν θα μπορέσει να το αποδείξει, διότι με την μεταφορά δεν προκύπτει ένα ζεύγος λύσεων."

#49

GI_V_ALG_4_20332

Δίνονται οι συναρτήσεις $\displaystyle{{\rm{\varphi (x) = - }}{{\rm{x}}^2},x \in R}$ και $\displaystyle{f(x) = - {x^2} + 2x + 1,x \in R}$
α) Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{f(x) = - {(x - 1)^2} + 2}$ για κάθε $\displaystyle{x \in R}$ και στη συνέχεια, με τη βοήθεια της
γραφικής παράστασης της συνάρτησης $\displaystyle{{\rm{\varphi }}}$ να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση $\displaystyle{f}$ .
(Μονάδες 10)
β) Με τη βοήθεια της γραφικής παράστασης της $\displaystyle{f}$ να βρείτε:
i. Τα διαστήματα στα οποία η συνάρτηση $\displaystyle{f}$ είναι γνησίως μονότονη. (Μονάδες 5)
ii. Το ολικό ακρότατο της $\displaystyle{f}$ καθώς και τη θέση του. (Μονάδες 5)
iii. Το πλήθος των ριζών της εξίσωσης $\displaystyle{f(x) = \kappa \,\,\,,\,\,\,\kappa < 2\,\,}$
Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 5 )

ΛΥΣΗ

α) Για κάθε $\displaystyle{x \in R}$ είναι :
$\displaystyle{f(x) = - {x^2} + 2x + 1 = - {x^2} + 2x - 1 + 2 = - ({x^2} + 2x - 1) + 2 = - {(x - 1)^2} + 2}$
Η γραφική παράσταση της $\displaystyle{f}$ προκύπτει από τη γραφική παράσταση της $\displaystyle{{\rm{\varphi }}}$
με μετατόπιση κατά $\displaystyle{1}$ μονάδα προς τα δεξιά και κατά $\displaystyle{2}$ μονάδες προς τα άνω .
Η γραφική παράσταση της $\displaystyle{f}$ φαίνεται στο επόμενο σχήμα .

: 32.png (9.69 KiB) Προβλήθηκε 14071 φορές

β)
i) Όπως προκύπτει από τη γραφική παράσταση , η $\displaystyle{f}$ είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα $\displaystyle{( - \infty ,1]}$ και γνησίως φθίνουσα στο $\displaystyle{[1, + \infty )}$

ii) Η κορυφή $\displaystyle{(0,0)}$ της $\displaystyle{{\rm{\varphi }}}$ , στην οποία η $\displaystyle{{\rm{\varphi }}}$ παρουσιάζει μέγιστο , έχει μεταφερθεί στη θέση $\displaystyle{{\rm K}(1,2)}$ το οποίο αποτελεί την κορυφή της $\displaystyle{f}$ . Επομένως , για $\displaystyle{x = 1}$ η $\displaystyle{f}$ παρουσιάζει μέγιστο (ολικό) , το οποίο ισούται με $\displaystyle{2}$
iii) Είναι :
$\displaystyle{f(x) = k \Leftrightarrow - {x^2} + 2x + 1 - k = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 2x + \left( {k - 1} \right) = 0,\,\,\,x \in R,\,\,\,\kappa < 2}$
και αφού $\displaystyle{{\rm{\Delta = 4 - 4(\kappa - 1) = 8 - 4\kappa = 4(2 - \kappa ) > }}\,{\rm{0}}}$ , διότι $\displaystyle{\kappa < 2}$ , η εξίσωση έχει δύο ρίζες .

#50

Γιώργος Απόκης έγραψε:GI_V_ALG_4_20337

Ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο έχει περίμετρο $\displaystyle{24~cm}$ . Αν αυξήσουμε το μήκος του κατά $\displaystyle{3~cm}$ και ελαττώσουμε το πλάτος του κατά

$\displaystyle{2~cm}$ , θα προκύψει ορθογώνιο με εμβαδόν διπλάσιο του αρχικού ορθογωνίου.

α) Να εκφράσετε την παραπάνω κατάσταση με ένα σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους.

β) Να βρείτε τις διαστάσεις του ορθογωνίου.

Λύση

Αν $\displaystyle{x,y}$ οι αρχικές διαστάσεις, τότε οι τελικές είναι $\displaystyle{x+3,y-2}$ .

α) Αρχικά έχουμε περίμετρο $\displaystyle{2x+2y}$ και εμβαδόν $\displaystyle{xy}$ και τελικά έχουμε εμβαδόν $\displaystyle{(x+3)(y-2)}$ .

Eπομένως $\displaystyle{\begin{cases} 2x+2y=24 \\(x+3)(y-2)=2xy \end{cases}}$ .

β) Από την πρώτη εξίσωση έχουμε : $\displaystyle{y=12-x~(1)}$ (με $\displaystyle{x<12}$ ) και από τη δεύτερη :

$\displaystyle{xy-2x+3y-6=2xy\Leftrightarrow -2x+3y-xy-6=0\overset{(1)}\Leftrightarrow -2x+3(12-x)-x(12-x)-6=0 \Leftrightarrow}$

$\displaystyle{x^2-17χ+30=0\Leftrightarrow x=2~\acute{\eta}~x=15>12}$ . Άρα $\displaystyle{x=2,y=10}$

Σωστά το λύνει ο Γιώργος, αλλά πώς σας φαίνεται όταν σάς λένε πάρε ένα ορθογώνιο με ΜΗΚΟΣ = , ΠΛΑΤΟΣ = ;

Νομίζω χάνουν οι όροι το νόημά τους..... Ας έλεγαν απλά: η μία διάσταση αυξάνει κατά και η άλλη μειώνεται κατά .

Επίσης, στο (β) ερώτημα να διευκρινιστεί αν ζητά του αρχικού ή του τελικού ορθογωνίου.

Τέλος, σίγουρα είναι "ισοδύναμο" με τ' άλλα "τέταρτα" θέματα, για λόγους δίκαιης συμπεριφοράς απέναντι στους μαθητές;

Andreas Panteris · #51

Ετοιμάζω την ΓΗ_Β_ΑΛΓ_4_20338

Γιώργος Απόκης · #52

Γιώργος Ρίζος έγραψε:
Γιώργος Απόκης έγραψε:GI_V_ALG_4_20337

Ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο έχει περίμετρο $\displaystyle{24~cm}$ . Αν αυξήσουμε το μήκος του κατά $\displaystyle{3~cm}$ και ελαττώσουμε το πλάτος του κατά

$\displaystyle{2~cm}$ , θα προκύψει ορθογώνιο με εμβαδόν διπλάσιο του αρχικού ορθογωνίου.

α) Να εκφράσετε την παραπάνω κατάσταση με ένα σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους.

β) Να βρείτε τις διαστάσεις του ορθογωνίου.

Λύση

Αν $\displaystyle{x,y}$ οι αρχικές διαστάσεις, τότε οι τελικές είναι $\displaystyle{x+3,y-2}$ .

α) Αρχικά έχουμε περίμετρο $\displaystyle{2x+2y}$ και εμβαδόν $\displaystyle{xy}$ και τελικά έχουμε εμβαδόν $\displaystyle{(x+3)(y-2)}$ .

Eπομένως $\displaystyle{\begin{cases} 2x+2y=24 \\(x+3)(y-2)=2xy \end{cases}}$ .

β) Από την πρώτη εξίσωση έχουμε : $\displaystyle{y=12-x~(1)}$ (με $\displaystyle{x<12}$ ) και από τη δεύτερη :

$\displaystyle{xy-2x+3y-6=2xy\Leftrightarrow -2x+3y-xy-6=0\overset{(1)}\Leftrightarrow -2x+3(12-x)-x(12-x)-6=0 \Leftrightarrow}$

$\displaystyle{x^2-17χ+30=0\Leftrightarrow x=2~\acute{\eta}~x=15>12}$ . Άρα $\displaystyle{x=2,y=10}$

Σωστά το λύνει ο Γιώργος, αλλά πώς σας φαίνεται όταν σάς λένε πάρε ένα ορθογώνιο με ΜΗΚΟΣ = , ΠΛΑΤΟΣ = ;

Νομίζω χάνουν οι όροι το νόημά τους..... Ας έλεγαν απλά: η μία διάσταση αυξάνει κατά και η άλλη μειώνεται κατά .

Επίσης, στο (β) ερώτημα να διευκρινιστεί αν ζητά του αρχικού ή του τελικού ορθογωνίου.

Τέλος, σίγουρα είναι "ισοδύναμο" με τ' άλλα "τέταρτα" θέματα, για λόγους δίκαιης συμπεριφοράς απέναντι στους μαθητές;

Γιώργο θα έκανα ακριβώς αυτές τις παρατηρήσεις αλλά με πρόλαβες!

Επίσης, το "να εκφράσετε την παραπάνω κατάσταση" είναι λίγο παράξενη έκφραση για άσκηση Μαθηματικών.

Andreas Panteris · #53

GI_V_ALG_4_20338

Στο παρακάτω σχήμα, δίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης , που είναι της μορφής
$f(x) = \alpha + \beta \sigma\upsilon\nu x$ , όπου $\alpha, \ \beta$ πραγματικοί αριθμοί.
α) Mε βάση τη γραφική παράσταση της , να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της.
(Mονάδες 4)
β) Ποια είναι η περίοδος της συνάρτησης ; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
(Μονάδες 4)
γ) Mε βάση τα δεδομένα του σχήματος, να αποδείξετε ότι: $\alpha = -2$ και $\beta = 6$ .
(Μονάδες 8)
δ) Να προσδιορίσετε αλγεβρικά τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της με την
ευθεία στο διάστημα $[0, 2\pi]$ . (Μονάδες 9)

Λύση

(α) Με βάση τη γραφική παράσταση, η μέγιστη τιμή της συνάρτησης $\displaystyle{f}$ είναι το $\displaystyle{4}$ και η ελάχιστη τιμή το $\displaystyle{-8.}$

(β) Η περίοδος είναι:
(i) Αλγεβρικά: $\displaystyle{T=\frac{2\pi }{\omega }\Rightarrow T=\frac{2\pi }{2}\Rightarrow T=\pi }$
(ii) Γεωμετρικά: Από τη γραφική παράσταση $\displaystyle{T=\pi .}$

(γ) Αφού η $\displaystyle{f}$ είναι γνησίως φθίνουσα στο $\displaystyle{\left[ 0,\frac{\pi }{2} \right]}$ και γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle{\left[ \frac{\pi }{2},\pi \right]}$ , θα είναι $\displaystyle{\beta >0}$ , οπότε:
$\displaystyle{ -1\le \sigma \upsilon \nu 2x\le 1,x\in \mathbb{R}\text{ }\overset{\left( \beta >0 \right)}{\mathop{\Leftrightarrow }}\,\text{ }-\beta \le \beta \sigma \upsilon \nu 2x\le \beta ,x\in \mathbb{R} \Leftrightarrow \alpha -\beta \le \alpha +\beta \sigma \upsilon \nu 2x\le \alpha +\beta}$

για κάθε $\displaystyle{x\in \mathbb{R}}$ .

Άρα $\displaystyle{\left. \begin{matrix} \max f=\alpha +\beta \\ \min f=\alpha -\beta \\ \end{matrix} \right\}\Rightarrow \left. \begin{matrix} \alpha +\beta & =4 \\ \alpha -\beta & =-8 \\ \end{matrix} \right\}\Leftrightarrow \left. \begin{matrix} 2\alpha =-4 \\ 2\beta =12 \\ \end{matrix} \right\}\Leftrightarrow \alpha =-2\text{ }\kappa \alpha \iota \text{ }\beta =6}$

(δ) Για $\displaystyle{\alpha =-2\text{ }\kappa \alpha \iota \text{ }\beta =6}$ , $\displaystyle{f(x)=-2+6\sigma \upsilon \nu 2x}$ .
Οι τετμημένες των κοινών σημείων της $\displaystyle{{{C}_{f}}}$ και της ευθείας $\displaystyle{y=1}$ είναι οι λύσεις της εξίσωσης $\displaystyle{f(x)=1\Leftrightarrow -2+6\sigma \upsilon \nu 2x=1\Leftrightarrow }$ \displaystyle{\displaystyle{6\sigma \upsilon \nu 2x=3\Leftrightarrow }} $\displaystyle{\sigma \upsilon \nu 2x=\frac{1}{2}\Leftrightarrow }$ \displaystyle{\displaystyle{\sigma \upsilon \nu 2x=\sigma \upsilon \nu \frac{\pi }{3}\Leftrightarrow }} $\displaystyle{\left\{ \begin{matrix} 2x=2k\pi +\frac{\pi }{3} \\ \\ 2x=2k\pi -\frac{\pi }{3} \\ \end{matrix} \right.\mu \varepsilon \text{ }k\in \mathbb{Z}}$ $\displaystyle{\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x=k\pi +\frac{\pi }{6} \\ \\ x=k\pi -\frac{\pi }{6} \\ \end{matrix} \right.\mu \varepsilon \text{ }k\in \mathbb{Z}\text{ }\overset{\left( x\in \left[ 0,2\pi \right] \right)}{\mathop{\Leftrightarrow }}\,\text{ }\left\{ \begin{matrix} x=\frac{\pi }{6}\text{ }\text{ }x=\pi +\frac{\pi }{6} \\ x=\pi -\frac{\pi }{6}\text{ }\text{ }x=2\pi -\frac{\pi }{6} \\ \end{matrix} \right.}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow \text{ }\left\{ \begin{matrix} x=\frac{\pi }{6}\text{ }\text{ }x=\frac{7\pi }{6} \\ x=\frac{5\pi }{6}\text{ }\text{ }x=\frac{11\pi }{6} \\ \end{matrix} \right.}$

Επομένως τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της $\displaystyle{f}$ με την ευθεία $\displaystyle{y=1}$ στο διάστημα

$\displaystyle{\left[ 0,2\pi \right]}$ είναι τα σημεία $\displaystyle{\Alpha \left( \frac{\pi }{6},1 \right),}$ \displaystyle{\displaystyle{B\left( \frac{5\pi }{6},1 \right),}} $\displaystyle{\Gamma \left( \frac{7\pi }{6},1 \right)}$ και $\displaystyle{\Delta \left( \frac{11\pi }{6},1 \right)}$

Αγαπητοί Συνάδελφοι συγνώμη για την καθυστέρηση, αλλά είχα πρόβλημα με τον υπολογιστή μου

pap65 · #54

Ετοιμάζω την 4_20331

#55

Ευχαριστούμε όλους τους συναδέλφους για την άμεση ανταπόκριση.

Τα νέα θέματα (εκτός του 4_20331) έχουν ενσωματωθεί στο Δελτίο.
Μόλις αναρτήσει ο Θανάσης και την τελευταία, θα ενημερώσουμε το Δελτίο.
Το ίδιο ισχύει και για το 2ο θέμα.

Καλή Συνέχεια!

pap65 · #56

ΘΕΜΑ 4_20331

Η θερμοκρασία μιας περιοχής σε βαθμούς Κελσίου ( ${}^{0}C$ )

κατά τη διάρκεια ενός εικοσιτετραώρου δίνεται κατά προσέγγιση από τη συνάρτηση:

$f\left( t \right)=-8\sigma \upsilon \nu \frac{\pi t}{12}+4$ , με $0\le t\le 24$ ( ο χρόνος σε ώρες)

α) Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη θερμοκρασία κατά τη διάρκεια του εικοσιτετραώρου. (Μονάδες 7)

β) Να βρείτε τις χρονικές στιγμές που η θερμοκρασία είναι ίση με $0{}^{0}C$ .
(Μονάδες 6)

γ) Να παραστήσετε γραφικά την για $\displaystyle{t\in \left[ 0,24 \right]}$ (Μονάδες 7)

δ) Να βρείτε, με τη βοήθεια της γραφικής παράστασης, πότε η θερμοκρασία είναι πάνω από $0{}^{0}C$ (Μονάδες 5)

ΛΥΣΗ

α) Η συνάρτηση έχει περίοδο $T=\frac{2\pi }{\frac{\pi }{12}}=\frac{24\pi }{\pi }=24$ ώρες,

Επομένως κατά την διάρκεια ενός εικοσιτετραώρου , δηλαδή κατά την διάρκεια μιας περιόδου,

η συνάρτηση θα παρουσιάζει μέγιστη και ελάχιστη τιμή.

Η μέγιστη θερμοκρασία θα είναι: $\max f=\left| -8 \right|+4=8+4=12$ ${}^{0}C$

και η ελάχιστη θερμοκρασία θα είναι: $\min f=-\left| -8 \right|+4=-8+4=-4\displaystyle{{}^{0}C$ .

β) Είναι $f\left( t \right)=0\Leftrightarrow -8\sigma \upsilon \nu \frac{\pi t}{12}+4=0\Leftrightarrow \sigma \upsilon \nu \frac{\pi t}{12}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow \sigma \upsilon \nu \frac{\pi t}{12}=\sigma \upsilon \nu \frac{\pi }{3}$

$\Leftrightarrow \frac{\pi t}{12}=2\kappa \pi +\frac{\pi }{3}$ ή $\frac{\pi t}{12}=2\kappa \pi -\frac{\pi }{3}$

$\Leftrightarrow \pi t=24\kappa \pi +4\pi$ ή $\Leftrightarrow \pi t=24\kappa \pi -4\pi$

$\Leftrightarrow t=24\kappa +4$ ή $\Leftrightarrow t=24\kappa -4$ . $\kappa \in \mathbb{Z}$ .

Όμως $0\le t\le 24$ . Επομένως:

• $0\le 24\kappa +4\le 24\Leftrightarrow -4\le 24\kappa \le 20\Leftrightarrow \frac{-4}{24}\le \kappa \le \frac{20}{24}$ , με $\kappa \in \mathbb{Z}$

Άρα $\kappa =0\Rightarrow t=4$ ώρες.

• $0\le 24\kappa -4\le 24\Leftrightarrow 4\le 24\kappa \le 28\Leftrightarrow \frac{4}{24}\le \kappa \le \frac{28}{24}$ , με $\kappa \in \mathbb{Z}$

Άρα $\kappa =1\Rightarrow t=24-4=20$ ώρες .

γ) Για να κάνουμε την γραφική παράσταση της για $\displaystyle{t\in \left[ 0,24 \right]}$ πρέπει να παρατηρήσουμε τα εξής:

• Η συνάρτηση έχει περίοδο $T=\frac{2\pi }{\frac{\pi }{12}}=\frac{24\pi }{\pi }=24$ ώρες, επομένως η γραφική παράσταση που αναζητούμε αναφέρεται σε μία περίοδο της .

• Η συνάρτηση $-8\sigma \upsilon \nu \frac{\pi }{12}t$ είναι αντίθετη με την συνάρτηση $8\sigma \upsilon \nu \frac{\pi }{12}t$ , της οποίας γνωρίζουμε από την θεωρία μας την γραφική παράσταση.

Επομένως η γραφική της παράσταση θα είναι συμμετρική αυτής, ως προς τον άξονα .

[attachment=2]GI_V_ALG_4_20331 - 3.png[/attachment]
• Η γραφική παράσταση της αποτελεί μετατόπιση της $-8\sigma \upsilon \nu \frac{\pi }{12}t$ στον άξονα κατά μονάδες.

Έτσι κατασκευάσουμε τον πίνακα τιμών:

[attachment=3]GI_V_ALG_4_20331 -2 .png[/attachment]

Και προκύπτει η παρακάτω γραφική παράσταση:

[attachment=1]GI_V_ALG_4_20331 - 4.png[/attachment]

δ) Από την γραφική παράσταση προκύπτει ότι η θερμοκρασία είναι πάνω από $0{}^{0}C$

όταν .

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ:

Έκανα κάποιες τροποποιήσεις σε σχέση με το γ) ερώτημα,

με κριτήριο πάντα το πώς θα το παρουσίαζα στην τάξη μου.

Νομίζω ότι μας ανοίγει πολύ δουλειά.

Ξέρετε εμείς κάνουμε το σχήμα στο Geogebra και όλα καλά!!! ( Αυτό είναι ένα γενικότερο ζήτημα )

Πως θα κάνει ένας μαθητής αυτή την γραφική παράσταση σε ένα διαγώνισμα;

1. Πρέπει να αντιληφθεί ότι το διάστημα που αναφέρεται είναι μια περίοδος ( που δεν την ζητάει).

2. Να αντιληφθεί πως πρόκειται για την αντίθετη συνάρτηση του συνημιτόνου ( που δεν υπήρχε μέχρι τώρα άσκηση στο σχολικό βιβλίο )

3. Την μετατόπιση ( που μάλλον είναι και το πιο απλό από τα προηγούμενα )

Νομίζω ότι ο πήχης ανεβαίνει πολύ ψηλά.

Προσωπικά, όταν κάνω με τους μαθητές τέτοιες γραφικές παραστάσεις τους προτείνω να '' δράσουν λίγο πιο έξυπνα".

Ξεκινώντας από την Περίοδο, το μέγιστο - ελάχιστο και την μετατόπιση ( με αυτή τη σειρά) ,

να κάνουν πρώτα το σχήμα σε διάστημα μίας περιόδου .

Μετά από το ίδιο το σχήμα ,''κομματιάζοντας'' το διάστημα (υποδιπλασιασμός )να κάνουν πίνακα τιμών και γενικότερη μελέτη

για την μονοτονία, τις θέσεις των ακροτάτων κλπ

Η διαδικασία είναι ενδιαφέρουσα αλλά δύσκολη.

Τέλος , από όλο το κεφάλαιο της Τριγωνομετρίας , μήπως στην τράπεζα υπάρχει μια εμμονή με αυτό το είδος ασκήσεων;

Ούτως ή άλλως η ύλη δεν επρόκειτο να βγεί.

Τώρα όμως με βλέπω να μένω μια βδομάδα στις συναρτήσεις.

Υ.Γ. Έγινε διόρθωση μετά και την εύστοχη παρέμβαση του Γιώργη ( βλέπε πιο κάτω ) .
Η περίοδος της συνάρτησης υπολογίστηκε αρχικά στο α) ερώτημα.

#57

Νομίζω ότι η περίοδος πρέπει να βρεθεί κατευθείαν στην αρχή
ώστε να μπορούμε να επαληθεύσουμε αν τα ακρότατα είναι όντως ακρότατα
και όχι φράγματα , μιας και το πεδίο ορισμού δεν είναι όλο το $\displaystyle{{\rm{R}}}$

Π.χ. αν είχαμε την $f\left( t \right) = - 8\sigma \upsilon \nu \frac{{\pi t}}{{48}} + 4$ ,
τότε δεν θα είχε μέγιστο το $\displaystyle{{\rm{12}}}$ με $\displaystyle{{\rm{0}} \le t \le 24}$

Εdit : Διορθώθηκε ένα τυπογραφικό ( Ευχαριστώ Αντώνη )

pap65 · #58

exdx έγραψε:Νομίζω ότι η περίοδος πρέπει να βρεθεί κατευθείαν στην αρχή
ώστε να μπορούμε να επαληθεύσουμε αν τα ακρότατα είναι όντως ακρότατα
και όχι φράγματα , μιας και το πεδίο ορισμού δεν είναι όλο το $\displaystyle{{\rm{R}}}$

Π.χ. αν είχαμε την $f\left( t \right) = - 8\sigma \upsilon \nu \frac{{\pi t}}{{48}} + 4$ ,
τότε δεν θα είχε μέγιστο το $\displaystyle{\,\,\,{\rm{4}}}$ με $\displaystyle{{\rm{0}} \le t \le 24}$

Γιώργη , έχεις απόλυτο δίκιο.
Είναι παράλειψη δική μου.
Ουσιαστικά, αυτό λέω και γώ στις παρατηρήσεις μου ( ......Ξεκινώντας από την Περίοδο, το μέγιστο - ελάχιστο και την μετατόπιση ( με αυτή τη σειρά).........) .
Κακώς δεν το έβαλα στην αρχή του α) ερωτήματος.
Ίσως θα έπρεπε να είχε ζητηθεί από τον θεματοδότη.

ΛΕΚΚΑΣ ΓΙΩΡΓΟΣ · #59

Kαλησπέρα σε όλους. Με υπόδειξη συναδέλφων, αναρτώ και εδώ την 4_20336 την οποία είχα, εκ λάθους, αναρτήσει στο 2ο ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Την άσκηση στο μεταξύ είχε λύσει και ο συνάδελφος george visvikis.

#60

Στην άσκηση 4_17852 στο (β)
Αντιγράφω από τη λύση που δίνουμε ...
.....Επίσης, τη μέγιστη τιμή της θα την λαμβάνει η ταλάντωση στο $\displaystyle{\frac{T}{2} = 3\,\sec }$ ........
δεν απαιτείται κάποια αιτιολόγηση ;

π.χ. με τη συμμετρία (στη γενική περίπτωση ) της $\displaystyle{{\rm{f(x) = \sigma \upsilon \nu \chi }}}$ ως προς την $\displaystyle{{\rm{ \chi = \pi }}}$ , ή το πάω πολύ μακριά ;

4o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 4o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 4o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 4o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 4o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 4o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 4o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 4o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 4o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 4o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 4o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 4o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 4o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 4o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 4o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 4o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 4o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 4o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 4o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 4o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 4o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Μέλη σε σύνδεση