Με πόσους τρόπους;

Συντονιστής: polysot

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6227
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Με πόσους τρόπους;

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Δεκ 13, 2017 11:43 am

O, I, H είναι το περίκεντρο, το έγκεντρο και το ορθόκεντρο αντίστοιχα, ισοσκελούς αλλά όχι ισοπλεύρου τριγώνου

ABC (AB=AC=b,BC=a). Με πόσους τρόπους μπορείτε να δείξετε ότι \displaystyle \frac{{OI}}{{IH}} = \frac{b}{a};



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6227
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Με πόσους τρόπους;

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Ιαν 08, 2018 6:06 pm

Επαναφορά.


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9275
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Με πόσους τρόπους;

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Ιαν 08, 2018 8:17 pm

Σχέση  Βισβίκη.png
Σχέση Βισβίκη.png (11.87 KiB) Προβλήθηκε 146 φορές
Λόγω των ίσων πράσινων γωνιών , η BI είναι διχοτόμος ( και) της \widehat{OBH} ,

οπότε : \dfrac{OI}{IH}=\dfrac{R}{BH} . Αλλά : R=\dfrac{ab^2}{4E}=\dfrac{b^2}{2h}=\dfrac{b^2}{2bcos\theta}=\dfrac{b}{2cos\theta}

και BH=\dfrac{a}{2cos\theta} . Η πρόταση είναι σπουδαία : Ας την ονομάσουμε "λήμμα Βισβίκη " :clap2:


Άβαταρ μέλους
vittasko
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1958
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.

Re: Με πόσους τρόπους;

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από vittasko » Δευ Ιαν 08, 2018 9:53 pm

Από την διχοτόμο BI της γωνίας \angle OBH και τα όμοια ισοσκελή τρίγωνα \vartriangle OAB,\ \vartriangle HBC προκύπτει \displaystyle \frac{OI}{IH} = \frac{OB}{HB} = \frac{b}{a} και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Κώστας Βήττας.
τελευταία επεξεργασία από vittasko σε Δευ Ιαν 08, 2018 10:28 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1156
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Με πόσους τρόπους;

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Δευ Ιαν 08, 2018 10:16 pm

george visvikis έγραψε:
Τετ Δεκ 13, 2017 11:43 am
O, I, H είναι το περίκεντρο, το έγκεντρο και το ορθόκεντρο αντίστοιχα, ισοσκελούς αλλά όχι ισοπλεύρου τριγώνου

ABC (AB=AC=b,BC=a). Με πόσους τρόπους μπορείτε να δείξετε ότι \displaystyle \frac{{OI}}{{IH}} = \frac{b}{a};
Φέρνουμε τον εγγεγραμμένο κύκλο του \vartriangle ABC.
Φέρνουμε επίσης και τις κάθετες από τα O, \, I, \, H στην AC που την τέμνουν στα K, \, L, \, M αντίστοιχα.

Από Θ. Θαλή, είναι \dfrac{OI}{IH}=\dfrac{KL}{LM} (1).

Το \vartriangle OAC είναι ισοσκελές (OA=OC) και OK \perp AC, άρα AK=KC=\dfrac{b}{2}.

Τα CL,CD είναι εφαπτόμενα τμήματα στον εγγεγραμμένο κύκλο, άρα CL=CD=\dfrac{a}{2}.

Είναι τώρα KL=AC-AK-LC=\dfrac{b-a}{2} (2)

Επίσης, ML=CL-MC=\dfrac{a}{2}-MC (3).

Τα τρίγωνα \vartriangle BMC και \vartriangle  ADC είναι όμοια, αφού είναι ορθογώνια, και έχουν κοινή την \widehat{C}.

Άρα, \dfrac{MC}{DC}=\dfrac{BC}{AC} \Rightarrow \dfrac{MC}{\dfrac{a}{2}}=\dfrac{a}{b} \Rightarrow MC=\dfrac{a^2}{2b} (4).

Από (3), (4) ML=\dfrac{ab-a^2}{2b} (5).

Από (1), (2), (5) έχουμε \dfrac{OI}{IH}=\dfrac{KL}{LM}=\ldots=\dfrac{b}{a} \Rightarrow \boxed{\dfrac{OI}{IH}=\dfrac{b}{a}}.
orestis.png
orestis.png (24.52 KiB) Προβλήθηκε 114 φορές


Ο καθένας λέει ότι να΄ναι και είναι πάντα σύμφωνος με τον εαυτό του ! 'Ολοι μιλάνε και κανείς δεν ακούει! Ο κόσμος είναι σε νοητική αδράνεια ! Ελένη Γλυκατζή Αρβελέρ
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 698
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Με πόσους τρόπους;

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Δευ Ιαν 08, 2018 11:50 pm

Χαιρετώ όλους! Παραλλαγή από τη .. μέση και κάτω.
8-1-18 Με πόσους τρόπους ; GV.PNG
8-1-18 Με πόσους τρόπους ; GV.PNG (9.12 KiB) Προβλήθηκε 92 φορές
Το MHEC είναι εγγράψιμο άρα B\widehat{H}M=\widehat{C}=\omega . Με τον Ν.Η \eta \mu \omega =\dfrac{b}{2R} αλλά και \eta \mu \omega = \dfrac{BM}{BH}=\dfrac{a}{2BH}.

Απ' αυτές \dfrac{R}{BH}=\dfrac{b}{a} οπότε και \dfrac{OI}{IH}=\dfrac{OB}{BH}=\dfrac{b}{a}. Φιλικά Γιώργος.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης