Από την εστία
Συντονιστής: polysot
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13301
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Από την εστία
διέρχεται από τα σημεία τέμνονται στο Να δείξετε ότι η διέρχεται από την εστία της παραβολής.
Λέξεις Κλειδιά:
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1810
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Από την εστία
Έστω και οι προβολές των σημείων και αντίστοιχα στην διευθετούσα της παραβολής. Τότε τα σημεία βρίσκονται σε κύκλο κέντρου . Πράγματι από την ανακλαστική ιδιότητα της παραβολής η ευθεία είναι μεσοκάθετη του τμήματος . Άρα θα ιχύει . Ομοίως ιχύει , που αποδεικνύει την ζητούμενη ιδιότητα.george visvikis έγραψε: ↑Κυρ Φεβ 11, 2024 6:23 pmΑπό την εστία.png
Οι εφαπτόμενες στα σημεία μιας παραβολής τέμνονται στο ενώ οι εφαπτόμενες στα του κύκλου που
διέρχεται από τα σημεία τέμνονται στο Να δείξετε ότι η διέρχεται από την εστία της παραβολής.
Εφόσον τα σημεία βρίσκονται σε κύκλο με κέντρο το θα ισχύει, .
Έστω η κάθετη προς την διευθετούσα που διέρχεται από το , τότε η γωνία μεταξύ της και της ευθείας είναι ίση με την γωνία μεταξύ των ευθειών και , αφού και . Επειδή , θα είναι . Άρα .
Ομοίως αποδεικνύεται ότι . Οπότε τα τρίγωνα και είναι όμοια. Οπότε ισχύει , δηλαδή η ευθεία είναι διχοτόμος της γωνίας .
Έστω το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου . Είναι
.
'Αρα τα σημεία είναι ομοκυκλικά και εφόσον , η ευθεία είναι διχοτόμος της γωνίας .
Επομένως τα σημεία και είναι συνευθειακά, που αποδεικνύει το ζητούμενο.
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1810
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Από την εστία
Απλά να σημειώσουμε ότι η ιδίοτητα, η ευθεία που διέρχεται από την εστία (μία από τις εστίες) και το σημείο τομής εφαπτομένων από δυο σημεία της παραβολής να είναι διχοτόμος της γωνίας που ορίζουν οι ευθείες που διέρχονται από αυτά τα σημεία και την εστία (μία από τις εστίες), ισχύει γενικά για κωνική.
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13301
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Από την εστία
Αφού ευχαριστήσω τον Αλέξανδρο για τη λύση του, θα δώσω μία άλλη προσέγγιση.george visvikis έγραψε: ↑Κυρ Φεβ 11, 2024 6:23 pm
Οι εφαπτόμενες στα σημεία μιας παραβολής τέμνονται στο ενώ οι εφαπτόμενες στα του κύκλου που
διέρχεται από τα σημεία τέμνονται στο Να δείξετε ότι η διέρχεται από την εστία της παραβολής.
Από την εκφώνηση προκύπτει ότι η (αρχικό σχήμα) είναι η ευθεία της συμμετροδιαμέσου του τριγώνου
Αν λοιπόν είναι το σημείο τομής των αρκεί να δείξω ότι η είναι συμμετροδιάμεσος. Φέρνω από το παράλληλη στον άξονα συμμετρίας της παραβολής που τέμνει την στο Θεωρείται γνωστό ότι τα
συμμετρικά της εστίας ως προς τις βρίσκονται στη διευθετούσα της παραβολής και οι
είναι κάθετες στη Είναι άρα η είναι μεσοκάθετη του οπότε το θα είναι μέσο του
Τέλος από το εγγράψιμο είναι Αλλά ως οξείες με πλευρές κάθετες
και το ζητούμενο έπεται.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες