ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΟΥΤΡΑ

Συντονιστής: polysot

Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1363
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΟΥΤΡΑ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #1 από rek2 » Κυρ Ιαν 01, 2017 12:53 pm

Ο Leo Giugiuc κοινοποίησε τη φωτογραφία του χρήστη Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles.

http://www.cut-the-knot.org/m/Geometry/StathisKoutras.shtml

Happy New Year !
Here is the Koutras theorem (a Greek mathematician),along three proofs .
The result is amazing .
The article is due to the professor Alexander Bogomolny .

Αυτά είναι καλά νέα!

Στάθη, συγχαρητήρια!


Νῆφε καί μέμνασο ἀπιστεῖν˙ ἄρθρα ταῦτα γάρ φρενῶν
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Ρεκούμης Κωνσταντίνος

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5178
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΟΥΤΡΑ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #2 από george visvikis » Κυρ Ιαν 01, 2017 1:10 pm

Συγχαρητήρια Στάθη! Πάντα τέτοια!


Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 4960
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΟΥΤΡΑ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #3 από S.E.Louridas » Κυρ Ιαν 01, 2017 1:17 pm

Αναμενόμενο για τον ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ Κούτρα Στάθη, ήταν θέμα χρόνου. Από ότι έμαθα συνδυάστηκε άριστα με τον ερχομό του νεώτερου μέλους της οικογένειας. Εύχομαι λοιπόν στον Στάθη συνέχιση στην προσφορά με Υγεία σε αυτόν και τους Ανθρώπους του.


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4121
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Re: ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΟΥΤΡΑ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #4 από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Κυρ Ιαν 01, 2017 7:00 pm

ΠΟΛΛΑ ΣΥΓΧΑΡΗΤΗΡΙΑ , στον Άριστο Γεωμέτρη ΣΤΑΘΗ ΚΟΥΤΡΑ, που είμαι σίγουρος ότι έχει πολλά ακόμα να μας δώσει.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4634
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΟΥΤΡΑ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #5 από Doloros » Κυρ Ιαν 01, 2017 7:22 pm

Στάθη Χρόνια πολλά και πάλι. Συγχαρητήρια και εις ανώτερα . :clap2: :clap2:


Νίκος


Άβαταρ μέλους
cretanman
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 3688
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΟΥΤΡΑ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #6 από cretanman » Κυρ Ιαν 01, 2017 7:46 pm

Μπράβο Στάθη!! Χαίρομαι ιδιαίτερα για την αναγνώρισή σου αυτή!

Αλέξανδρος


Αλέξανδρος Συγκελάκης
Mihalis_Lambrou
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 9130
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΟΥΤΡΑ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #7 από Mihalis_Lambrou » Κυρ Ιαν 01, 2017 8:21 pm

Πολύ όμορφο το αποτέλεσμα. :clap2:

Οι αποδείξεις που δίνει το cut-the-knot είναι πολύ πολύπλοκες. Δίνω μία απλή.

Ευθύ, Σχ.1 Από τα όμοια κίτρινα ορθογώνια τρίγωνα έχουμε \dfrac {a}{h} = \dfrac {f}{c} . Αντίστοιχα από τα πράσινα είναι \dfrac {h}{b} = \dfrac {e}{f} . Πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη είναι \dfrac {a}{b} = \dfrac {e}{c} . Για παρόμοιo λόγο \dfrac {a}{b} = \dfrac {z}{d} . Άρα

\dfrac {a}{b} = \dfrac {e}{c}=\dfrac {z}{d} = \dfrac {z-e}{d-e}= \dfrac {p}{q} , όπως θέλαμε.

Αντίστροφα, Σχ.2 Φέρνουμε από το A την κάθετο AB' στην MN. Από την υπόθεση και το ευθύ είναι \dfrac {a}{b} =  \dfrac {p}{q} = \dfrac {a}{b'}

οπότε b=b' και άρα τα B, B' συμπίπτουν. Και λοιπά.
Συνημμένα
Stathis.png
Stathis.png (25.23 KiB) Προβλήθηκε 2450 φορές


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 8414
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΟΥΤΡΑ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #8 από KARKAR » Κυρ Ιαν 01, 2017 9:30 pm

Στάθη , συγχαρητήρια :clap2: Σ' έναν τέτοιο σπουδαίο εραστή της Ευκλείδειας Γεωμετρίας , ταιριάζει

απόλυτα αυτή η τιμή . Μάλιστα το θεώρημα έχει ποικίλες εφαρμογές , οπότε θα είναι πάντα επίκαιρο ....


Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 4960
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΟΥΤΡΑ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #9 από S.E.Louridas » Κυρ Ιαν 01, 2017 10:17 pm

Ας μου επιτραπεί και εμένα μία αποδεικτική προσέγγιση.
Ευθύ:
Αν συμβαίνουν τα του σχήματος, τότε αρκεί OT \bot AB. Τα τρίγωνα OAB και OA_1B_1 είναι ίσα, οπότε αν Q \equiv TO \cap AB παίρνουμε \angle BOQ + \angle QBO = \angle {A_1}OT + \angle O{B_1}{A_1} = \angle {A_1}OT + \angle OT{A_1} = \frac{\pi }{2}.
Αντίστροφο:
Θεωρούμε OA = O{A_1}, όπως βλέπουμε στο σχήμα και από το A θεωρούμε κάθετη στην OT, που τέμνει την A_1O στο B^’. Τότε άμεσα παίρνουμε την ισότητα των τριγώνων OAB^’ και OA_1B_1, άρα και το ζητούμενο.
Συνημμένα
Koutra's theorem.png
Koutra's theorem.png (18.85 KiB) Προβλήθηκε 2365 φορές


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
KDORTSI
Διακεκριμένο Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1649
Εγγραφή: Τετ Μαρ 11, 2009 9:26 pm

Re: ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΟΥΤΡΑ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #10 από KDORTSI » Κυρ Ιαν 01, 2017 10:55 pm

Στάθη, συγχαρητήρια! Χαίρομαι για την αναγνώριση αυτή και
εύχομαι να είσαι πάντα ακμαίος στο νού και στο σώμα και να
προσφέρεις σε όλους μας τους καρπούς των προσπαθειών σου.

Με εκτίμηση στο πρόσωπό σου, σου εύχομαι
Καλή χρονιά.

Κώστας Δόρτσιος
Γρεβενά.


ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ
Δημοσιεύσεις: 762
Εγγραφή: Δευ Δεκ 28, 2009 11:41 pm
Τοποθεσία: Kάπου στο πιο μεγάλο νησί του Ιονίου

Re: ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΟΥΤΡΑ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #11 από ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ » Κυρ Ιαν 01, 2017 11:02 pm

Πολύ μεγάλη διάκριση την οποία αξίζει ο Στάθης...
Μέσα στο μυαλό του έχει τις λύσεις χιλιάδων θεμάτων...
Και όλα αυτά χάρη στο mathematica...
Στάθη μου σε ευχαριστούμε για όσα μας έδωσες τα χρόνια που είσαι μέλος του forum...
Ήταν όλα πολύτιμα και όμορφα!!!
Να μας είσαι πάντα καλά για να μας δίνεις τις ιδέες σου , θέματα και λύσεις.


Andreas Panteris
Δημοσιεύσεις: 164
Εγγραφή: Τετ Δεκ 31, 2008 10:56 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΟΥΤΡΑ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #12 από Andreas Panteris » Κυρ Ιαν 01, 2017 11:05 pm

Θερμά συγχαρητήρια Στάθη.


Άβαταρ μέλους
vittasko
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1883
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.

Re: ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΟΥΤΡΑ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #13 από vittasko » Κυρ Ιαν 01, 2017 11:51 pm

Καλή χρονιά σε όλους με υγεία. Πράγματι, καλά νέα από την αλλοδαπή.

Ο Μιχάλης πιο πάνω, μας χάρισε μία όμορφη απόδειξη για ένα όμορφο αποτέλεσμα ( δεν βλάπτεται η γενικότητα, επειδή η ευθεία MN περνάει από το σημείο O ), πρόσθετο κριτήριο καθετότητας από αυτά που υπάρχουν στην ελληνική βιβλιογραφία που έχω υπόψη μου, αλλά απ' ότι φαίνεται όχι ευρέως γνωστό και έξω, αν κρίνουμε από την δημοσίευση του Alexander Bogomolny στο Cut The Knot ( ... curious criterion for perpendicularity of two lines ).

Ο Στάθης σκαρφίστηκε αυτό το κριτήριο καθετότητας και το ανέδειξε ως θεώρημα, λύνοντας αρκετά προβλήματα εδώ στο :logo: , δύσκολα κάποια από αυτά, ως απλές εφαρμογές του και αξίζει να πούμε ότι η Ιστορία αυτού του θεωρήματος ξεκινά από Εδώ, όπου εμφανίζεται για πρωτη φορά στο φόρουμ και για πρώτη φορά Εδώ αναφέρεται ως Θεώρημα Κούτρα.

Μεγάλη τιμή να είσαι ο νονός ενός θεωρήματος του οποίου ο πατέρας είναι αδελφικός σου φίλος και έχω πει με άλλη ευκαιρία, ότι ο Στάθης ως μέλος της Dream Team Γεωμετρίας εδώ στο :logo: , έχει πολλά να δώσει ακόμα. Του εύχομαι ολόψυχα να είναι γερός και παραγωγικός σε νέες ιδέες στην Γεωμετρία.

Με αγάπη και σεβασμό, Κώστας Βήττας.

ΥΓ. Με την ευκαιρία αυτή θέλω να συγχαρώ τον Παναγιώτη Χρονόπουλο, που με δική του πρωτοβουλία γνωστοποιήθηκε σε ξένους αναγνώστες αυτό το κριτήριο καθετότητας και γίνεται ευρύτερα γνωστό ως Θεώρημα Κούτρα, κάτι που μας τιμά όλους.


Άβαταρ μέλους
taratoris
Δημοσιεύσεις: 49
Εγγραφή: Παρ Ιουν 12, 2009 7:11 pm

Re: ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΟΥΤΡΑ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #14 από taratoris » Δευ Ιαν 02, 2017 6:57 am




Συγχαρητήρια στον κύριο Κούτρα! :clap2:

Παραθέτω μία ακόμη λύση.

Έστω οτι MN κάθετη με την AB. Έστω L,S τα σημεία τομής της MN με τις AO,OB αντίστοιχα.

Τότε \frac{SE}{EZ}=\frac{SM}{MN} και \frac{LM}{MN}=\frac{LC}{CD} λόγω παραλληλίας.

Συνεπώς \frac{EZ}{CD}=\frac{SE*LM}{SM*LC} (1)

Απο εγγράψιμα KMEB,CMAK έχουμε SK*SM=SB*SE και LM*LK=LC*LA. Άρα η (1) γίνεται \frac{EZ}{CD}=\frac{SK*LA}{SB*LK}

Aπο θεώρημα Μενελάου στο OLS με τέμνουσα ABK έχουμε \frac{OA*LK*SB}{LA*SK*BO}=1 άρα \frac{OA*CD}{OB*EZ}=1 που ολοκληρώνει την απόδειξη.


Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2891
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Re: ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΟΥΤΡΑ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #15 από Μιχάλης Νάννος » Δευ Ιαν 02, 2017 8:08 am

Καλημέρα και καλή χρονιά σε όλους!

Φίλε και μέγιστε Γεωμέτρη Στάθη, απλά :notworthy: :clap2: :clap2: :clap2:

:clap: και στον Τάκη


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
fmak65
Δημοσιεύσεις: 569
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 01, 2009 6:59 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Re: ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΟΥΤΡΑ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #16 από fmak65 » Δευ Ιαν 02, 2017 9:12 am

Συγχαρητήρια και από μένα στον Στάθη για το θεώρημα του. Αναμενόμενο για άτομα που ασχολούνται με πιο προχωρημένα θέματα. Συγχαρητήρια και για το νέο μέλος της οικογένειας, εύχομαι κυρίως υγεία και να πω ότι μου έλειψε το τετράδιο που λύναμε ασκήσεις μετά από έξοδο για κρασάκι.


Μαραντιδης Φωτης
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 2693
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα
Επικοινωνία:

Re: ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΟΥΤΡΑ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #17 από Tolaso J Kos » Δευ Ιαν 02, 2017 11:29 am

:clap2: :clap2:


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
m.pαpαgrigorakis
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1143
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:10 am
Τοποθεσία: Χανιά
Επικοινωνία:

Re: ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΟΥΤΡΑ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #18 από m.pαpαgrigorakis » Δευ Ιαν 02, 2017 12:02 pm

Στάθη θερμά συγχαρητήρια!


Άβαταρ μέλους
apotin
Δημοσιεύσεις: 807
Εγγραφή: Τετ Απρ 08, 2009 5:53 pm
Τοποθεσία: Έδεσσα

Re: ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΟΥΤΡΑ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #19 από apotin » Δευ Ιαν 02, 2017 2:11 pm

Συγχαρητήρια, Στάθη :clap2:


Αποστόλης
AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1051
Εγγραφή: Τετ Δεκ 31, 2008 8:07 pm
Τοποθεσία: ΗΡΑΚΛΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ

Re: ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΟΥΤΡΑ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #20 από AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ » Δευ Ιαν 02, 2017 10:18 pm

Στάθη! Καλή Χρονιά και πάντα τέτοια! :clap2:
Μας κάνεις περήφανους!



Επιστροφή σε “Γεωμετρία”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης