Καλημέρα σε όλους!
Ας γράψω λίγο πιο αναλυτικά τις απαντήσεις του
Δημήτρη και λίγα δικά μου σχόλια.
Αν
ισχύει η ταυτότητα
Για κάθε
ισχύει η ταυτότητα
,
καθώς και η ταυτότητα
.
Τα κρίσιμα σημεία της άσκησης ήταν ο προσδιορισμός των όρων
της ταυτότητας
,
δηλαδή σε τι αντιστοιχεί το
και το
κάθε φορά (τρεις περιπτώσεις), αλλά και η χρήση του καθολικού ποσοδείκτη.
Το χρησιμοποιώ ως αφορμή στην τάξη για να τονίσω τη διαφορά των φράσεων: "υπάρχει ή υπάρχουν κάποια
τέτοια ώστε… " και "για κάθε
….", (με άλλα λόγια μεταξύ του υπαρξιακού και του καθολικού ποσοδείκτη).
Επίσης, σημαντικό θέμα είναι και η αναφορά στις "ταυτότητες υπό συνθήκη".
Επίτηδες, εδώ, τέθηκε ο αρχικός περιορισμός: "για κάθε πραγματικό αριθμό". Αποκλείστηκε, έτσι η πρώτη περίπτωση (συνήθης απάντηση των μαθητών) και δόθηκε η αφορμή για αναζήτηση.
Στο ερώτημα αν η σχέση
είναι ταυτότητα ή όχι, η απάντηση είναι θετική, διότι και οι δύο παραστάσεις ορίζονται στο ίδιο σύνολο (το
) και παίρνουν την ίδια τιμή για κάθε
που ανήκει στο σύνολο αυτό.
Υ.Γ. Οι προσεκτικοί μικροί μας φίλοι θα έχουν ήδη εντοπίσει μια υπόδειξη για το όμορφο πρόβλημα που έθεσε ο
Μιχάλης στην προηγούμενη ανάρτηση.