Ανισότητες ... από ισότητες!
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3342
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Ανισότητες ... από ισότητες!
Το τσίμπησα από το προσωπολόγιο (facebook):
Αν οι , , είναι πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε και , με , τότε .
[Πρόσθεσα την συνθήκη (που είχα ξεχάσει ) ... ύστερα από υπόδειξη του Γιώργη του Καλαθάκη, τον οποίο και ευχαριστώ! (Και πρόσθεσα και 'ενδιάμεσες' ανισότητες, βλέπετε και παρακάτω...)]
Αν οι , , είναι πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε και , με , τότε .
[Πρόσθεσα την συνθήκη (που είχα ξεχάσει ) ... ύστερα από υπόδειξη του Γιώργη του Καλαθάκη, τον οποίο και ευχαριστώ! (Και πρόσθεσα και 'ενδιάμεσες' ανισότητες, βλέπετε και παρακάτω...)]
τελευταία επεξεργασία από gbaloglou σε Κυρ Οκτ 01, 2017 12:21 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 1513
- Εγγραφή: Παρ Ιαν 30, 2009 1:45 pm
- Τοποθεσία: Πειραιάς
- Επικοινωνία:
Re: Ανισότητες ... από ισότητες!
Δεν μπορεί κάποιος από τους να είναι μηδέν γιατί τότε οι άλλοι δύο θα είναι ίσοι με 3 που αποκλείεται αφού είναι διαφορετικοί αριθμοί.
οπότε
Ομοίως και Άρα οι είναι ομόσημοι κι αφού έχουν άθροισμα 6, θα είναι και οι τρεις θετικοί.
Μένει να δείξουμε ότι Ας υποθέσουμε ότι Τότε και οπότε και έτσι Δηλαδή άτοπο.
οπότε
Ομοίως και Άρα οι είναι ομόσημοι κι αφού έχουν άθροισμα 6, θα είναι και οι τρεις θετικοί.
Μένει να δείξουμε ότι Ας υποθέσουμε ότι Τότε και οπότε και έτσι Δηλαδή άτοπο.
τελευταία επεξεργασία από Παύλος Μαραγκουδάκης σε Κυρ Οκτ 01, 2017 2:50 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Στάλα τη στάλα το νερό το μάρμαρο τρυπά το,
εκείνο που μισεί κανείς γυρίζει κι αγαπά το.
εκείνο που μισεί κανείς γυρίζει κι αγαπά το.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4770
- Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
- Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας
Re: Ανισότητες ... από ισότητες!
Έστω ότι . Αφού . Άρα και από εδώ έπεται ότι:
Αν ήταν , τότε από την σχέση , θα ήταν , οπότε τότε θα ήταν ,που είναι άτοπο
από την υπόθεση. Άρα πρέπει . Επίσης από την σχέση , έχουμε και .
Μπορούμε λοιπόν να θέσουμε και , όπου .
Από την σχέση , έχουμε
, που είναι άτοπο.
Άρα
(Μόλις είδα, ότι δεν υπήρχε η συνθήκη ότι οι αριθμοί ήταν θετικοί)
Αν ήταν , τότε από την σχέση , θα ήταν , οπότε τότε θα ήταν ,που είναι άτοπο
από την υπόθεση. Άρα πρέπει . Επίσης από την σχέση , έχουμε και .
Μπορούμε λοιπόν να θέσουμε και , όπου .
Από την σχέση , έχουμε
, που είναι άτοπο.
Άρα
(Μόλις είδα, ότι δεν υπήρχε η συνθήκη ότι οι αριθμοί ήταν θετικοί)
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3342
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: Ανισότητες ... από ισότητες!
Παύλο (και λοιποί) ευχαριστώ, αλλά ... αυτή προφανώς δεν ήταν η τυχερή μου βραδιά, έκανα λάθη απανωτά στην εκφώνηση του προβλήματος, που έπρεπε να είχε τεθεί ως εξής:Παύλος Μαραγκουδάκης έγραψε: ↑Σάβ Σεπ 30, 2017 11:37 pmΑποκλείεται κάποιος από τους να είναι μηδέν γιατί τότε οι άλλοι δύο θα ήταν ίσοι με 3 που αποκλείεται αφού είναι διαφορετικοί αριθμοί.
οπότε
Ομοίως και Άρα οι είναι ομόσημοι κι αφού έχουν άθροισμα 6, θα είναι και οι τρεις θετικοί.
Μένει να δείξουμε ότι Ας υποθέσουμε ότι Τότε και οπότε και έτσι Δηλαδή άτοπο.
αν οι , , είναι πραγματικοί με , , τότε .
Συγγνώμη για τις 'ενδιάμεσες' ανισότητες που παρέλειψα, διορθώνω και το αρχικό με διευκρίνηση...
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Ανισότητες ... από ισότητες!
Εκτός φακέλουΠαύλος Μαραγκουδάκης έγραψε: ↑Σάβ Σεπ 30, 2017 11:37 pmΑποκλείεται κάποιος από τους να είναι μηδέν γιατί τότε οι άλλοι δύο θα ήταν ίσοι με 3 που αποκλείεται αφού είναι διαφορετικοί αριθμοί.
οπότε
Ομοίως και Άρα οι είναι ομόσημοι κι αφού έχουν άθροισμα 6, θα είναι και οι τρεις θετικοί.
Μένει να δείξουμε ότι Ας υποθέσουμε ότι Τότε και οπότε και έτσι Δηλαδή άτοπο.
Από το παραπάνω έχουμε
Θεωρούμε την
που έχει σαν ρίζες τα
Στό η έχει τοπικό μέγιστο ενω στο τοπικό ελάχιστο.
Επειδή έχει τρεις ρίζες θα είναι αναγκαστικά
Αρα που ολοκληρώνει την απόδειξη.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 1513
- Εγγραφή: Παρ Ιαν 30, 2009 1:45 pm
- Τοποθεσία: Πειραιάς
- Επικοινωνία:
Re: Ανισότητες ... από ισότητες!
Αν τότε και εφόσον θα είναι άτοπο. Άρα
Αν τότε οπότε άτοπο. Άρα
Είναι οπότε
Τέλος,
Όμως και Άρα
Στάλα τη στάλα το νερό το μάρμαρο τρυπά το,
εκείνο που μισεί κανείς γυρίζει κι αγαπά το.
εκείνο που μισεί κανείς γυρίζει κι αγαπά το.
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3342
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: Ανισότητες ... από ισότητες!
Παύλο και Σταύρο ευχαριστώ για τις όμορφες λύσεις σας, ιδού και η δική μου:
Από τις και προκύπτουν οι και . Από την μη αρνητικότητα της διακρίνουσας προκύπτει η , και από την η . Αναλόγως προκύπτουν και οι , .
Χρησιμοποιώντας τώρα τους παραπάνω τύπους για τα , προκύπτουν και οι υπόλοιπες ανισότητες:
-- Η είναι ισοδύναμη προς την , που ισχύει λόγω της προφανούς
-- Η προκύπτει από την , καθώς η τελευταία είναι ισοδύναμη προς την
-- H είναι ισοδύναμη προς την
-- Η είναι ισοδύναμη προς την
Παραθέτω και ένα σχετικό σχήμα ... άνευ σχολίων:
Από τις και προκύπτουν οι και . Από την μη αρνητικότητα της διακρίνουσας προκύπτει η , και από την η . Αναλόγως προκύπτουν και οι , .
Χρησιμοποιώντας τώρα τους παραπάνω τύπους για τα , προκύπτουν και οι υπόλοιπες ανισότητες:
-- Η είναι ισοδύναμη προς την , που ισχύει λόγω της προφανούς
-- Η προκύπτει από την , καθώς η τελευταία είναι ισοδύναμη προς την
-- H είναι ισοδύναμη προς την
-- Η είναι ισοδύναμη προς την
Παραθέτω και ένα σχετικό σχήμα ... άνευ σχολίων:
- Συνημμένα
-
- abc.gif (6.89 KiB) Προβλήθηκε 1483 φορές
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 8 επισκέπτες