max - min

#1

Αν $\displaystyle{x,y,z \in R}$ και αν:

$\displaystyle{x(y^2 -y+2)=3y^2 -4y+4}$

$\displaystyle{y(z^2 -z+2)=3z^2 -4z+4}$

$\displaystyle{z(x^2 -x+2)=3x^2 -4x+4}$

να αποδείξετε ότι ή θα είναι $\displaystyle{min\{x,y,z\}\geq 2}$ ή $\displaystyle{max\{x,y,z\}\leq 2}$

#2

Για να μην μείνει αναπάντητο:

Η πρώτη από τις εξισώσεις του δοσμένου συστήματος είναι:

$\displaystyle{x(y^2 -y+2)=3y^2 -4y+4}$ , (1)

Οι διακρίνουσες των τριωνύμων $\displaystyle{y^2 -y+2}$ και $\displaystyle{3y^2 -4y+4}$ είναι αρνητικές και άρα για κάθε $\displaystyle{y\in R}$ θα είναι:

$\displaystyle{y^2 -y+2 >0}$ και $\displaystyle{3y^2 -4y+4 >0}$

Συνεπώς από την (1) άμεσα προκύπτει ότι $\displaystyle{x>0}$ . Με τον ίδιο τρόπο από τις δύο άλλες εξισώσεις του συστήματος

προκύπτει ότι και τα $\displaystyle{y , z}$ είναι επίσης αριθμοί θετικοί.

Τώρα η (1) γράφεται:

$\displaystyle{x(y^2 -y+2)=2y^2 +y^2 -2y-2y+4\Leftrightarrow x(y^2 -y+2)=2(y^2 -y+2)+y^2 -2y\Leftrightarrow}$

$\displaystyle{x(y^2 -y+2)-2(y^2 -y+2)=y^2 -2y\Leftrightarrow (x-2)(y^2 -y+2)=y(y-2)}$ , (2)

Αφού για κάθε $\displaystyle{y\inR}$ είναι $\displaystyle{y^2 -y+2 >0}$ και αφού $\displaystyle{y>0}$ (όπως πιο πάνω είδαμε), τότε από την (2)

έπεται ότι οι αριθμοί $\displaystyle{x-2}$ και $\displaystyle{y-2}$ είναι ομόσημοι.

Με τον ίδιο τρόπο, από την δεύτερη εξίσωση του δοσμένου συστήματος έπεται ότι και οι αριθμοί $\displaystyle{y-2}$ και $\displaystyle{z-2}$

είναι επίσης ομόσημοι οπότε τελικά οι αριθμοί $\displaystyle{x-2 , y-2 , z-2}$ είναι ομόσημοι.

Δηλαδή, ή θα είναι όλοι μεγαλύτεροι ή ίσοι με το

ή θα είναι όλοι μικρότεροι ή ίσοι με το

.

Άρα ή θα είναι $\displaystyle{min\{x,y,z\}\geq 2}$ , ή $\displaystyle{max\{x,y,z\}\leq 2}$

ΣΗΜΕΙΩΣΗ:: Μετά από συζητήσεις που είχα με προσωπικά μηνύματα με τα μέλη μας Vgreco και
Orestisgotsis, καταλήξαμε ότι το δοσμένο ΄σύστημα πρέπει να έχει μοναδική λύση την $\displaystyle{x=y=z=2}$
Παρακάτω θα δώσω μια απόδειξη ότι πράγματι έχει αυτήν την λύση το σύστημα, ενώ είδα και μια διαφορετική λύση σε
μήνυμα που μου έστειλε ο Orestiwgotsis.

#3

Θα αποδείξουμε τώρα ότι η μοναδική λύση του συστήματος είναι η $\displaystyle{x=y=z=2}$

Έχουμε ήδη αποδείξει ότι οι αριθμοί $\displaystyle{x ,y , z}$ είναι θετικοί και ότι οι αριθμοί $\displaystyle{x-2 , y-2 , z-2}$ είναι ομόσημοι.

Ας υποθέσουμε ότι είναι $\displaystyle{x\leq y\leq z}$ , (ομοίως θα εργασθούμε και στις άλλες περιπτώσεις)

*** Έστω πρώτα ότι $\displaystyle{z<2}$ . Τότε είναι $\displaystyle{x\leq y\leq z<2}$ και άρα $\displaystyle{x-2<0 , y-2<0}$ .

Επίσης αφού $\displaystyle{x\leq y}$ έπεται ότι $\displaystyle{x-2\leq y-2}$ και αφού $\displaystyle{y-2<0}$ έπεται ότι $\displaystyle{\frac{x-2}{y-2}\geq 1}$ .

Έχουμε όμως βρει ότι $\displaystyle{(x-2)(y^2 -y+2)=y(y-2)}$ . Άρα $\displaystyle{\frac{x-2}{y-2}=\frac{y}{y^2 -y+2}}$ και άρα:

$\displaystyle{\frac{y}{y^2 -y+2}\geq 1\Rightarrow y\geq y^2 -y+2\Rightarrow y^2 -2y+2\leq 0}$ , που όμως είναι άτοπο αφού η διακρίνουσα

του τριωνύμου $\displaystyle{y^2 -2y+2}$ είναι αρνητική.

*** Έστω τώρα ότι $\displaystyle{z>2}$ . Τότε $\displaystyle{z-2>0}$ . Και αφού όπως πιο πάνω αποδείξαμε ότι οι αριθμοί $\displaystyle{x-2 , y-2 , z-2}$ είναι

ομόσημοι, έπεται ότι θα είναι και $\displaystyle{x-2>0 , x-2>0}$ .

Επειδή έχουμε υποθέσει ότι $\displaystyle{x\leq y\leq z}$ έπεται ότι $\displaystyle{z\geq x}$ και άρα $\displaystyle{z-2\geq x-2}$ και αφού $\displaystyle{x-2>0}$ έπεται ότι

$\displaystyle{\frac{z-2}{x-2}\geq 1}$ . Όμως έχουμε ότι $\displaystyle{(z-2)(x^2 -x+2)=x(x-2)}$ και άρα $\displaystyle{\frac{z-2}{x-2}=\frac{x}{x^2 -x+2}\Rightarrow}$

$\displaystyle{\frac{x}{x^2 -x+2}\geq 1\Rightarrow x\geq x^2 -x+2\Rightarrow x^2 -2x+2\leq 0}$ , το οποίο πάλι είναι άτοπο αφού η διακρίνουσα

του τριωνύμου είναι αρνητική.

Έτσι καταλήγουμε ότι υποχρεωτικά θα είναι $\displaystyle{z=2}$ και τώρα άμεσα έπεται ότι και $\displaystyle{x=2}$ και $\displaystyle{y=2}$

max - min

max - min

Re: max - min

Re: max - min

Μέλη σε σύνδεση