Για αγόρια

KARKAR · #1

: Για αγόρια.png (20.42 KiB) Προβλήθηκε 846 φορές

Με αφορμή το θέμα 1 εδώ , δίνω την εξής παραλλαγή : Δύο κύκλοι με κοινό κέντρο

,

έχουν συνευθειακές διαμέτρους τις CZ , DE

. Έστω

σημείο του μεγαλύτερου

κύκλου και

σημείο του μικρότερου , στο άλλο ημιεπίπεδο της διαμετρικής ευθείας .

Αν οι ευθείες BD,BE

τέμνουν τις AB,AC

στα

αντίστοιχα , δείξτε

ότι ο κύκλος (A,O,B)

διέρχεται από το μέσο του

.

#2

KARKAR έγραψε:Για αγόρια.pngΜε αφορμή το θέμα 1 εδώ , δίνω την εξής παραλλαγή : Δύο κύκλοι με κοινό κέντρο ,έχουν συνευθειακές διαμέτρους τις . Έστω σημείο του μεγαλύτερου κύκλου και σημείο του μικρότερου , στο άλλο ημιεπίπεδο της διαμετρικής ευθείας .Αν οι ευθείες τέμνουν τις στα αντίστοιχα , δείξτε ότι ο κύκλος διέρχεται από το μέσο του .

Θανάση, επειδή η κομμώτρια μόλις με κούρεψε και στο τέλος μου είπε ότι μειάζω σαν αγόρι πλέον, μπορώ νομίζω να ασχοληθώ με την άσκηση για τα αγόρια

Από τις διαμέτρους των κύκλων $\left( O,R \right),\left( O,r \right)$ προκύπτει ότι το είναι εγγράψιμο σε κύκλο $\left( M \right)$ (κέντρο το μέσο της διαμέτρου του ) και αρκεί ως ισοδύναμο πρόβλημα να δείξουμε ότι το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο.
[attachment=0]Για αγόρια.png[/attachment]
$\vartriangle DBE\left( {\angle DBE = {{90}^0}} \right)\mathop \Rightarrow \limits^{BO\;\delta \iota \alpha \mu \varepsilon \sigma o\varsigma } \angle DOB = 2\left( {\angle OEB} \right)$ $\mathop = \limits^{\angle OEB = \angle ZES\;(\kappa \alpha \tau \alpha \kappa o\rho \upsilon \varphi \eta \nu )} 2\left( {\angle SEZ} \right) \Rightarrow \boxed{\angle DOB = 2\left( {\angle SEZ} \right)}:\left( 1 \right)$

και ομοίως $\vartriangle CAZ\left( {\angle CAZ = {{90}^0}} \right)\mathop \Rightarrow \limits^{AO\;\delta \iota \alpha \mu \varepsilon \sigma o\varsigma } \angle DOA = 2\left( {\angle OZA} \right)$ $\mathop = \limits^{\angle OZA \equiv \angle SZE} 2\left( {\angle SZE} \right) \Rightarrow \boxed{\angle DOA = 2\left( {\angle SZE} \right)}:\left( 2 \right)$ .

$\left( 1 \right) + \left( 2 \right) \Rightarrow \angle AOB = 2\left( {\angle SEZ + \angle SZE} \right)$ $\mathop = \limits^{\angle SEZ + \angle SZE = \angle ASB\left( {\varepsilon \xi \omega \tau \varepsilon \rho \iota \kappa \eta \;\sigma \tau o\;\vartriangle SEZ} \right)} 2\left( {\angle ASB} \right)$ $\mathop = \limits^{\varepsilon \gamma \gamma \varepsilon \gamma \rho \alpha \mu \mu \varepsilon \nu \eta - \varepsilon \pi \iota \kappa \varepsilon \nu \tau \rho \eta \;\sigma \tau o\nu \;\left( M \right)}$

$\angle AMB \Rightarrow AMOB$ εγγράψιμο σε κύκλο και το ισοδύναμο πρόβλημα έχει αποδειχθεί.

Στάθης

Για αγόρια

Για αγόρια

Re: Για αγόρια

Μέλη σε σύνδεση