Μιάμισι γωνία σε ισοσκελές

Συντονιστές: silouan, Doloros, george visvikis

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5640
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Μιάμισι γωνία σε ισοσκελές

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #1 από george visvikis » Κυρ Ιούλ 30, 2017 7:29 pm

Μιάμισι γωνία.png
Μιάμισι γωνία.png (12.07 KiB) Προβλήθηκε 163 φορές

Έστω D σημείο της βάσης BC ισοσκελούς τριγώνου ABC, ώστε BD=2DC και P ένα σημείο του AD.

Αν B\widehat AC=B\widehat PD, να δείξετε ότι B\widehat PC=\dfrac{3}{2} B\widehat AC.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5049
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Μιάμισι γωνία σε ισοσκελές

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #2 από Doloros » Κυρ Ιούλ 30, 2017 11:44 pm

george visvikis έγραψε:Μιάμισι γωνία.png
Έστω D σημείο της βάσης BC ισοσκελούς τριγώνου ABC, ώστε BD=2DC και P ένα σημείο του AD.

Αν B\widehat AC=B\widehat PD, να δείξετε ότι B\widehat PC=\dfrac{3}{2} B\widehat AC.


μιάμισι γωνία σε ισοσκελές.png
μιάμισι γωνία σε ισοσκελές.png (39.8 KiB) Προβλήθηκε 121 φορές



Γράφω τον περιγεγραμμένο κύκλο του ισοσκελούς \vartriangle ABC . Έστω O το κέντρο του

και S η άλλη τομή της ευθείας AD μ αυτόν .Επειδή από το εγγεγραμμένο

τετράπλευρο ABSC έχω \widehat {{\theta _2}} = \widehat {ACB} = \widehat {ABC} τα \vartriangle ABC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\vartriangle PBS έχουν δύο γωνίες

μια προς μια ίσες άρα είναι ισογώνια , συνεπώς και το \vartriangle PBS ισοσκελές με κορυφή

το P. Μα τότε η ευθεία PO είναι μεσοκάθετος στο BS αφού τα P\,\,\kappa \alpha \iota \,\,O

ισαπέχουν των B,S. Ας είναι T το σημείο τομής της ευθείας PO με τη BS.

Θα είναι έτσι η PT και διχοτόμος της \widehat {BPS}. Επειδή

AB = AC \Rightarrow \widehat {{\theta _2}} = \widehat {{\theta _1}} \Rightarrow \dfrac{{SB}}{{SC}} = \dfrac{{DB}}{{DC}} = 2 \Rightarrow SB = 2SC και άρα \boxed{SC = ST} μα τότε και λόγω της προφανούς ισότητας

\vartriangle STP = \vartriangle SCP\,\,(\Pi  - \Gamma  - \Pi ), \widehat {TPS} = \widehat {SPC} δηλαδή :

\boxed{\widehat {BPT} = T\widehat {PS} = \widehat {SPC}}.

Ωραία Γιώργο.



Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: dement και 1 επισκέπτης