Μιάμισι γωνία σε ισοσκελές

#1

: Μιάμισι γωνία.png (12.07 KiB) Προβλήθηκε 652 φορές

Έστω

σημείο της βάσης

ισοσκελούς τριγώνου ABC,

ώστε

και

ένα σημείο του AD.

Αν $B\widehat AC=B\widehat PD,$ να δείξετε ότι $B\widehat PC=\dfrac{3}{2} B\widehat AC.$

#2

george visvikis έγραψε:Μιάμισι γωνία.png
Έστω σημείο της βάσης ισοσκελούς τριγώνου ώστε και ένα σημείο του

Αν $B\widehat AC=B\widehat PD,$ να δείξετε ότι $B\widehat PC=\dfrac{3}{2} B\widehat AC.$

: μιάμισι γωνία σε ισοσκελές.png (39.8 KiB) Προβλήθηκε 610 φορές

Γράφω τον περιγεγραμμένο κύκλο του ισοσκελούς $\vartriangle ABC$ . Έστω

το κέντρο του

και

η άλλη τομή της ευθείας

μ αυτόν .Επειδή από το εγγεγραμμένο

τετράπλευρο ABSC

έχω $\widehat {{\theta _2}} = \widehat {ACB} = \widehat {ABC}$ τα $\vartriangle ABC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\vartriangle PBS$ έχουν δύο γωνίες

μια προς μια ίσες άρα είναι ισογώνια , συνεπώς και το $\vartriangle PBS$ ισοσκελές με κορυφή

το

. Μα τότε η ευθεία

είναι μεσοκάθετος στο

αφού τα $P\,\,\kappa \alpha \iota \,\,O$

ισαπέχουν των B,S

. Ας είναι

το σημείο τομής της ευθείας

με τη

.

Θα είναι έτσι η

και διχοτόμος της $\widehat {BPS}$ . Επειδή

$AB = AC \Rightarrow \widehat {{\theta _2}} = \widehat {{\theta _1}} \Rightarrow \dfrac{{SB}}{{SC}} = \dfrac{{DB}}{{DC}} = 2 \Rightarrow SB = 2SC$ και άρα $\boxed{SC = ST}$ μα τότε και λόγω της προφανούς ισότητας

$\vartriangle STP = \vartriangle SCP\,\,(\Pi - \Gamma - \Pi )$ , $\widehat {TPS} = \widehat {SPC}$ δηλαδή :

$\boxed{\widehat {BPT} = T\widehat {PS} = \widehat {SPC}}$ .

Ωραία Γιώργο.

Μιάμισι γωνία σε ισοσκελές

Μιάμισι γωνία σε ισοσκελές

Re: Μιάμισι γωνία σε ισοσκελές

Μέλη σε σύνδεση