Άλλο ένα ορθογώνιο και ισοσκελές

#1

: Άλλο ένα ορθογώνιο και ισοσκελές.png (13.85 KiB) Προβλήθηκε 699 φορές

Έστω

οι διχοτόμοι ορθογωνίου τριγώνου $ABC(\widehat A=90^0),$

το έγκεντρο και K, L

οι προβολές των D, E

στη

Να δείξετε ότι το τρίγωνο IKL

είναι ορθογώνιο και ισοσκελές.

Ορέστης Λιγνός · #2

Καλημέρα Γιώργο!

Τα τρίγωνα $\vartriangle EAC , \vartriangle EKC$ είναι ίσα (

κοινή, ορθογώνια, $\widehat{ECA}=\widehat{ECK}$ ) και επομένως EA=EK

(1) και $\widehat{KEC}=\widehat{AEC} \Rightarrow \widehat{AEI}=\widehat{KEI}$ (2).

Τα τρίγωνα $\vartriangle AEI, \vartriangle KEI$ από τις (1), (2) και το γεγονός ότι έχουν την

κοινή, είναι ίσα, οπότε IA=IK

(3) και $\widehat{EKI}=\widehat{EAI}=45^\circ \Rightarrow \widehat{EKI}=45^\circ$ (4).

Όμοια προκύπτει IA=IL

(5).

Από (3), (5), IK=IL

(6).

Επίσης, $\widehat{IKL}=90^\circ-\widehat{EKI} \mathop = \limits^{(4)} 45^\circ \Rightarrow \widehat{EKI}=45^\circ$ (7).

Από (6), (7), το ζητούμενο είναι άμεσο.

#3

Μετά την ωραία λύση του φερέλπιδος νεαρού Ορέστη, μια ακόμα.

: Άλλο ένα ορθογώνιο και ισοσκελές.png (28.53 KiB) Προβλήθηκε 672 φορές

Επειδή το τετράπλευρο AEKC

έχει τις γωνίες στα A,K

παραπληρωματικές ,είναι

εγγράψιμο και συνεπώς $\boxed{\widehat {AKE} = \widehat {ACE} = \frac{{\widehat C}}{2} \Rightarrow \widehat {{\theta _1}} = \widehat {{\theta _2}} = 90^\circ + \frac{{\widehat C}}{2}}$ , που μας

εξασφαλίζει ότι και το τετράπλευρο ABKI

είναι εγγράψιμο , με άμεση συνέπεια :

$\boxed{\widehat y = \widehat x = 45^\circ }$ , ομοίως δε και $\boxed{\widehat w = 45^\circ }$ , άρα το $\vartriangle IKL$ είναι ορθογώνιο και

ισοσκελές.

#4

Προβληματίστηκα ανάμεσα σε αυτό το ζητούμενο και στο KL=2r

(

η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου).

Τελικά επικράτησε το ορθογώνιο και ισοσκελές. Δεν ξέρω ποιο απ' τα δύο είναι πιο εύκολο...

Άλλο ένα ορθογώνιο και ισοσκελές

Άλλο ένα ορθογώνιο και ισοσκελές

Re: Άλλο ένα ορθογώνιο και ισοσκελές

Re: Άλλο ένα ορθογώνιο και ισοσκελές

Re: Άλλο ένα ορθογώνιο και ισοσκελές

Μέλη σε σύνδεση