Κάθετη στη διαγώνιο
Συντονιστές: silouan, Doloros, george visvikis
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13233
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Κάθετη στη διαγώνιο
από τα σημεία τέμνει την στο και ο κύκλος την στο Να δείξετε ότι
Λέξεις Κλειδιά:
- vittasko
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2230
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
- Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.
- Επικοινωνία:
Re: Κάθετη στη διαγώνιο
Έστω η προβολή του σημείου επί της και αρκεί ως ισοδύναμο ζητούμενο να αποδειχθεί ότι τα σημεία είναι ομοκυκλικά.
Η ευθεία εφάπτεται στον περίκυκλο του ( ισοσκελούς ) τριγώνου κατά το σημείο ( προφανές ) και άρα, έχουμε
Από προκύπτει ότι το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο και επομένως ισχύει
Από και , λόγω του δοσμένου ισοσκελούς τραπεζίου , έχουμε
Από το ορθογώνιο τρίγωνο με , έχουμε
Από
Από συμπεραίνεται ότι το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο και το ισοδύναμο ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
Κώστας Βήττας.
Η ευθεία εφάπτεται στον περίκυκλο του ( ισοσκελούς ) τριγώνου κατά το σημείο ( προφανές ) και άρα, έχουμε
Από προκύπτει ότι το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο και επομένως ισχύει
Από και , λόγω του δοσμένου ισοσκελούς τραπεζίου , έχουμε
Από το ορθογώνιο τρίγωνο με , έχουμε
Από
Από συμπεραίνεται ότι το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο και το ισοδύναμο ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
Κώστας Βήττας.
Re: Κάθετη στη διαγώνιο
Διαφορετικά:
Ισχύει , οπότε τα είναι όμοια. Έτσι,
Άρα, στο τρίγωνο η διάμεσος ισούται με το μισό της πλευράς οπότε η γωνία είναι ορθή.
Ισχύει , οπότε τα είναι όμοια. Έτσι,
Άρα, στο τρίγωνο η διάμεσος ισούται με το μισό της πλευράς οπότε η γωνία είναι ορθή.
τελευταία επεξεργασία από dement σε Τρί Αύγ 22, 2017 7:00 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Δημήτρης Σκουτέρης
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Re: Κάθετη στη διαγώνιο
dement έγραψε:Διαφορετικά:
Ισχύει , οπότε τα είναι όμοια. Έτσι,
Άρα, στο τρίγωνο η διάμεσος ισούται με το μισό της πλευράς οπότε η γωνία είναι ορθή.
Λιτά κι ωραία!
Re: Κάθετη στη διαγώνιο
Θεωρώ δε το άλλο σημείο τομής της διαγωνίου με τον κύκλο .
Ορίζω τώρα ως τη τομή της με την . Επειδή προφανώς η
εφάπτεται του κύκλου και άρα : .
Όμως η εφάπτεται του κύκλου οπότε : . Από τις δύο
αυτές σχέσεις έχω ότι .
Αν τώρα γράψω τον κύκλο που τέμνει ακόμα την στο θα είναι
και συνεπώς δηλαδή το είναι ορθογώνιο στο .
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες