Ισότητα και καθετότητα

KARKAR · #1

: Ισότητα και καθετότητα.png (10 KiB) Προβλήθηκε 908 φορές

Σημείο

κινείται στην πλευρά

, τετραγώνου ABCD

. Η κάθετη της

στο

, τέμνει την προέκταση της

στο σημείο

. α) Δείξτε ότι AS=CT

β) Δείξτε ότι η προβολή

, του

στην ευθεία

, είναι σημείο της

.

nikkru · #2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Σεπ 28, 2017 7:19 pm
Ισότητα και καθετότητα.pngΣημείο κινείται στην πλευρά , τετραγώνου . Η κάθετη της

στο , τέμνει την προέκταση της στο σημείο . α) Δείξτε ότι

β) Δείξτε ότι η προβολή , του στην ευθεία , είναι σημείο της .

: Ισότητα και καθετότητα.png (14.02 KiB) Προβλήθηκε 883 φορές

α) Τα ορθογώνια τρίγωνα ABS,CBT

είναι ίσα, αφού AB=BC

και $\widehat{\beta }=\widehat{\gamma }=90^o-\widehat{\alpha }$ .

β) Φέρνουμε $SK\perp AD$ . Το ορθογώνιο τρίγωνο τρίγωνο ASK

είναι και ισοσκελές με συνέπεια SK=SA=CT

.

Ακόμη και SA//CT

,

παραλληλόγραμμο με

μέσο του

, οπότε $BH\perp ST$ . (το BST

είναι ορθογώνιο και ισοσκελές)

#3

Τα ορθογώνια τρίγωνα $ABS\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CBT$ έχουν: $AB = BC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat \omega = \widehat \theta$ ( οξείες με κάθετες πλευρές) .

Άρα είναι ίσα με συνέπεια το $\vartriangle BST$ να είναι ορθογώνιο και ισοσκελές.

: ισότητα και καθετότητα.png (37.78 KiB) Προβλήθηκε 861 φορές

Επειδή τώρα στο τετράπλευρο HBTC

τα σημεία

βλέπουν την απέναντι πλευρά υπό ίσες και μάλιστα ορθές γωνίες , αυτό είναι εγγράψιμο .

Έτσι αναγκαστικά $\widehat {HCB} = \widehat {HTB} = 45^\circ$ συνεπώς το

ανήκει στην ευθεία της διαγωνίου

.

Παρατήρηση : και το τετράπλευρο ABHS

είναι εγγράψιμο .

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Σεπ 28, 2017 7:19 pm
Ισότητα και καθετότητα.pngΣημείο κινείται στην πλευρά , τετραγώνου . Η κάθετη της

στο , τέμνει την προέκταση της στο σημείο . α) Δείξτε ότι

β) Δείξτε ότι η προβολή , του στην ευθεία , είναι σημείο της .

Αλλιώς για το β)

: Ισότητα και καθετότητα..png (15.21 KiB) Προβλήθηκε 858 φορές

Το

είναι ορθογώνιο και ισοσκελές, οπότε το

είναι μέσο του

και $\displaystyle DH = \frac{{ST}}{2} = HB$

Άρα το

βρίσκεται στη μεσοκάθετο του BD,

που είναι η AC.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #5

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Σεπ 28, 2017 7:19 pm
Ισότητα και καθετότητα.pngΣημείο κινείται στην πλευρά , τετραγώνου . Η κάθετη της

στο , τέμνει την προέκταση της στο σημείο . α) Δείξτε ότι

β) Δείξτε ότι η προβολή , του στην ευθεία , είναι σημείο της .

1.Με $\displaystyle AG \bot SB \Rightarrow \vartriangle DGA = \vartriangle SAB \Rightarrow \boxed{DG = SA}$ και $\displaystyle GTBA$ παραλ/μμο ,άρα $\displaystyle GT = a$

$\displaystyle DG + GC = GC + CT = a \Rightarrow \boxed{DG = CT = SA}$

2.Είναι , $\displaystyle \angle SBA = \angle CBT$ (οξείες με κάθετες πλευρές) και λόγω των εγγράψιμων

$\displaystyle HSAB,HCTB,$ θα είναι $\displaystyle \angle SHA = \angle CHT \Rightarrow A,H,C$ συνευθειακά

: ikk.png (8.34 KiB) Προβλήθηκε 822 φορές

#6

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Σεπ 28, 2017 7:19 pm
Ισότητα και καθετότητα.pngΣημείο κινείται στην πλευρά , τετραγώνου . Η κάθετη της

στο , τέμνει την προέκταση της στο σημείο . α) Δείξτε ότι

β) Δείξτε ότι η προβολή , του στην ευθεία , είναι σημείο της .

Βάζω λύση (ρουτίνα) με Αναλυτική, όπως υποσχέθηκα εδώ.

Με αρχή των αξόνων το

είναι $A(0,0), \B(a,0), \, C(a, 0), \, D(0,a), H(b,b)$ . Άρα η

έχει κλίση (b-0)/(b-a)

οπότε η ευθεία

είναι η $y-b=\frac {a-b}{b}(x-b)$ .

Θέτοντας x=0

και αντίστοιχα y=a

βρίσκουμε $S(2b-a,\,0)$ και T(2b,a)

. Άρα

, όπως θέλαμε.

Ισότητα και καθετότητα

Ισότητα και καθετότητα

Re: Ισότητα και καθετότητα

Re: Ισότητα και καθετότητα

Re: Ισότητα και καθετότητα

Re: Ισότητα και καθετότητα

Re: Ισότητα και καθετότητα

Μέλη σε σύνδεση