- Λήμμα για συνευθειακά σημεία.png (12.32 KiB) Προβλήθηκε 1121 φορές
Λήμμα για συνευθειακά σημεία
Συντονιστές: silouan, Doloros, george visvikis
- Διονύσιος Αδαμόπουλος
- Δημοσιεύσεις: 807
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
- Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας
Λήμμα για συνευθειακά σημεία
Έστω δύο ημιευθείες και και δύο σημεία και στο εσωτερικό της γωνίας . Αν το σημείο και οι προβολές των δύο σημείων πάνω στις ημιευθείες ορίζουν τμήματα με τον ίδιο λόγο, τότε τα σημεία , και είναι συνευθειακά.
Houston, we have a problem!
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15741
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Λήμμα για συνευθειακά σημεία
Για να κλείνει, αν και περίμενα τους μαθητές μας να ανταποκριθούν στην ωραία αυτή ασκησούλα.Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε: ↑Τρί Νοέμ 28, 2017 11:43 pmΛήμμα για συνευθειακά σημεία.png
Έστω δύο ημιευθείες και και δύο σημεία και στο εσωτερικό της γωνίας . Αν το σημείο και οι προβολές των δύο σημείων πάνω στις ημιευθείες ορίζουν τμήματα με τον ίδιο λόγο, τότε τα σημεία , και είναι συνευθειακά.
Δείχνω πρώτα το αντίστροφο: Δηλαδή έστω συνευθειακά. Τότε πραγματικά ισχύει γιατί και
τα δύο είναι ίσα με από ομοιότητα τριγώνων.
Για το ζητούμενο, έστω ότι ισχύει η . Αν η προέκταση της τέμνει την στο και αν η προβολή του στην , από το προηγούμενο έχουμε . Συγκρίνοντας με την έπεται , άρα τα , οπότε και τα , συμπίπτουν.
- vittasko
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2230
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
- Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.
- Επικοινωνία:
Re: Λήμμα για συνευθειακά σημεία
Είναι ειδική περίπτωση του Θεωρήματος Αναλόγων Διαιρέσεων.
Τρία σημεία είναι συνευθειακά, εάν και μόνο εάν, οι παράλληλες προβολές τους επί δύο τεμνόμενων ευθειών, ορίζουν τμήματα με ίσους λόγους.
Δυνατό θεώρημα, από τα αγαπημένα μου. Αποδεικνύεται εύκολα με βάση το Θεώρημα Θαλή και το έχουμε ξαναδεί Eδώ.
Κώστας Βήττας.
Τρία σημεία είναι συνευθειακά, εάν και μόνο εάν, οι παράλληλες προβολές τους επί δύο τεμνόμενων ευθειών, ορίζουν τμήματα με ίσους λόγους.
Δυνατό θεώρημα, από τα αγαπημένα μου. Αποδεικνύεται εύκολα με βάση το Θεώρημα Θαλή και το έχουμε ξαναδεί Eδώ.
Κώστας Βήττας.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15741
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Λήμμα για συνευθειακά σημεία
Ωραιότατα. Δεν το θυμόμουνα.vittasko έγραψε: ↑Τετ Νοέμ 29, 2017 6:33 pmΕίναι ειδική περίπτωση του Θεωρήματος Αναλόγων Διαιρέσεων.
Τρία σημεία είναι συνευθειακά, εάν και μόνο εάν, οι παράλληλες προβολές τους επί δύο τεμνόμενων ευθειών, ορίζουν τμήματα με ίσους λόγους.
Δυνατό θεώρημα, από τα αγαπημένα μου. Αποδεικνύεται εύκολα με βάση το Θεώρημα Θαλή και το έχουμε ξαναδεί Eδώ.
Κώστας Βήττας.
Η απόδειξη που έκανα καλύπτει και αυτή την περίπτωση καθώς στο βήμα
"και τα δύο είναι ίσα με από ομοιότητα τριγώνων" χρειάζεται μόνο η παραλληλία (που στην ειδική περίπτωση έπεται από
την καθετότητα στην ίδια ευθεία).
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες