Διαπίστωση ρόμβου.

Φανης Θεοφανιδης · #1

: 605.png (12.52 KiB) Προβλήθηκε 360 φορές

Στο παραπάνω σχήμα η

είναι διάμετρος του κύκλου (O)

, το τρίγωνο ACD

ισόπλευρο και $E\equiv DA\cap (O)$ .
Αν K, L, M, N

τα μέσα των τμημάτων OB, OE, DE, DB

αντίστοιχα, να δείξετε ότι το KLMN

είναι ρόμβος.

S.E.Louridas · #2

Καλό 2024 με τις καλλίτερες των ευχών και ... με την Μαθηματική σκέψη να είναι ο πρωταγωνιστής.

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: ↑
Σάβ Δεκ 30, 2023 5:59 pm
Στο σχήμα η είναι διάμετρος του κύκλου , το τρίγωνο ισόπλευρο και $E\equiv DA\cap (O)$ .
Αν τα μέσα των τμημάτων αντίστοιχα, να δείξετε ότι το είναι ρόμβος.

Παρατηρούμε ότι $OD \bot AC,\;BC \bot AC \Rightarrow OD\parallel BC \Rightarrow \angle DOA = \angle CBA.$
Επειδή έχουμε AC=AD

συμπεραίνουμε ότι ο περιγεγραμμένος κύκλος στο τρίγωνο AOD

είναι ίσος με τον κύκλο (O, OA).

Έτσι προκύπτει ότι $\angle OAD + \angle EAB = \pi \Rightarrow OD = EB.$
Από εδώ προκύπτει άμεσα το ζητούμενο, αφού ισχύουν οι σχέσεις
$\displaystyle{MN = LK = \frac{{EB}}{2},\,\;ML = NK = \frac{{DO}}{2}.}$

: FD.png (63.7 KiB) Προβλήθηκε 280 φορές

STOPJOHN · #3

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: ↑
Σάβ Δεκ 30, 2023 5:59 pm
605.png

Στο παραπάνω σχήμα η είναι διάμετρος του κύκλου , το τρίγωνο ισόπλευρο και $E\equiv DA\cap (O)$ .
Αν τα μέσα των τμημάτων αντίστοιχα, να δείξετε ότι το είναι ρόμβος.

Xρόνια Πολλά, Καλή Χρονιά

Εστω

AC=d,OA=R,

Είναι

μεσοκάθετος του τμήματος

,

γιατί OC=OA,DC=DA

και $OD=\dfrac{a}{2}+\dfrac{d\sqrt{3}}{2},(1) ,$ $4R^{2}=a^{2}+d^{2},(2), DA.DE=DO^{2}-R^{2}\Rightarrow d(d+AE)=OD^{2}-R^{2},(3), (1),(2),(3)\Rightarrow AE=\dfrac{\sqrt{3}a-d}{2},EB^{2}=4R^{2}-AE^{2}$

Αρα $EB^{2}=\dfrac{a^{2}+3d^{2}+2\sqrt{3}ad}{4}$ οπότε OD=EB

Διαπίστωση ρόμβου.

Διαπίστωση ρόμβου.

Re: Διαπίστωση ρόμβου.

Re: Διαπίστωση ρόμβου.

Μέλη σε σύνδεση