Τέλειο τετράγωνο
Τέλειο τετράγωνο
Από μαθητικό διαγωνισμό υπό την αιγίδα (και) της SNS.
Έστω ακολουθία θετικών ακεραίων τέτοια ώστε ο είναι το πλήθος των θετικών διαιρετών του . Έστω επίσης .
Να αποδειχθεί ότι, για κάποιο , ο είναι τέλειο τετράγωνο.
Έστω ακολουθία θετικών ακεραίων τέτοια ώστε ο είναι το πλήθος των θετικών διαιρετών του . Έστω επίσης .
Να αποδειχθεί ότι, για κάποιο , ο είναι τέλειο τετράγωνο.
Δημήτρης Σκουτέρης
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Δημοσιεύσεις: 217
- Εγγραφή: Τρί Δεκ 13, 2016 10:41 pm
- Τοποθεσία: Χανιά
Re: Τέλειο τετράγωνο
Η παρακάτω πρόταση είναι αυτό που κατάλαβα:
Για κάθε θετικό ακέραιο τέτοιο ώστε υπάρχει θετικός ακέραιος τέτοιος ώστε
ο να είναι τέλειο τετράγωνο. Είναι σωστή η πρόταση ή λάθος;
Για κάθε θετικό ακέραιο τέτοιο ώστε υπάρχει θετικός ακέραιος τέτοιος ώστε
ο να είναι τέλειο τετράγωνο. Είναι σωστή η πρόταση ή λάθος;
Γιάννης Μπορμπαντωνάκης
Re: Τέλειο τετράγωνο
Προφανώς προτιμώ να μη δώσω εξηγήσεις. Είναι σαφής η εκφώνηση.
Καλή δουλειά.
Καλή δουλειά.
Δημήτρης Σκουτέρης
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Re: Τέλειο τετράγωνο
dement έγραψε:Από μαθητικό διαγωνισμό υπό την αιγίδα (και) της SNS.
Έστω ακολουθία θετικών ακεραίων τέτοια ώστε ο είναι το πλήθος των θετικών διαιρετών του . Έστω επίσης .
Να αποδειχθεί ότι, για κάποιο , ο είναι τέλειο τετράγωνο.
Για έναν θετικό ακέραιο ισχύει , όπου , το πλήθος των διαιρετών του . Έτσι . Ουσιαστικά το πρόβλημα ζητάει να δείξουμε ότι θα υπάρχει , αφού κάθε τέλειο τετράγωνο έχει περιττό πλήθος διαιρετών. Αν περιττός τελειώσαμε. Θα δείξουμε ότι ο τελευταίος όρος της ακολουθίας θα είναι το . Προφανώς, το δεν γίνεται να είναι τελευταίος όρος (αφού δεν υπάρχει ακέραιος με έναν διαιρέτη) . Με βάση την πρώτη σχέση κάθε διαδοχικός όρος της ακολουθίας μειώνεται τουλάχιστον κατά ένα. Συνεπώς, αφού . Ο θα είναι ίσος με . Άρα, θα έχει προηγηθεί με διαιρέτες και (πρώτος αριθμός περιττός) .Συνεπώς ο , θα είναι τέλειο τετράγωνο,αφού έχει περιττό πλήθος δαιρετών, το ζητούμενο. (όρισα ως τον τελευταίο όρο της ακολουθίας, που βέβαια δεν ύπαρχει στην πράξη αφού )
Bye :')
Re: Τέλειο τετράγωνο
Πολύ ωραία. Να προσθέσω μόνο ότι υπάρχει και η περίπτωση της σταθερής ακολουθίας με τιμή , που φυσικά είναι τέλειο τετράγωνο.
Δημήτρης Σκουτέρης
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
-
- Δημοσιεύσεις: 217
- Εγγραφή: Τρί Δεκ 13, 2016 10:41 pm
- Τοποθεσία: Χανιά
Re: Τέλειο τετράγωνο
Ας κάνω μία απόπειρα.
Με θα συμβολίζουμε το πλήθος διαιρετών του
Όμως με την ισότητα να ισχύει μόνο όταν
Αυτό συμβαίνει διότι υπάρχει πρώτος αριθμός για κάθε ο οποίος δεν θα διαιρούσε τους:
όμως για να υπάρχει πρώτος αριθμός σε αυτό το διάστημα πρέπει άρα .
Επίσης αν και μόνο αν .
Στην συνέχεια παρατηρούμε ότι .
Αν δεν ίσχυε αυτό τότε θα είχαμε ότι . Παίρνοντας όριο στο καταλήγουμε σε άτοπο.
Για αυτόν τον πρέπει , άρα όπου
άμα τον αναλύσουμε σε γινόμενο πρώτων παραγόντων.
Η εξίσωση δίνει ότι ο πρέπει να είναι πρώτος αριθμός, έστω
Όμοια οπότε με την ίδια διαδικασία προκύπτει ότι όπου πρώτος αριθμός.
Ο εκθέτης είναι άρτιος αφού οπότε ο αριθμός είναι τέλειο τετράγωνο. Αν τότε το ζητούμενο έπεται.
Οι μεταβλητές: είναι θετικοί ακέραιοι με
Edit: Μάλλον την έλυνα παράλληλα με τον Δημήτρη αλλά με πρόλαβε .
Με θα συμβολίζουμε το πλήθος διαιρετών του
Όμως με την ισότητα να ισχύει μόνο όταν
Αυτό συμβαίνει διότι υπάρχει πρώτος αριθμός για κάθε ο οποίος δεν θα διαιρούσε τους:
όμως για να υπάρχει πρώτος αριθμός σε αυτό το διάστημα πρέπει άρα .
Επίσης αν και μόνο αν .
Στην συνέχεια παρατηρούμε ότι .
Αν δεν ίσχυε αυτό τότε θα είχαμε ότι . Παίρνοντας όριο στο καταλήγουμε σε άτοπο.
Για αυτόν τον πρέπει , άρα όπου
άμα τον αναλύσουμε σε γινόμενο πρώτων παραγόντων.
Η εξίσωση δίνει ότι ο πρέπει να είναι πρώτος αριθμός, έστω
Όμοια οπότε με την ίδια διαδικασία προκύπτει ότι όπου πρώτος αριθμός.
Ο εκθέτης είναι άρτιος αφού οπότε ο αριθμός είναι τέλειο τετράγωνο. Αν τότε το ζητούμενο έπεται.
Οι μεταβλητές: είναι θετικοί ακέραιοι με
Edit: Μάλλον την έλυνα παράλληλα με τον Δημήτρη αλλά με πρόλαβε .
Γιάννης Μπορμπαντωνάκης
Re: Τέλειο τετράγωνο
Ναι, απλά υπέθεσα ότιdement έγραψε:Πολύ ωραία. Να προσθέσω μόνο ότι υπάρχει και η περίπτωση της σταθερής ακολουθίας με τιμή , που φυσικά είναι τέλειο τετράγωνο.
Bye :')
Re: Τέλειο τετράγωνο
Δίνω κι εγώ τη δική μου (η ιδέα είναι παρόμοια με του JimNt.).
Προφανώς η είναι φθίνουσα. Έστω .
Οπωσδήποτε (οι μόνοι αριθμοί με ). Αν τελειώσαμε. Αν τότε από την υπόθεση. Ο είναι περιττός (πρώτος) και ο τέλειο τετράγωνο.
Προφανώς η είναι φθίνουσα. Έστω .
Οπωσδήποτε (οι μόνοι αριθμοί με ). Αν τελειώσαμε. Αν τότε από την υπόθεση. Ο είναι περιττός (πρώτος) και ο τέλειο τετράγωνο.
Δημήτρης Σκουτέρης
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 5 επισκέπτες