Αποχρώντες λόγοι

KARKAR · #1

: Αποχρώντες λόγοι.png (11.92 KiB) Προβλήθηκε 212 φορές

Προεκτείνουμε την πλευρά AB=a

, του τετραγώνου ABCD

και προς τις δύο

κατευθύνσεις , κατά τμήματα AS=BP=x

. α) Βρείτε το

, ώστε : $\dfrac{SC}{SP}=1$

β) Υπολογίστε την μέγιστη τιμή του λόγου : $\dfrac{SC}{CP}$ ( και αυτονόητα , το τότε

) .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Απρ 23, 2024 9:27 pm
Αποχρώντες λόγοι.pngΠροεκτείνουμε την πλευρά , του τετραγώνου και προς τις δύο

κατευθύνσεις , κατά τμήματα . α) Βρείτε το , ώστε : $\dfrac{SC}{SP}=1$

β) Υπολογίστε την μέγιστη τιμή του λόγου : $\dfrac{SC}{CP}$ ( και αυτονόητα , το τότε ) .

: Αποχρώντες λόγοι.Κ.png (10.98 KiB) Προβλήθηκε 179 φορές

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Απρ 23, 2024 9:27 pm
Αποχρώντες λόγοι.pngΠροεκτείνουμε την πλευρά , του τετραγώνου και προς τις δύο

κατευθύνσεις , κατά τμήματα . α) Βρείτε το , ώστε : $\dfrac{SC}{SP}=1$

β) Υπολογίστε την μέγιστη τιμή του λόγου : $\dfrac{SC}{CP}$ ( και αυτονόητα , το τότε ) .

α)

$SC = SP \Leftrightarrow S{C^2} = S{P^2} \Leftrightarrow {\left( {x + a} \right)^2} + {a^2} = {\left( {2x + a} \right)^2}$ ή ${a^2} + {\left( {x + a} \right)^2} = 4{x^2} + 4ax + {a^2} \Leftrightarrow {\left( {x + a} \right)^2} = 4x\left( {x + a} \right)$ ,

Δηλαδή , $4x = x + a \Leftrightarrow \boxed{x = \frac{a}{3}}$ .

: Αποχρώντες λόγοι_1 ζητούμενο.png (6.82 KiB) Προβλήθηκε 136 φορές

β)

η πιο μικρή τιμή του λόγου $\dfrac{{CS}}{{CP}}$ είναι οριακά $\sqrt 2$ .

Ο λόγος $\dfrac{{CS}}{{CP}}$ γίνεται μέγιστος όταν ο λόγος $\dfrac{{C{S^2}}}{{C{P^2}}}$ γίνει μέγιστος. Είναι $\dfrac{{C{S^2}}}{{C{P^2}}} = \dfrac{{{{\left( {x + a} \right)}^2} + {a^2}}}{{{x^2} + {a^2}}} = 1 + \dfrac{{2ax + {a^2}}}{{{x^2} + {a^2}}}\,\,\left( 1 \right)$

Άρα αρκεί η παράσταση $\dfrac{{2ax + {a^2}}}{{{x^2} + {a^2}}}$ να γίνει μέγιστη . Αν θέσω $a = kx\,\,\left( 2 \right)$ με k,x > 0

η παράσταση γίνεται :

$\boxed{y = \dfrac{{{k^2} + 2k}}{{{k^2} + 1}}}$ ή $\left( {y - 1} \right){k^2} - 2k - y = 0$ με διακρίνουσα $D = - 4\left( {{y^2} - y - 1} \right)$ . Αναγκαστικά ${y^2} - y - 1 \leqslant 0 \Leftrightarrow y \in \left[ {\dfrac{1}{\varphi },\varphi } \right]$

ή λόγω του προβλήματος , $y \in (\sqrt 2 ,\varphi ]$

Με $\boxed{\varphi = \dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2}}$ κ.λ.π.

Παρατήρηση. Την στιγμή του μεγίστου το $\vartriangle CSP$ είναι ορθογώνιο στο

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Απρ 23, 2024 9:27 pm
Αποχρώντες λόγοι.pngΠροεκτείνουμε την πλευρά , του τετραγώνου και προς τις δύο

κατευθύνσεις , κατά τμήματα . α) Βρείτε το , ώστε : $\dfrac{SC}{SP}=1$

β) Υπολογίστε την μέγιστη τιμή του λόγου : $\dfrac{SC}{CP}$ ( και αυτονόητα , το τότε ) .

α) Τα τρίγωνα BPC,MPS

είναι όμοια, άρα $\displaystyle \frac{{BP}}{{CP}} = \frac{{MP}}{{SP}} = \frac{{CP}}{{2SP}} \Leftrightarrow C{P^2} = 2SP \cdot BP \Leftrightarrow$

$\displaystyle {a^2} + {x^2} = 2x(a + 2x) \Leftrightarrow 3{x^2} + 2ax - {a^2} = 0\mathop \Leftrightarrow \limits^{x > 0}$ $\boxed{x=\frac{a}{3}}$

: Αποχρώντες λόγοι.ΚΑ.png (12.73 KiB) Προβλήθηκε 121 φορές

β) $\displaystyle \frac{{SC}}{{CP}} = \sqrt {\frac{{{{(a + x)}^2} + {a^2}}}{{{a^2} + {x^2}}}} = \sqrt {\frac{{{x^2} + 2ax + 2{a^2}}}{{{a^2} + {x^2}}}}$

Έστω $\displaystyle \frac{{{x^2} + 2ax + 2{a^2}}}{{{a^2} + {x^2}}} = y \Leftrightarrow (y - 1){x^2} - 2ax + {a^2}(y - 2) = 0$ (1)

Για $y\ne 1$ η (1)

είναι δευτεροβάθμια εξίσωση και έχει λύση όταν

$\displaystyle \Delta \geqslant 0 \Leftrightarrow - 4{a^2}({y^2} - 3y + 1) \leqslant 0 \Rightarrow y \leqslant \frac{{3 + \sqrt 5 }}{2} \Rightarrow$ $\boxed{{\left( {\frac{{SC}}{{CP}}} \right)_{\max }} = \sqrt {{y_{\max }}} = \phi }$ για $\boxed{x = \frac{a}{\phi }}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #5

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Απρ 23, 2024 9:27 pm
Αποχρώντες λόγοι.pngΠροεκτείνουμε την πλευρά , του τετραγώνου και προς τις δύο

κατευθύνσεις , κατά τμήματα . α) Βρείτε το , ώστε : $\dfrac{SC}{SP}=1$

β) Υπολογίστε την μέγιστη τιμή του λόγου : $\dfrac{SC}{CP}$ ( και αυτονόητα , το τότε ) .

Αλλιώς για το πρώτο ερώτημα

Θεωρούμε το ημικύκλιο διαμέτρου 2CS

iσχύει $PB.BH=CB^2 \Rightarrow x(3x+2a)=a^2 \Leftrightarrow 3x^2+2ax-a^2=0\Rightarrow x= \dfrac{a}{3}$

B) Η λύση που είχα έτοιμη να ανεβάσω είναι ακριβώς ίδια με του Νίκου.

: αποχρώντες λόγοι.png (63.76 KiB) Προβλήθηκε 113 φορές

Αποχρώντες λόγοι

Αποχρώντες λόγοι

Re: Αποχρώντες λόγοι

Re: Αποχρώντες λόγοι

Re: Αποχρώντες λόγοι

Re: Αποχρώντες λόγοι

Μέλη σε σύνδεση