Μια εξίσωση 2ου βαθμού
Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan
- S.E.Louridas
- Δημοσιεύσεις: 5959
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
- Τοποθεσία: Aegaleo.
- Επικοινωνία:
Μια εξίσωση 2ου βαθμού
Θεωρούμε την εξίσωση Δίνεται επιπλέον ότι και
Να αποδείξετε ότι εξίσωση αυτή έχει πραγματικές ρίζες με απόλυτη τιμή μικρότερη της μονάδας.
Να αποδείξετε ότι εξίσωση αυτή έχει πραγματικές ρίζες με απόλυτη τιμή μικρότερη της μονάδας.
S.E.Louridas
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Μια εξίσωση 2ου βαθμού
Από την ανισότητα έχουμε ότι η διακρίνουσα είναι μη αρνητική.
Άρα η εξίσωση έχει πραγματικές ρίζες.
Επιπλέον
Άρα
Ανάλογα με το πρόσημο του b θα έχουμε δύο περιπτώσεις για τις ρίζες:
Παρατηρούμε ότι
Εδώ, για να αποδειχθεί το ζητούμενο, αρκεί
Το πρώτο σκέλος είναι προφανές. Για το δεύτερο:
Αρκεί
Όμως
Άρα
Άρα όπως θέλαμε.
Άρα η εξίσωση έχει πραγματικές ρίζες.
Επιπλέον
Άρα
Ανάλογα με το πρόσημο του b θα έχουμε δύο περιπτώσεις για τις ρίζες:
Παρατηρούμε ότι
Εδώ, για να αποδειχθεί το ζητούμενο, αρκεί
Το πρώτο σκέλος είναι προφανές. Για το δεύτερο:
Αρκεί
Όμως
Άρα
Άρα όπως θέλαμε.
«Ο μορφωμένος διαφέρει από τον αμόρφωτο, όπως ο ζωντανός από τον νεκρό.» Αριστοτέλης
- S.E.Louridas
- Δημοσιεύσεις: 5959
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
- Τοποθεσία: Aegaleo.
- Επικοινωνία:
Re: Μια εξίσωση 2ου βαθμού
Άριστη Σκέψη και Άμεσα αντανακλαστικά για την ηλικία σου.∫ot.T. έγραψε: ↑Πέμ Μαρ 21, 2024 3:36 pmΑπό την ανισότητα έχουμε ότι η διακρίνουσα είναι μη αρνητική.
Άρα η εξίσωση έχει πραγματικές ρίζες.
Επιπλέον
Άρα
Ανάλογα με το πρόσημο του b θα έχουμε δύο περιπτώσεις για τις ρίζες:
Παρατηρούμε ότι
Εδώ, για να αποδειχθεί το ζητούμενο, αρκεί
Το πρώτο σκέλος είναι προφανές. Για το δεύτερο:
Αρκεί
Όμως
Άρα
Άρα όπως θέλαμε.
S.E.Louridas
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1810
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Μια εξίσωση 2ου βαθμού
Παρόμοια με το μέλος ∫ot.T. παραπάνω, αλλά θεωρώντας γνωστή την θεωρία δευτεροβάθμιου τριώνυμου. Η δοθείσα εξίσωση έχει ρίζες με απόλυτη τιμή μικρότερη της μονάδας αν και μόνο αν ικανοποιούνται οι συνθήκεςS.E.Louridas έγραψε: ↑Τετ Μαρ 20, 2024 10:16 pmΘεωρούμε την εξίσωση Δίνεται επιπλέον ότι και
Να αποδείξετε ότι εξίσωση αυτή έχει πραγματικές ρίζες με απόλυτη τιμή μικρότερη της μονάδας.
και
Από τις συνθήκες του προβλήματος έχουμε
, η τελευταία ισότητα επειδή ομόσημοι αριθμοί (). Οπότε .
Δηλαδή οι αριθμοί και είναι ομόσημοι. Αν αυτοί οι αριθμοί είναι ετερόσημοι με τον , τότε θα έχουμε
και , οπότε αθροίζοντας τις ανισώσεις θα έχουμε . Όμως οι άρα και ο είναι ομόσημοι. 'Ατοπο. Οπότε θα ισχύει
και .
Επίσης ισχύει , όπου έγινε χρήση της , για . Οπότε έχουμε διαδοχικά
Δηλαδή οι αριθμοί και , είναι ομόσημοι. Αν είναι και οι δύο αρνητικοί, τότε θα έχουμε . 'Ατοπο. Άρα αυτοί οι αριθμοί είναι θετικοί. Οπότε
και
Τέλος από την συνθήκη , έχουμε . Δηλαδή .
Παρατηρούμε ότι όλες οι συνθήκες για την ύπραξη ριζών, με απόλυτη τιμή μικρότερη του , τηρούνται.
- S.E.Louridas
- Δημοσιεύσεις: 5959
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
- Τοποθεσία: Aegaleo.
- Επικοινωνία:
Re: Μια εξίσωση 2ου βαθμού
Καλημέρα καλημέρα.
Αφού ευχαριστήσω τον Sot.Τ και σίγουρα τον Αλέξανδρο Κουτσουρίδη για την αδιαμφισβήτητη και σε εμάς εδώ μαθηματική προσφορά του, να πληροφορήσω απλά ότι το πρόβλημα αυτό το είχα προτείνει και λύσει στο περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ της ΕΜΕ, το 1970 αν θυμάμαι καλά, ως Μαθητής του Πρακτικού Λυκείου (Πως περνούν τα παλιο - χρόνια ... αλλά πάλι ευτυχώς που οι νεότεροι είναι όχι απλά άξιοι αλλά υπεράξιοι και έτσι συνεχίζουν να δίνουν ηχηρές απαντήσεις στη πρόκληση των καιρών).
Αφού ευχαριστήσω τον Sot.Τ και σίγουρα τον Αλέξανδρο Κουτσουρίδη για την αδιαμφισβήτητη και σε εμάς εδώ μαθηματική προσφορά του, να πληροφορήσω απλά ότι το πρόβλημα αυτό το είχα προτείνει και λύσει στο περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ της ΕΜΕ, το 1970 αν θυμάμαι καλά, ως Μαθητής του Πρακτικού Λυκείου (Πως περνούν τα παλιο - χρόνια ... αλλά πάλι ευτυχώς που οι νεότεροι είναι όχι απλά άξιοι αλλά υπεράξιοι και έτσι συνεχίζουν να δίνουν ηχηρές απαντήσεις στη πρόκληση των καιρών).
S.E.Louridas
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης