Ταυτότητα σε ανισότητα!

JimNt. · #1

Αν για τους θετικούς πραγματικούς a,b,c

ισχύει $ab+bc+ac=\frac{1}{3}$ να δείξετε ότι $\frac{a}{a^2-bc+1}+\frac{b}{b^2-ac+1}+\frac{c}{c^2-ab+1} \ge \frac{1}{a+b+c}$

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #2

Η ανισότητα γίνεται:

$\dfrac{a^2}{a^3-abc+a}+\dfrac{b^2}{b^3-abc+b}+\dfrac{c^2}{c^4-abc+c}\geq \dfrac{1}{a+b+c}$

Από την ανισότητα Andreescu

έχουμε πως:

$\dfrac{a^2}{a^3-abc+a}+\dfrac{b^2}{b^3-abc+b}+\dfrac{c^2}{c^4-abc+c}\geq$ $\dfrac{(a+b+c)^2}{a^3+b^3+c^3-3abc+a+b+c}=\dfrac{(a+b+c)^2}{(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)+a+b+c}=$ \displaystyle{\dfrac{a+b+c}{a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca+1}=\dfrac{a+b+c}{a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca+3(ab+bc+ca)}} $=\dfrac{a+b+c}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca}=$ $\dfrac{a+b+c}{(a+b+c)^2}=\dfrac{1}{a+b+c}$

JimNt. · #3

harrisp · #4

Το όλο κόλπο ειναι να πολλαπλασιάσουμε αριθμητή, παρονομαστή με το a,b,c

αντιστοίχως.

Μπορούμε τωρα να κάνουμε Andreescu

και βλέπουμε οτι εμφανίζεται στον παρονομαστή η ταυτότητα Euler.

Με την αντικατάσταση του $ab+bc+ca=\dfrac{1}{3}$ καταλήγουμε στην:

$LHS\geq \dfrac{a+b+c}{a^2+b^2+c ^2+\dfrac{2}{3}}=...=\dfrac {1}{a+b+c}$

Φτάνουμε στο ζητούμενο χρησιμοποιώντας την $a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-\dfrac{2}{3}$

Edit: Με πρόλαβε ο ταχύτατος Διονύσης και με πιο ολοκληρωμένη λύση. Μου αρέσει που νομίζα πως είχα ξεκινήσει να γράφω πριν απο εσένα.

Ταυτότητα σε ανισότητα!

Ταυτότητα σε ανισότητα!

Re: Ταυτότητα σε ανισότητα!

Re: Ταυτότητα σε ανισότητα!

Re: Ταυτότητα σε ανισότητα!

Μέλη σε σύνδεση