Ενδιαφέρουσα Ανισότητα
Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan
- Διονύσιος Αδαμόπουλος
- Δημοσιεύσεις: 807
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
- Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας
Ενδιαφέρουσα Ανισότητα
Έστω θετικοί πραγματικοί.
Να αποδειχθεί πως:
Ας αφεθεί μια μέρα για τους μαθητές.
Να αποδειχθεί πως:
Ας αφεθεί μια μέρα για τους μαθητές.
Houston, we have a problem!
Λέξεις Κλειδιά:
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Ενδιαφέρουσα Ανισότητα
Γεια σου Διονύση!
Προφανώς και οι όμοιες της.
Άρα, .
Αρκεί λοιπόν , το οποίο ισχύει όταν και οι τρεις είναι , ή οι δύο είναι και μόνο ένας είναι .
Μένει να εξετάσουμε την περίπτωση που ένας είναι , και οι άλλοι δύο είναι .
Έστω λοιπόν
Είναι
, και το ζητούμενο έπεται.
Ισότητα έχουμε αν και μόνο αν .
Προφανώς και οι όμοιες της.
Άρα, .
Αρκεί λοιπόν , το οποίο ισχύει όταν και οι τρεις είναι , ή οι δύο είναι και μόνο ένας είναι .
Μένει να εξετάσουμε την περίπτωση που ένας είναι , και οι άλλοι δύο είναι .
Έστω λοιπόν
Είναι
, και το ζητούμενο έπεται.
Ισότητα έχουμε αν και μόνο αν .
τελευταία επεξεργασία από Ορέστης Λιγνός σε Δευ Μαρ 20, 2017 12:30 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
- Διονύσιος Αδαμόπουλος
- Δημοσιεύσεις: 807
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
- Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας
Re: Ενδιαφέρουσα Ανισότητα
Μπράβο Ορέστη !Ορέστης Λιγνός έγραψε:Γεια σου Διονύση!
Προφανώς και οι όμοιες της.
Άρα, .
Αρκεί λοιπόν , το οποίο ισχύει όταν και οι τρεις είναι , ή οι δύο είναι και μόνο ένας είναι .
Μένει να εξετάσουμε την περίπτωση που ένας είναι , και οι άλλοι δύο είναι .
Έστω λοιπόν
Είναι
, και το ζητούμενο έπεται.
Ισότητα έχουμε αν και μόνο αν .
Θα αφήσω λίγες μέρες περιθώριο για να την προσπαθήσουν κι άλλοι και μετά θα βάλω την λύση μου.
Houston, we have a problem!
- cretanman
- Διαχειριστής
- Δημοσιεύσεις: 4097
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
- Επικοινωνία:
Re: Ενδιαφέρουσα Ανισότητα
Διαγράφω την (λανθασμένη) απάντηση μετά από μήνυμα του Παύλου Μαραγκουδάκη!
Αλέξανδρος Συγκελάκης
- matha
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 6422
- Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Re: Ενδιαφέρουσα Ανισότητα
Από ΑΜ-ΓΜ είναιΔιονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε:Έστω θετικοί πραγματικοί.
Να αποδειχθεί πως:
Ας αφεθεί μια μέρα για τους μαθητές.
οπότε αρκεί
Αυτή είναι άμεση συνέπεια της Schur και της ΑΜ-ΓΜ
αν τέθει κτλ.
Μάγκος Θάνος
- Διονύσιος Αδαμόπουλος
- Δημοσιεύσεις: 807
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
- Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας
Re: Ενδιαφέρουσα Ανισότητα
Ακριβώς αυτή την λύση είχα σκεφτεί κι εγώ !matha έγραψε:Από ΑΜ-ΓΜ είναιΔιονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε:Έστω θετικοί πραγματικοί.
Να αποδειχθεί πως:
Ας αφεθεί μια μέρα για τους μαθητές.
οπότε αρκεί
Αυτή είναι άμεση συνέπεια της Schur και της ΑΜ-ΓΜ
αν τέθει κτλ.
Houston, we have a problem!
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Ενδιαφέρουσα Ανισότητα
Η ανισότητα γράφεται
που είναι τριώνυμο ως προς
Αν ισχύει.
Αν το τριώνυμο έχει δύο αρνητικές ρίζες.
Αφου ισχύει.
Μένει η περίπτωση
Αλλά η διακρίνουσα είναι
και λόγω του
viewtopic.php?f=173&t=57918
είναι μη θετική όποτε πάλι ισχύει.
που είναι τριώνυμο ως προς
Αν ισχύει.
Αν το τριώνυμο έχει δύο αρνητικές ρίζες.
Αφου ισχύει.
Μένει η περίπτωση
Αλλά η διακρίνουσα είναι
και λόγω του
viewtopic.php?f=173&t=57918
είναι μη θετική όποτε πάλι ισχύει.
- cretanman
- Διαχειριστής
- Δημοσιεύσεις: 4097
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
- Επικοινωνία:
Re: Ενδιαφέρουσα Ανισότητα
Άλλες δύο αντιμετωπίσεις:
Πρώτη αντιμετώπιση (είναι μπάλωμα του κενού που μου είχε επισημάνει παραπάνω ο Παύλος):
Αν οι είναι τότε δηλαδή . Όμως
και έχουμε το ζητούμενο.
Αν κάποιος απ' τους , ή είναι μικρότερος του , τότε ας υποθέσουμε χωρίς βλάβη της γενικότητας ότι .
Θέλουμε ισοδύναμα να δείξουμε ότι:
και αν δούμε το πρώτο μέλος ως δευτεροβάθμιο τριώνυμο ως προς , λαμβάνει το ελάχιστο για το οποίο είναι ίσο μετά τις πράξεις με και βλέποντάς το ως δευτεροβάθμιο τριώνυμο του (ο συντελεστής του μεγιστοβάθμιου όρου είναι θετικός λόγω της παραδοχής οπότε πράγματι παρουσιάζει ελάχιστο το εν λόγω τριώνυμο), παρουσιάζει ελάχιστο για που είναι ίσο με .
Άρα τελικά και η απόδειξη ολοκληρώθηκε! (Μάλιστα φαίνεται ότι η ισότητα ισχύει μόνο για )
Δεύτερη αντιμετώπιση (παίρνοντας αφορμή από τη λύση του Ορέστη παραπάνω):
Το γράφεται ισοδύναμα ως:
είτε ως
είτε ως
και το ζητούμενο πλέον έπεται από την αρχή της περιστεροφωλιάς (οι "φωλιές" είναι τα διαστήματα , και τα "περιστέρια" οι αριθμοί )
Πρώτη αντιμετώπιση (είναι μπάλωμα του κενού που μου είχε επισημάνει παραπάνω ο Παύλος):
Αν οι είναι τότε δηλαδή . Όμως
και έχουμε το ζητούμενο.
Αν κάποιος απ' τους , ή είναι μικρότερος του , τότε ας υποθέσουμε χωρίς βλάβη της γενικότητας ότι .
Θέλουμε ισοδύναμα να δείξουμε ότι:
και αν δούμε το πρώτο μέλος ως δευτεροβάθμιο τριώνυμο ως προς , λαμβάνει το ελάχιστο για το οποίο είναι ίσο μετά τις πράξεις με και βλέποντάς το ως δευτεροβάθμιο τριώνυμο του (ο συντελεστής του μεγιστοβάθμιου όρου είναι θετικός λόγω της παραδοχής οπότε πράγματι παρουσιάζει ελάχιστο το εν λόγω τριώνυμο), παρουσιάζει ελάχιστο για που είναι ίσο με .
Άρα τελικά και η απόδειξη ολοκληρώθηκε! (Μάλιστα φαίνεται ότι η ισότητα ισχύει μόνο για )
Δεύτερη αντιμετώπιση (παίρνοντας αφορμή από τη λύση του Ορέστη παραπάνω):
Το γράφεται ισοδύναμα ως:
είτε ως
είτε ως
και το ζητούμενο πλέον έπεται από την αρχή της περιστεροφωλιάς (οι "φωλιές" είναι τα διαστήματα , και τα "περιστέρια" οι αριθμοί )
Αλέξανδρος Συγκελάκης
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες