Μια Απλή!

JimNt. · #1

Να βρείτε όλα τα πολυώνυμα P(x)

με πραγματικούς συντελεστές που είναι τέτοια ώστε P(x+P(y))^2-P(x-P(y))^2=4P(x)P(y)

για oποιουσδήποτε πραγματικούς x,y

. Για μαθητές.

#2

Επαναφορά (να μην ξεχαστεί)!

Γιάννης Μπόρμπας · #3

Για

έχουμε:
$\displaystyle{(P(2P(y))^2-c^2=4P(P(y))P(y)}$ όπου P(0)=c

.
Θεωρούμε ay^n

τον μεγιστοβάθμιο όρο του P(y)

και υποθέτουμε ότι $n\ge 1$ και $a\not=0$ .
Οπότε: (a(2ay^n)^n)^2=4a(ay^n)^nay^n

$a^2(2a)^{2n}y^{2n^2}=4a^{n+2}y^{n^2+n}$
Άρα: 2n^2=n^2+n

οπότε

Και

άρα

Οπότε το πολυώνυμο θα είναι της μορφής: P(x)=x+b

Αντικαθιστώντας προκύπτει η λύση $P(x)=x+b \forall x,b\in\mathbb{R}$
Αν n=0

έχουμε

για κάποιο $d\in\mathbb{R}$ και αντικαθιστώντας
προκύπτει η λύση: $P(x)=0 \forall x\in\mathbb{R}$