Re: Turkey 2016

Κατερινόπουλος Νικόλας · #1

Να βρείτε όλα τα ζεύγη (x,y)

που ικανοποιούν τις εξισώσεις:

$x^{2}+y=xy^{2} 2x^2y+y^{2}=x+y+3xy$

Κατερινόπουλος Νικόλας · #2

JimNt. · #3

Δεν είναι δύσκολη

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

harrisp · #4

Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε:Να βρείτε όλα τα ζεύγη που ικανοποιούν τις εξισώσεις:

$x^{2}+y=xy^{2} 2x^2y+y^{2}=x+y+3xy$

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Κατερινόπουλος Νικόλας · #5

ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε:
Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε:Να βρείτε όλα τα ζεύγη που ικανοποιούν τις εξισώσεις:

$x^{2}+y=xy^{2} 2x^2y+y^{2}=x+y+3xy$

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Ενα hint για την ώρα, πλήρης λύση το απογευματάκι...

Πολλαπλασίασε με την δεύτερη, αφαίρεσε! Τι παρατηρείς;

Χάρη έτσι την έλυσα! Η συνέχεια ψάχνοντας τις λύσεις, είναι δύσκολο και χρονοβόρο!

harrisp · #6

Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε:
ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε:
Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε:Να βρείτε όλα τα ζεύγη που ικανοποιούν τις εξισώσεις:

$x^{2}+y=xy^{2} 2x^2y+y^{2}=x+y+3xy$

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Ενα hint για την ώρα, πλήρης λύση το απογευματάκι...

Πολλαπλασίασε με την δεύτερη, αφαίρεσε! Τι παρατηρείς;
Κύριε Νικόλα πώς την λύσατε; Ειναι αρκετα εύκολη αν δεν κανω λαθος...
Κύριε Χάρη( ) έτσι την έλυσα! Η συνέχεια ψάχνοντας τις λύσεις, είναι δύσκολο και χρονοβόρο!

Νικόλα καταλάθος έγραψα κύριε γιατί νόμιζα εκ παραδρομής ότι απάντησε ο κ. Τσιαλας Νικολαος

Κατερινόπουλος Νικόλας · #7

ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε:
Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε:
ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε:
Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε:Να βρείτε όλα τα ζεύγη που ικανοποιούν τις εξισώσεις:

$x^{2}+y=xy^{2} 2x^2y+y^{2}=x+y+3xy$

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Ενα hint για την ώρα, πλήρης λύση το απογευματάκι...

Πολλαπλασίασε με την δεύτερη, αφαίρεσε! Τι παρατηρείς;
Χάρη έτσι την έλυσα! Η συνέχεια ψάχνοντας τις λύσεις, είναι δύσκολο και χρονοβόρο!
Νικόλα κατα λάθος έγραψα κύριε γιατί νόμιζα εκ παραδρομής ότι απάντησε ο κ. Τσιαλας Νικολαος

Never Mind!

Κατερινόπουλος Νικόλας · #8

Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε:Να βρείτε όλα τα ζεύγη που ικανοποιούν τις εξισώσεις:

$x^{2}+y=xy^{2} 2x^2y+y^{2}=x+y+3xy$

Επαναφορά!

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Κατερινόπουλος Νικόλας · #9

JimNt. έγραψε:

Ο JimNt. νομίζω εννοεί το ίδιο με το Χάρη! Να πολλαπλασιάσω τη δεύτερη με το

και να τις αφαιρέσω!

#10

Αν

τότε

και αντίστροφα συνεπώς μια λύση είναι $\boxed{(x,y) = (0,0)}$ Θα

αναζητήσω λύσεις με $x \ne 0\,\,\kappa \alpha \iota \,\,y \ne 0$ . Θέτω $y = ax\,\,,a \ne 0$ και η πρώτη δίδει :

$x + a = {a^2}{x^2}\,\,(1)$ ή $x + a = {y^2}$ . Τώρα η δεύτερη γίνεται :

$2{x^2}(ax) + x + a = x + ax + 3x(ax)$ και άρα

$2{x^3} - 3{x^2} - x + 1 = 0 \Leftrightarrow \boxed{(2x - 1)({x^2} - x - 1) = 0}$ .

Υπάρχουν «χρυσές» και άλλες λύσεις ! . κ. λ. π.

βρίσκω

ακόμα μη μηδενικές λύσεις .

Κατερινόπουλος Νικόλας · #11

Doloros έγραψε:Αν τότε και αντίστροφα συνεπώς μια λύση είναι $\boxed{(x,y) = (0,0)}$ Θα

αναζητήσω λύσεις με $x \ne 0\,\,\kappa \alpha \iota \,\,y \ne 0$ . Θέτω $y = ax\,\,,a \ne 0$ και η πρώτη δίδει :

$x + a = {a^2}{x^2}\,\,(1)$ ή $x + a = {y^2}$ . Τώρα η δεύτερη γίνεται :

$2{x^2}(ax) + x + a = x + ax + 3x(ax)$ και άρα

$2{x^3} - 3{x^2} - x + 1 = 0 \Leftrightarrow \boxed{(2x - 1)({x^2} - x - 1) = 0}$ .

Υπάρχουν «χρυσές» και άλλες λύσεις ! . κ. λ. π.

βρίσκω ακόμα μη μηδενικές λύσεις .

Κατερινόπουλος Νικόλας · #12

Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε:Να βρείτε όλα τα ζεύγη που ικανοποιούν τις εξισώσεις:

$x^{2}+y=xy^{2} 2x^2y+y^{2}=x+y+3xy$

Ας βάλω και τη λύση που είπαν τα παιδιά:

$\left. \begin{matrix} \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! x^{2}+y=xy \\ 2x^{2}y+y^{2}=x+y+3xy \end{matrix}\right\} \left.\begin{matrix} \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! x^{2}=xy^{2}-y\\ 2x^{3}y+xy^{2}=x^{2}+xy+3x^{2}y \end{matrix}\right\}$

Άρα $2x^{3}y+xy^{2}=-y+xy+3x^{2}y+xy^{2} \Rightarrow y(2x^{3}+1-x-3x^{2})=0 \Rightarrow$ $y=0 \; \; \acute{\eta } \; \; 2x^{3}-3x^{2}-x+1=0$

$\bullet$ Για y=0, x=0

Άρα, $\boxed{(x,y)=(0,0)}$

$\bullet$ Για $2x^{3}-3x^{2}-x+1=0$ (με διακρίνουσα) $x=\dfrac{1}{2}, x=-1$

Επομένως, (πράξεις) $x=\dfrac{1}{2}, x^{2}-x-1=0$

$\bullet$ Για ${x=\dfrac{1}{2}$ , $\Delta=24$

Συνεπώς $y=\dfrac{2+\sqrt{6}}{2}, y=\dfrac{2-\sqrt{6}}{2}$

Άρα, $\boxed{(x,y)=\left (\dfrac{1}{2}, \dfrac{2+\sqrt{6}}{2} \right), \left ( \dfrac{1}{2}, \dfrac{2-\sqrt{6}}{2} \right )}$

$\bullet$ Για $x^{2}-x-1=0$ , $\Delta=5$

Οπότε, $x=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}, x=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}$

$\bullet$ Για $x=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$ με διακρίνουσα $y=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}, y=-1$

Άρα, $\boxed{(x,y)=\left ( \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}, \dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \right ), \left ( \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}, -1 \right )}$

Ίδια και για $x=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}$

#13

Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε:
$\bullet$ Για $2x^{3}-3x^{2}-x+1=0$ (με διακρίνουσα) $x=\dfrac{1}{2}, x=-1$

Νικόλα, τι εννοείς "με διακρίνουσα";

Κατερινόπουλος Νικόλας · #14

Συγγνώμη, το μετέφερα πολύ γρήγορα και ίσως δεν έγινα αντιληπτός!

Συνεχίζω από εκεί:

$\bullet$ Για $2x^{3}-3x^{2}-x+1=0 \Rightarrow 2x^{3}-x^{2}-2x^{2}-x+1=0$

Έχω: $-2x^{2}-x+1=-2(x+1)(x-\dfrac{1}{2})=-(x+1)(2x-1)$

M.S.Vovos · #15

Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε:Συγγνώμη, το μετέφερα πολύ γρήγορα και ίσως δεν έγινα αντιληπτός!

Συνεχίζω από εκεί:

$\bullet$ Για $2x^{3}-3x^{2}-x+1=0 \Rightarrow 2x^{3}-x^{2}-2x^{2}-x+1=0$

Έχω: $-2x^{2}-x+1=-2(x+1)(x-\dfrac{1}{2})=-(x+1)(2x-1)$

Νικόλα, καλησπέρα!

Εύχομαι κάθε επιτυχία!

Για δες ξανά αυτά που γράφεις. Δεν είναι σωστό ότι το

είναι ρίζα.

Νομίζω ο πιο εύκολος και ταυτόχρονα γνωστός δρόμος είναι με Horner

.

Φιλικά.

Τσιαλας Νικολαος · #16

M.S.Vovos έγραψε:
Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε:Συγγνώμη, το μετέφερα πολύ γρήγορα και ίσως δεν έγινα αντιληπτός!

Συνεχίζω από εκεί:

$\bullet$ Για $2x^{3}-3x^{2}-x+1=0 \Rightarrow 2x^{3}-x^{2}-2x^{2}-x+1=0$

Έχω: $-2x^{2}-x+1=-2(x+1)(x-\dfrac{1}{2})=-(x+1)(2x-1)$
Νικόλα, καλησπέρα!

Εύχομαι κάθε επιτυχία!

Για δες ξανά αυτά που γράφεις. Δεν είναι σωστό ότι το είναι ρίζα.

Νομίζω ο πιο εύκολος και ταυτόχρονα γνωστός δρόμος είναι με .

Φιλικά.

Καλά το έχει γράψει απλά είναι "κακογραμμένο" . Το -1 ε'ιναι ρίζα της δευτεροβάθμιας και όχι της τριτοβάθμιας. Αυτό το κάναμε για να βγεί κοινός παράγοντας μετά από τις "ομάδες" το 2χ-1 μιας και παρατηρήσαμε ότι το 1/2 είναι ρίζα της τριτοβάθμιας. Γινόταν και με διαίρεση πολυωνύμων. Δυστυχώς είναι "τρεχαντίρι" στο γράψιμο του και σας μπέρδεψε όλους

!!!
Από αυτό πρέπει να πάρει μάθημα ότι,αν δεν δικιολογεί και γράφει καλά τις λύσεις του, θα μπερδεύει ακόμη και διακεκριμένους μαθηματικούς και θα χάνει τσάμπα μονάδες!!

Κατερινόπουλος Νικόλας · #17

Συγγνώμη για το μη εμφανίσιμο γράψιμο! Τη λύση δεν μπορούσα να τη διατυπώσω ακριβώς...

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#18

Εξακολουθώ να μην καταλαβαίνω και πάλι τι νόημα έχει το "με διακρίνουσα" αλλά τέλος πάντων.

Επίσης όταν γράφεις 2x^3-3x^2-x+1=0, x=-1, x=1/2

, τι μπορεί να σκεφτεί κανείς για το x=-1

και το

;

Κατερινόπουλος Νικόλας · #19

silouan έγραψε:Εξακολουθώ να μην καταλαβαίνω και πάλι τι νόημα έχει το "με διακρίνουσα" αλλά τέλος πάντων.

Επίσης όταν γράφεις , τι μπορεί να σκεφτεί κανείς για το και το ;

Το "με διακρίνουσα" ξεχάστε το. Ήταν δικό μου λάθος και σας ζητώ συγγνώμη που σας μπέρδεψα...

Κατερινόπουλος Νικόλας · #20

Θα κάνω μια τελευταία προσπάθεια:

$\bullet \Gamma \iota \alpha \; 2x^{3}-3x^{2}-x+1=0 \Rightarrow 2x^{3}-x^{2}-2x^{2}-x+1=0$

$\grave{E}x\omega\! \!: \;-2x^{2}-x+1 =0 \; \; \; \; E\delta \acute{\omega } \; \; \; \kappa \acute{\alpha} \nu \omega \; \; \; \Delta \iota \alpha \kappa \varrho \acute{\iota }\nu o\upsilon \sigma \alpha \!:$

$\grave{A}\rho \alpha\!: \Delta =(-1)^{2}-a(-2)=9 \Rightarrow x_{1,2}=-1, \dfrac{1}{2}$