Σταθερές σε ανισότητα

#1

Να βρείτε τη μέγιστη τιμή του

και την ελάχιστη τιμή του

ώστε για κάθε $x,y,z \in \Bbb{R}_{\geq 0}$ να ισχύει

$\displaystyle{a(x+y+z)^2\leq x^2+y^2+z^2+yz\leq b(x+y+z)^2.}$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

socrates έγραψε:Να βρείτε τη μέγιστη τιμή του και την ελάχιστη τιμή του ώστε για κάθε $x,y,z \in \Bbb{R}_{\geq 0}$ να ισχύει

$\displaystyle{a(x+y+z)^2\leq x^2+y^2+z^2+yz\leq b(x+y+z)^2.}$

Το

Η ανισότητα ισχύει προφανώς. Για x=1,y=z=0

έχουμε ισότητα.

$a=\dfrac{3}{7}$ (το βρήκα κλέβοντας)

Για $x=\frac{3}{7},y=z=\frac{2}{7}$ έχουμε ισότητα.

Αρκεί να αποδείξουμε ότι

$4x^{2}+4y^{2}+4z^{2}+7yz\geq 6(xy+yz+zx)$

δηλαδή $4x^{2}-2x(3(y+z))+4y^{2}+4z^{2}+yz\geq 0$

Το τριώνυμο έχει διακρίνουσα $-28(y-z)^{2}\leq 0$

οπότε ισχύει.
Μάλιστα η αριστερή ισχύει για $x,y,z\in \mathbb{R}$

Σταθερές σε ανισότητα

Σταθερές σε ανισότητα

Re: Σταθερές σε ανισότητα

Μέλη σε σύνδεση