Σημεία στην περιφέρεια κύκλου

[socrates]

Στην περιφέρεια ενός κύκλου υπάρχουν εξήντα σημεία, τριάντα από τα οποία είναι χρωματισμένα κόκκινα, είκοσι μπλε και δέκα πράσινα. Τα σημεία αυτά διαιρούν τον κύκλο σε εξήντα τόξα. Σε καθένα από αυτά τα τόξα γράφουμε έναν αριθμό, σύμφωνα με τους κανόνες:
Αν το τόξο συνδέει ένα κόκκινο και ένα πράσινο σημείο τότε γράφουμε τον αριθμό 1,
αν το τόξο συνδέει ένα κόκκινο και ένα μπλε σημείο τότε γράφουμε τον αριθμό 2,
αν το τόξο συνδέει ένα μπλε και ένα πράσινο σημείο τότε γράφουμε τον αριθμό 3 και
αν το τόξο συνδέει σημεία ίδιου χρώματος τότε γράφουμε τον αριθμό 0.
Ποια είναι η μέγιστη δυνατή τιμή του αθροίσματος των αριθμών στα τόξα;

[JimNt.]

Στην περιφέρεια ενός κύκλου υπάρχουν εξήντα σημεία, τριάντα από τα οποία είναι χρωματισμένα κόκκινα, είκοσι μπλε και δέκα πράσινα. Τα σημεία αυτά διαιρούν τον κύκλο σε εξήντα τόξα. Σε καθένα από αυτά τα τόξα γράφουμε έναν αριθμό, σύμφωνα με τους κανόνες:
Αν το τόξο συνδέει ένα κόκκινο και ένα πράσινο σημείο τότε γράφουμε τον αριθμό 1,
αν το τόξο συνδέει ένα κόκκινο και ένα μπλε σημείο τότε γράφουμε τον αριθμό 2,
αν το τόξο συνδέει ένα μπλε και ένα πράσινο σημείο τότε γράφουμε τον αριθμό 3 και
αν το τόξο συνδέει σημεία ίδιου χρώματος τότε γράφουμε τον αριθμό 0.
Ποια είναι η μέγιστη δυνατή τιμή του αθροίσματος των αριθμών στα τόξα;

, , . Τοποθετούμε τιμές σε κάθε σημείο με βάση τις αρχικές σχέσεις η οποία τιμή συνεισφέρει στο αρχικό άθροισμα μόνο αν εντάσσεται σε τόξο το οποίο ορίζεται από δυο σημεία διαφορετικού χρώματος (με εξαίρεση το που δεν αλλάζει το άθροισμα). Έτσι , , . Συνεπώς, αφού κάθε σημείο ανήκει σε δύο τόξα της δεδομένης μορφής το άθροισμα θα είναι το πολύ . Θα δείξουμε πως είναι όντως εφικτό. Μια τοποθέτηση είναι η εξής: (μέχρι το τέλος..) Έτσι μπορούμε να εγγυηθούμε ότι το άθροισμα θα είναι όντως .