Άμεσος Δράσις

#1

Για μια πιο 'άμεση' απόδειξη της ανισότητας εδώ ... προτείνω (με λύση εντός φακέλου), εμπνεόμενος από τις προχθεσινές μεθόδους μου, την εξής ανισότητα:

$\dfrac{bcd}{a+2}+\dfrac{acd}{b+2}+\dfrac{abd}{c+2}+\dfrac{abc}{d+2}\leq \dfrac{(a+b)(c+d)^2}{2(a+b+4)}+\dfrac{(a+b)^2(c+d)}{2(c+d+4)}$

... για $0\leq a\leq 1$ , $0\leq b\leq 1$ , $0\leq c\leq 1$ , $0\leq d\leq 1$ .

#2

Επαναφορά.

#3

Η πρωινή, όλως τυχαία και σύντομη, συνάντηση και συνομιλία με τον Γιώργο Τσίντσιφα μου δίνει το τελικό έναυσμα για το ανέβασμα της λύσης μου

Η προτεινόμενη (βοηθητική) ανισότητα προκύπτει λοιπόν άμεσα από την ισότητα

$\left[\dfrac{(a+b)(c+d)^2}{2(a+b+4)}+\dfrac{(a+b)^2(c+d)}{2(c+d+4)}\right]-\left[\dfrac{bcd}{a+2}+\dfrac{acd}{b+2}+\dfrac{abd}{c+2}+\dfrac{abc}{d+2}\right]=$

$=\left[\dfrac{c+d}{2(c+d+4)}-\dfrac{(a+b+2)cd}{(a+2)(b+2)(a+b+4)}\right]$ (a-b)^2

$\left[\dfrac{a+b}{2(a+b+4)}-\dfrac{(c+d+2)ab}{(c+2)(d+2)(c+d+4)}\right]$ (c-d)^2

Πράγματι η μη αρνητικότητα της παραπάνω παράστασης είναι άμεση, προκύπτουσα από τις προφανείς ανισότητες

$c+d\geq 2\sqrt{cd}$ και $a+b\geq 2\sqrt{ab},$

$\dfrac{1}{c+d+4}\geq \dfrac{1}{6}$ και $\dfrac{1}{a+b+4}\geq \dfrac{1}{6},$

$\dfrac{a+b+2}{(a+2)(b+2)(a+b+4)}\leq \dfrac{1}{8}$ και $\dfrac{c+d+2}{(c+2)(d+2)(c+d+4)}\leq \dfrac{1}{8}$

... για

,

στο

, βεβαίως.

[Πιστεύω ότι η παραγοντοποίηση που οδηγεί στην παραπάνω ισότητα μόνο τυχαία δεν είναι, και ότι με ανάλογο τρόπο θα μπορούσαν να προκύψουν πολλές άλλες ανισότητες τεσσάρων μεταβλητών.]

Άμεσος Δράσις

Άμεσος Δράσις

Re: Άμεσος Δράσις

Re: Άμεσος Δράσις

Μέλη σε σύνδεση