Ανισότητα
Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan
- Διονύσιος Αδαμόπουλος
- Δημοσιεύσεις: 807
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
- Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Ανισότητα
Γεια σου Διονύση!
Η ανισότητα γράφεται (1).
Παρατηρούμε ότι και .
Έτσι, η (1) ξαναγράφεται (2).
Αρκεί λοιπόν να δείξουμε την (2).
Είναι
Επίσης, .
Αντικαθιστώντας τα παρακάτω αθροίσματα στην (2) παίρνουμε
, που ισχύει.
Η ισότητα αν .
Η ανισότητα γράφεται (1).
Παρατηρούμε ότι και .
Έτσι, η (1) ξαναγράφεται (2).
Αρκεί λοιπόν να δείξουμε την (2).
Είναι
Επίσης, .
Αντικαθιστώντας τα παρακάτω αθροίσματα στην (2) παίρνουμε
, που ισχύει.
Η ισότητα αν .
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
Re: Ανισότητα
Εναλλακτικά, με απαλοιφή παρονομαστών και λίγες πράξεις (η συμμετρία βοηθάει πολύ) η ανισότητα μετατρέπεται απευθείας στην ισοδύναμη .
Δημήτρης Σκουτέρης
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Re: Ανισότητα
Και μία λύση εκτός φακέλου που αποφεύγει τις πράξεις.
Ισχύει ότι από όπου βγάζουμε ότι .
Θέτουμε τώρα και .
Τότε παίρνουμε .
Παίρνοντας το ολοκλήρωμα από 0 μέχρι 1 στην τελευταία, παίρνουμε τη ζητούμενη ανισότητα.
Ισχύει ότι από όπου βγάζουμε ότι .
Θέτουμε τώρα και .
Τότε παίρνουμε .
Παίρνοντας το ολοκλήρωμα από 0 μέχρι 1 στην τελευταία, παίρνουμε τη ζητούμενη ανισότητα.
Σιλουανός Μπραζιτίκος
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 5 επισκέπτες