- Ζεύγη ίσων τετραγώνων.jpg (11.01 KiB) Προβλήθηκε 915 φορές
Τεμαχισμός τετραγώνου
Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 1513
- Εγγραφή: Παρ Ιαν 30, 2009 1:45 pm
- Τοποθεσία: Πειραιάς
- Επικοινωνία:
Τεμαχισμός τετραγώνου
Το μεγάλο τετράγωνο του παραπάνω σχήματος έχει χωρισθεί σε τετράγωνα με ακέραιο μήκος πλευρών. Κάθε μικρότερο τετράγωνο εμφανίζεται ακριβώς δύο φορές. Γνωρίζουμε ακόμα ότι το γραμμοσκιασμένο τετράγωνο έχει πλευρά 10. Βρείτε την πλευρά του μεγάλου τετραγώνου.
Στάλα τη στάλα το νερό το μάρμαρο τρυπά το,
εκείνο που μισεί κανείς γυρίζει κι αγαπά το.
εκείνο που μισεί κανείς γυρίζει κι αγαπά το.
Λέξεις Κλειδιά:
- Μιχάλης Νάννος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3531
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
- Τοποθεσία: Σαλαμίνα
- Επικοινωνία:
Re: Τεμαχισμός τετραγώνου
Φοβερή άσκηση Παύλο! Θέτουμε με τα μήκη των ακέραιων πλευρών των εσωτερικών τετραγώνων κατά αύξουσα σειρά.Παύλος Μαραγκουδάκης έγραψε: ↑Κυρ Οκτ 22, 2017 9:34 pm
Το μεγάλο τετράγωνο του παραπάνω σχήματος έχει χωρισθεί σε τετράγωνα με ακέραιο μήκος πλευρών. Κάθε μικρότερο τετράγωνο εμφανίζεται ακριβώς δύο φορές. Γνωρίζουμε ακόμα ότι το γραμμοσκιασμένο τετράγωνο έχει πλευρά 10. Βρείτε την πλευρά του μεγάλου τετραγώνου.
Από το σχήμα έχουμε
Από
Από
Το μόνο ζεύγος ακεραίων που ικανοποιεί την παραπάνω εξίσωση είναι το , γιατί αλλιώς θα έχουμε πρόβλημα με τη διάταξη (π.χ. ) ή οι πλευρές θα ξεπερνάνε το
Έτσι, και με την ίδια λογική συστήματος εξισώσεων βρίσκουμε και τις υπόλοιπες τιμές που αναγράφονται στο σχήμα.
Η πλευρά του μεγάλου τετραγώνου προκύπτει τελικά
«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
- Γιώργος Ρίζος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5283
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
- Τοποθεσία: Κέρκυρα
Re: Τεμαχισμός τετραγώνου
Καλησπέρα σε όλους. Δίνω μια διαφορετική λύση στο όμορφο πρόβλημα του Παύλου, χρησιμοποιώντας και επίλυση Διοφαντικής εξίσωσης.
Ξεκινώ από το μικρό ορθογώνιο που έχει πλευρές , με θετικό ακέραιο και το επόμενο (σε μέγεθος) που έχει διαστάσεις με με θετικό ακέραιο, .
Διαδοχικά συμπληρώνω τις διαστάσεις των άλλων ορθογωνίων:
Το τρίτο έχει διαστάσεις , το τέταρτο , οπότε το έκτο έχει διαστάσεις .
Οπότε έχουμε τη διοφαντική εξίσωση , με .
Έχει μια λύση .
Επειδή ο μέγιστος κοινός διαιρέτης των είναι , η εξίσωση έχει άπειρες λύσεις που δίνονται από τους τύπους
, ακέραιος.
Αφού θέλουμε να είναι , θα είναι , που δίνει μοναδική λύση .
Οπότε .
Εύκολα συμπληρώνουμε τα υπόλοιπα:
Ξεκινώ από το μικρό ορθογώνιο που έχει πλευρές , με θετικό ακέραιο και το επόμενο (σε μέγεθος) που έχει διαστάσεις με με θετικό ακέραιο, .
Διαδοχικά συμπληρώνω τις διαστάσεις των άλλων ορθογωνίων:
Το τρίτο έχει διαστάσεις , το τέταρτο , οπότε το έκτο έχει διαστάσεις .
Οπότε έχουμε τη διοφαντική εξίσωση , με .
Έχει μια λύση .
Επειδή ο μέγιστος κοινός διαιρέτης των είναι , η εξίσωση έχει άπειρες λύσεις που δίνονται από τους τύπους
, ακέραιος.
Αφού θέλουμε να είναι , θα είναι , που δίνει μοναδική λύση .
Οπότε .
Εύκολα συμπληρώνουμε τα υπόλοιπα:
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες