Γινόμενο το πολύ 1/4

#1

Έστω

πραγματικοί αριθμοί στο διάστημα (0,1)

.

Δείξτε ότι τουλάχιστον ένα από τα γινόμενα $a(1-b), \, b(1-c), \, c(1-a)$ είναι μικρότερο ή ίσο του $\dfrac {1}{4}$ .

Ας την αφήσουμε

ώρες στους μαθητές μας.

Ορέστης Λιγνός · #2

Έστω $x=a(1-b), \, y=b(1-c), \, z=c(1-a)$ .

Τότε, xyz=a(1-a)b(1-b)c(1-c)

.

Όμως,από AM-GM ισχύει : $a(1-a) \leqslant (\dfrac{a+1-a}{2})^2=\dfrac{1}{4}$ , και όμοια για τα b,c

.
Άρα, $xyz\leqslant \dfrac{1}{64}$ (1).

Έστω ότι $x,y,z > \dfrac{1}{4}$ .

Τότε, $xyz>\dfrac{1}{64}$ , άτοπο από (1).

Άρα, τουλάχιστον ένας εκ των x,y,z

είναι μικρότερος ή ίσος του $\dfrac{1}{4}$ .

#3

Αν $a \leqslant b$ , τότε $\displaystyle a(1-b) \leqslant b(1-b) \leqslant \frac{1}{4}.$

Μπορώ λοιπόν να υποθέσω ότι b > a

. Ομοίως μπορώ να υποθέσω ότι c > b

και

. Αυτό όμως είναι άτοπο.

Γινόμενο το πολύ 1/4

Γινόμενο το πολύ 1/4

Re: Γινόμενο το πολύ 1/4

Re: Γινόμενο το πολύ 1/4

Μέλη σε σύνδεση