Πόσα 1 και 0;
Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan
-
- Δημοσιεύσεις: 659
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 05, 2017 3:24 pm
- Τοποθεσία: Καλαμάτα, Μεσσηνία
Πόσα 1 και 0;
Βρήκα μια ωραία άσκηση και είπα να την μοιραστώ!
Δίνεται αριθμός με μηδενικά που είναι γραμμένος ως , στον οποίο το και το εναλλάσσονται. Αποδείξτε ότι αυτός ο αριθμός δεν είναι πρώτος.
Δίνεται αριθμός με μηδενικά που είναι γραμμένος ως , στον οποίο το και το εναλλάσσονται. Αποδείξτε ότι αυτός ο αριθμός δεν είναι πρώτος.
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15741
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Πόσα 1 και 0;
.Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε: ↑Παρ Ιαν 12, 2018 4:32 pmΔίνεται αριθμός με μηδενικά που είναι γραμμένος ως , στον οποίο το και το εναλλάσσονται. Αποδείξτε ότι αυτός ο αριθμός δεν είναι πρώτος.
Ο αριθμός αυτός των ψηφίων, γράφεται ως .
Ως γεωμετρική πρόοδος ισούται με . Θα δούμε ότι και τα δύο κλάσματα είναι, τελικά, ακέραιοι, οπότε ο αριθμός είναι σύνθετος. Προχωράμε με δύο τρόπους, ο καθένας με τα πλεονεκτήματά του:
α) Το πρώτο κλάσμα γράφεται . Το δεύτερο είναι επίσης ακέραιος από το κριτήριο διαιρετότητας του (έχει έναν άσσο σε άρτια θέση και έναν σε περιττή).
β) Αλλιώς, πάλι από γεωμετρικές προόδους, είναι και
, πάντως ακέραιοι και οι δύο.
Σχολιάζω ότι η απόδειξη γενικεύεται για όλους τους αριθμούς της παραπάνω μορφής αλλά με ψηφία στην θέση των του δοθέντος.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15741
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Πόσα 1 και 0;
Ας τα γενικεύσουμε.
Θα δούμε ότι όλοι οι αριθμοί της μορφής είναι σύνθετοι, εκτός του . Για αριθμούς με ψηφία, ουσιαστικά το είδαμε στο προηγούμενο ποστ. Για αριθμούς με θα δείξουμε ότι είναι όλοι πολλαπάσια του .
Ακόμα καλύτερα, θα δούμε ότι όλα τα πολυώνυμα της μορφής παραγοντοποιούνται ως γινόμενο δύο ακέραιων πολυωνύμων βαθμού . Για έχουμε τα παραπάνω.
α) Για άρτιος, , έχουμε
β) Για περιττός, , έχουμε
(άλλος τρόπος: εύκολα βλέπουμε ότι το αριστερό μέλος μηδενίζεται για , άρα έχει παράγοντα τον και λοιπά).
Θα δούμε ότι όλοι οι αριθμοί της μορφής είναι σύνθετοι, εκτός του . Για αριθμούς με ψηφία, ουσιαστικά το είδαμε στο προηγούμενο ποστ. Για αριθμούς με θα δείξουμε ότι είναι όλοι πολλαπάσια του .
Ακόμα καλύτερα, θα δούμε ότι όλα τα πολυώνυμα της μορφής παραγοντοποιούνται ως γινόμενο δύο ακέραιων πολυωνύμων βαθμού . Για έχουμε τα παραπάνω.
α) Για άρτιος, , έχουμε
β) Για περιττός, , έχουμε
(άλλος τρόπος: εύκολα βλέπουμε ότι το αριστερό μέλος μηδενίζεται για , άρα έχει παράγοντα τον και λοιπά).
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης