1η ΔΜΟ Ρουμανία

panagiotis iliopoulos · #1

Να λυθούν οι εξισώσεις: $\sqrt{x+\sqrt{2x-1}}+\sqrt{x-\sqrt{2x-1}}=\sqrt{2}$
$\sqrt{x+\sqrt{2x-1}}+\sqrt{x-\sqrt{2x-1}}=1$
$\sqrt{x+\sqrt{2x-1}}+\sqrt{x-\sqrt{2x-1}}=2$

#2

panagiotis iliopoulos έγραψε: ↑
Παρ Μαρ 09, 2018 6:22 am
Να λυθούν οι εξισώσεις: $\sqrt{x+\sqrt{2x-1}}+\sqrt{x-\sqrt{2x-1}}=\sqrt{2}$

$\sqrt{x+\sqrt{2x-1}}+\sqrt{x-\sqrt{2x-1}}=1$

$\sqrt{x+\sqrt{2x-1}}+\sqrt{x-\sqrt{2x-1}}=2$

Για $\displaystyle x \ge \frac{1}{2}$ η πρώτη εξίσωση γράφεται:

$\displaystyle \sqrt {\frac{{{{(1 + \sqrt {2x - 1} )}^2}}}{2}} + \sqrt {\frac{{{{(1 - \sqrt {2x - 1} )}^2}}}{2}} = \sqrt 2 \Leftrightarrow 1 + \sqrt {2x - 1} + |1 - \sqrt {2x - 1} | = 2$

Αν $x\le 1,$ τότε καταλήγουμε σε ταυτότητα, ενώ αν x>1

βρίσκουμε

που είναι άτοπο. Άρα τελικά, $\boxed{\frac{1}{2}\le x\le 1}$

Ακολουθώντας την ίδια διαδικασία, βρίσκουμε ότι η $\sqrt{x+\sqrt{2x-1}}+\sqrt{x-\sqrt{2x-1}}=1$ είναι αδύνατη,

ενώ η $\sqrt{x+\sqrt{2x-1}}+\sqrt{x-\sqrt{2x-1}}=2$ έχει μία λύση $\boxed{x=\frac{3}{2}}$

1η ΔΜΟ Ρουμανία

1η ΔΜΟ Ρουμανία

Re: 1η ΔΜΟ Ρουμανία

Μέλη σε σύνδεση