Σύστημα

#1

Να λυθεί το σύστημα:

$\displaystyle{(x+2)(x^2 +4y^2)=-5x}$

$\displaystyle{(y-4)(x^2 +4y^2)=-20y}$

Ορέστης Λιγνός · #2

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε: ↑
Σάβ Μαρ 05, 2022 1:42 pm
Να λυθεί το σύστημα:

$\displaystyle{(x+2)(x^2 +4y^2)=-5x}$

$\displaystyle{(y-4)(x^2 +4y^2)=-20y}$

Καλησπέρα κ. Δημήτρη.

Αρχικά, αν x=0

, τότε από την πρώτη σχέση y=0

, ενώ αν

, από την δεύτερη σχέση χ=0

. Άρα η

είναι μια λύση του συστήματος. Έστω τώρα $x,y \neq 0$ .

Οι δύο δοσμένες σχέσεις γράφονται (είναι προφανές ότι $x+2 \neq 0$ και $y-4 \neq 0$ )

$x^2+4y^2=\dfrac{-5x}{x+2}$ και

$x^2+4y^2=\dfrac{-20y}{y-4}$ .

Αφού τα αριστερά μέλη και των δύο σχέσεων είναι θετικά, πρέπει να ισχύουν

$\dfrac{-5x}{x+2}>0$ και $\dfrac{-20y}{y-4}>0$ , ήτοι -2 < x <0

και

. Έστω,

$a=-x, \, b=y$ , οπότε έχουμε ότι

0<a<2

και

,

και προκύπτει ότι

$\dfrac{5a}{2-a}=\dfrac{20b}{4-b}=a^2+4b^2$ .

Άρα, είναι

$4b^2=\dfrac{5a}{2-a}-a^2=\dfrac{a}{2-a} \cdot (a^2-2a+5)=\dfrac{a}{2-a} \cdot ((a-1)^2+4) \geq \dfrac{4a}{2-a}$

και

$a^2=\dfrac{20b}{4-b}-4b^2=\dfrac{4b}{4-b} \cdot (b^2-4b+5)=\dfrac{4b}{4-b} \cdot ((b-2)^2+1) \geq \dfrac{4b}{4-b}$

Πολλαπλασιάζοντας τις

$4b^2 \geq \dfrac{4a}{2-a}$

και

$a^2 \geq \dfrac{4b}{4-b}$

κατά μέλη, προκύπτει ότι

$4a^2b^2 \geq \dfrac{16ab}{(2-a)(4-b)},$

άρα $ab(2-a)(4-b) \geq 4$ . Όμως, από την ΑΜ-ΓΜ είναι

$4 \leq ab(2-a)(4-b)=a(2-a) \cdot b(4-b) \leq \dfrac{2^2}{4} \cdot \dfrac{4^2}{4}=4,$

άρα έχουμε ισότητα, συνεπώς a=1

και

.

Τελικά, x=-1

και

, που όμως δεν επαληθεύει τις αρχικές εξισώσεις.

Συνεπώς, μοναδική λύση η μηδενική, δηλαδή η (x,y)=(0,0)

.

#3

Μετά τον Ορέστη, που έχει απίστευτη ικανότητα να αντιμετωπίζει δύσκολες ασκήσεις, γράφω και έναν ακόμα τρόπο (τον οποίο ίσως δεν θα
μπορούσα να σκεφτώ, αν δεν κατασκεύαζα την άσκηση γνωρίζοντας την μέθοδο κατασκευής της)

Το σύστημα γράφεται:(με την προϋπόθεση ότι $\displaystyle{x,y \neq 0}$ )

$\displaystyle{\frac{5}{x^2 +4y^2}=\frac{-x-2}{x}}$

$\displaystyle{\frac{20}{x^2 +4y^2}=\frac{-y+4}{y}}$

Και άρα:

$\displaystyle{\frac{5}{x^2 +4y^2}=\frac{x(-x-2)}{x^2}}$

$\displaystyle{\frac{5}{x^2 +4y^2}=\frac{y(-y+4)}{4y^2}}$

Άρα: $\displaystyle{\frac{5}{x^2+4y^2}=\frac{-x^2 -2x}{x^2}=\frac{-y^2 +4y}{4y^2}=\frac{-x^2 -2x-y^2+4y}{x^2 +4y^2}}$

Πρέπει λοιπόν να είναι: $\displaystyle{-x^2 -2x-y^2 +4y =5}$ , δηλαδή: $\displaystyle{x^2 +2x+y^2 -4y +1+4 =0}$ , ή

$\displaystyle{(x+1)^2 +(y-2)^2 =0}$ , οπότε πρέπει $\displaystyle{x=-1 , y=2}$ . Οι τιμές όμως αυτές δεν επαληθεύουν το δοσμένο σύστημα και άρα απορρίπτονται.

Εύκολα τώρα διαπιστώνουμε ότι αν $\displaystyle{x=0}$ , ή $\displaystyle{y=0}$ , έχουμε την μοναδική λύση του συστήματος $\displaystyle{(x,y)=(0,0)}$

Σύστημα

Σύστημα

Re: Σύστημα

Re: Σύστημα

Μέλη σε σύνδεση