Δυνατές τιμές αθροίσματος

#1

Υποθέτουμε ότι οι διαφορετικοί ανά δύο πραγματικοί αριθμοί a, b, c, d

ικανοποιούν τις σχέσεις
$\displaystyle{(a^2 + b^2 − 1)(a + b) = (b^2 + c^2 − 1)(b + c) = (c^2 + d^2 − 1)(c + d).}$
Προσδιορίστε όλες τις δυνατές τιμές του αθροίσματος a + b + c + d.

vgreco · #2

socrates έγραψε: ↑
Πέμ Σεπ 01, 2022 8:11 pm
Υποθέτουμε ότι οι διαφορετικοί ανά δύο πραγματικοί αριθμοί ικανοποιούν τις σχέσεις
$\displaystyle{(a^2 + b^2 − 1)(a + b) = (b^2 + c^2 − 1)(b + c) = (c^2 + d^2 − 1)(c + d).}$
Προσδιορίστε όλες τις δυνατές τιμές του αθροίσματος

Κάνω πράξεις ισοδύναμα στα πρώτα δύο μέλη:

$\begin{aligned} (a^2 + b^2 - 1)(a + b) = (b^2 + c^2 - 1)(b + c) \Leftrightarrow \cdots &\Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow (a-c)(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca-1)=0 &\Leftrightarrow \\ \overset{\large a \neq c}{\iff} a^2 + b^2 + c^2 + ab + bc + ca = 1 \end{aligned}$

Εντελώς όμοια, από τα δύο τελευταία μέλη:

$\displaystyle{b^2 + c^2 + d^2 + bc + cd + db = 1}$

Από τις παραπάνω σχέσεις, προκύπτει:

$\displaystyle{ \begin{aligned} a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca=b^2+c^2+d^2+bc+cd+da \Leftrightarrow \cdots &\Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow (a+b+c+d)(a-d)=0 &\Leftrightarrow \\ \overset{\large a \neq d}{\iff} \boxed {a+b+c+d = 0} \end{aligned} }$

#3

Δυνατές τιμές αθροίσματος

Δυνατές τιμές αθροίσματος

Re: Δυνατές τιμές αθροίσματος

Re: Δυνατές τιμές αθροίσματος

Μέλη σε σύνδεση