Μία η εξίσωση, δύο οι μεταβλητές, μία η λύση

#1

Να λυθεί η εξίσωση (4x^2-4x+11)(9y^2-6y+11)=100

.

#2

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Κυρ Αύγ 20, 2023 1:53 am
Να λυθεί η εξίσωση .

Η εξίσωση γράφεται: $\left( {{{\left( {2x - 1} \right)}^2} + 10} \right)\left( {{{\left( {3y - 1} \right)}^2} + 10} \right) = 100$ . Θέτω $2x - 1 = a\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,3y - 1 = b$ και γράφεται :

$\left( {{a^2} + 10} \right)\left( {{b^2} + 10} \right) = 100 \Leftrightarrow {a^2}{b^2} + 10\left( {{a^2} + {b^2}} \right) = 0$ .

Επειδή : ${a^2}{b^2} + 10\left( {{a^2} + {b^2}} \right) \geqslant 0$ ,αναγκαστικά τώρα : $a = b = 0 \Rightarrow \boxed{x = \frac{1}{2}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,y = \frac{1}{3}}$

#3

Μικρή, απειροελάχιστη, παραλλαγή της λύσης:

Είναι

$100 = \left( {{{\left( {2x - 1} \right)}^2} + 10} \right)\left( {{{\left( {3y - 1} \right)}^2} + 10} \right) \ge 10 \cdot 10 = 100$ , με ισότητα αν και μόνον αν $2x - 1 = 0\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,3y - 1 = 0$ .

Δηλαδή $x = \frac{1}{2}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,y = \frac{1}{3}}$ .

S.E.Louridas · #4

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Κυρ Αύγ 20, 2023 1:53 am
Να λυθεί η εξίσωση .

Μόνο και μόνο για λόγους πολυφωνίας.

Άμεσα βλέπουμε ότι οι «μέσα» παραστάσεις τριώνυμα είναι θετικές. Είναι καθαρό ότι δεν μπορεί και οι δύο να είναι μεγαλύτερες του

ή και οι δύο μικρότερες του

(Παίρνουμε ως κοινή βάση σύγκρισης το

επειδή ισχύει 100=10^2

).
Έστω λοιπόν ότι έχουμε: $4{x^2} - 4x + 11 \leqslant 10 \Leftrightarrow 4{x^2} - 4x + 1 \leqslant 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2},$ οπότε από την αρχική άμεσα παίρνουμε $y = \frac{1}{3}.$
Ομοίως εργαζόμαστε και αν υποθέσουμε ότι $9{y^2} – 6y + 11 \leqslant 10.$

Μία η εξίσωση, δύο οι μεταβλητές, μία η λύση

Μία η εξίσωση, δύο οι μεταβλητές, μία η λύση

Re: Μία η εξίσωση, δύο οι μεταβλητές, μία η λύση

Re: Μία η εξίσωση, δύο οι μεταβλητές, μία η λύση

Re: Μία η εξίσωση, δύο οι μεταβλητές, μία η λύση

Μέλη σε σύνδεση