Σταθερότητα λόγου

#1

: Σταθερότητα λογου..png (11.52 KiB) Προβλήθηκε 916 φορές

Δίνεται ορθογώνιο ABCD

με

και έστω

τυχαίο σημείο της πλευράς

. Από την κορυφή

φέρνουμε

κάθετη στην

που τέμνει την προέκταση της

στο

. Αν η

τέμνει την

στο

, να δείξετε ότι ο λόγος $\displaystyle{\frac{{LM}}{{MK}}}$ είναι

σταθερός, ανεξάρτητος της θέσης του σημείου

και να βρεθεί η τιμή του.

#2

george visvikis έγραψε:Σταθερότητα λογου..png
Δίνεται ορθογώνιο με και έστω τυχαίο σημείο της πλευράς . Από την κορυφή φέρνουμε κάθετη στην που τέμνει την προέκταση της στο . Αν η τέμνει την στο , να δείξετε ότι ο λόγος $\displaystyle{\frac{{LM}}{{MK}}}$ είναι σταθερός, ανεξάρτητος της θέσης του σημείου και να βρεθεί η τιμή του.

: Σταθερότητα λόγου..png (34.63 KiB) Προβλήθηκε 886 φορές

Είναι ομοκυκλικά $\left( \angle LAK=\angle LCK={{90}^{0}} \right)$ οπότε $\angle CKM \equiv \angle CKL = \angle CAL \equiv \angle CAD$ $\mathop = \limits^{ABCD\,\,o\rho \theta o\gamma \omega \nu \iota o} \angle CBD \equiv \angle CBM \Rightarrow BCMK$

εγγράψιμο σε κύκλο και με $\angle CB \bot KB \Rightarrow \angle CM \bot KM$ $\mathop \Rightarrow \limits^{\vartriangle KCL\,\,o\rho \theta o\gamma \omega \nu \iota o\,\,\sigma \tau o\,\,C} \dfrac{{LM}}{{KM}} = \dfrac{{C{L^2}}}{{C{K^2}}} = {\left( {\dfrac{{CL}}{{CK}}} \right)^2}$ $\mathop = \limits^{\vartriangle KCK \sim \vartriangle BAC} {\left( {\dfrac{{AB}}{{CB}}} \right)^2} = \dfrac{{{a^2}}}{{{b^2}}} = ct$

και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Στάθης

big-pitsirikos · #3

Το

ανήκει στον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου LAK

, και $CD \perp LA, CB \perp AK$ . Άρα η

είναι η ευθεία Simson του σημείου

. Έτσι, $CM \perp KL$ .

Στο τρίγωνο LCK

, πρέπει $\dfrac{LM}{MK}=(\dfrac{LC}{CK})^2$ (1).

Από τα όμοια LDC,CKB

παίρνουμε $\dfrac{LC}{CK}=\dfrac{CD}{BC}$ , και από την (1), $\dfrac{LM}{MK}=(\dfrac{CD}{BC})^2$ , που είναι σταθερό.

#4

big-pitsirikos έγραψε:Το ανήκει στον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου , και $CD \perp LA, CB \perp AK$ . Άρα η είναι η ευθεία Simson του σημείου . Έτσι, $CM \perp KL$ .
...

STOPJOHN · #5

george visvikis έγραψε:Σταθερότητα λογου..png
Δίνεται ορθογώνιο με και έστω τυχαίο σημείο της πλευράς . Από την κορυφή φέρνουμε

κάθετη στην που τέμνει την προέκταση της στο . Αν η τέμνει την στο , να δείξετε ότι ο λόγος $\displaystyle{\frac{{LM}}{{MK}}}$ είναι

σταθερός, ανεξάρτητος της θέσης του σημείου και να βρεθεί η τιμή του.

Kαλησπέρα τα τρίγωνα CKB,LDS

είναι όμοια γιατί $\hat{LSD}=\hat{KCB}$ και είναι ορθογώνια άρα $\dfrac{LD}{KB}=\dfrac{a}{b},(*)$

Στο τρίγωνο LAK

με τέμνουσα $BMD,\dfrac{LM}{MK}=\dfrac{a}{b}\dfrac{LD}{BK},(**), (*),(**)\Rightarrow \dfrac{LM}{MK}=\dfrac{a^{2}}{b^{2}}$
Χρησιμοποιήθηκε το θεώρημα του Μενελάου στην τελευταία σχέση

Γιάννης

#6

big-pitsirikos έγραψε:Το ανήκει στον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου , και $CD \perp LA, CB \perp AK$ . Άρα η είναι η ευθεία Simson του σημείου . Έτσι, $CM \perp KL$ ...

H λέξη Simson τα λέει όλα

Σταθερότητα λόγου

Σταθερότητα λόγου

Re: Σταθερότητα λόγου

Re: Σταθερότητα λόγου

Re: Σταθερότητα λόγου

Re: Σταθερότητα λόγου

Re: Σταθερότητα λόγου

Μέλη σε σύνδεση