Μοναδικό σημείο

KARKAR · #1

: Μοναδικό σημείο.png (7.59 KiB) Προβλήθηκε 965 φορές

Στο εσωτερικό τριγώνου $\displaystyle ABC$ εντοπίστε σημείο

, ώστε : $(SBC)=\dfrac{1}{4}(ABC)$ και

επιπλέον , αν οι BS,CS

τέμνουν τις AC , AB

στα

, να είναι : $DE \parallel BC$ .

#2

Έστω ευθεία $(\varepsilon )$ (κόκκινη στο σχήμα) παράλληλη στη

σε απόσταση απ’ αυτή

το $\frac{1}{4}$ του αντιστοίχου ύψους ${h_a}$ και

το μέσο του

. Η τομή της $(\varepsilon )$ με την

έστω

είναι αυτό που θέλω.

: Μοναδικό σημείο.png (19.78 KiB) Προβλήθηκε 950 φορές

Απόδειξη :

$(SBC) = \dfrac{1}{4}(ABC)$ προφανές

Στο $\vartriangle AMC$ με διατέμνουσα $\overline {BSE}$ και Θ. Μενέλαου έχω :

$\dfrac{{AS}}{{SM}} \cdot \dfrac{{MB}}{{BC}} \cdot \dfrac{{CE}}{{EA}} = 1 \Rightarrow 3 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{{CE}}{{EA}} = 1 \Rightarrow \boxed{\dfrac{{CE}}{{EA}} = \dfrac{2}{3}}$ . Κάνω την ίδια δουλειά στο $\vartriangle AMB$

με διατέμνουσα $\overline {CSD}$ και βρίσκω $\boxed{\dfrac{{DB}}{{DA}} = \dfrac{2}{3}}$ και άρα DE//BC

.

Μοναδικό σημείο

Μοναδικό σημείο

Re: Μοναδικό σημείο

Μέλη σε σύνδεση