Κατασκευή ευθείας

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5648
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Κατασκευή ευθείας

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #1 από george visvikis » Δευ Μαρ 20, 2017 8:00 pm

Κατασκευή ευθείας.png
Κατασκευή ευθείας.png (12.5 KiB) Προβλήθηκε 815 φορές

Να κατασκευάσετε ευθεία που να διέρχεται από ένα σημείο S της πλευράς BC τετραγώνου ABCD και να τέμνει

την πλευρά AB στο P και την προέκταση της DC στο Q, έτσι ώστε: PQ=AP+CQ



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3688
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Κατασκευή ευθείας

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #2 από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Τρί Μαρ 21, 2017 8:02 pm

george visvikis έγραψε:Κατασκευή ευθείας.png
Να κατασκευάσετε ευθεία που να διέρχεται από ένα σημείο S της πλευράς BC τετραγώνου ABCD και να τέμνει

την πλευρά AB στο P και την προέκταση της DC στο Q, έτσι ώστε: PQ=AP+CQ


Απίθανη κατασκευή!!!!!!!!!.......
:clap2:

Θα επανέλνθω μόλις βγούν οι κουκουβάγιες :lol:

Στάθης


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 559
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Κατασκευή ευθείας

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #3 από Al.Koutsouridis » Τρί Μαρ 21, 2017 9:20 pm

george visvikis έγραψε:Κατασκευή ευθείας.png
Να κατασκευάσετε ευθεία που να διέρχεται από ένα σημείο S της πλευράς BC τετραγώνου ABCD και να τέμνει

την πλευρά AB στο P και την προέκταση της DC στο Q, έτσι ώστε: PQ=AP+CQ


Καλησπέρα,
kataskeuh_eutheias.png
kataskeuh_eutheias.png (48.26 KiB) Προβλήθηκε 754 φορές


Έστω O το κέντρο του τετραγώνου. Κατασκευάζουμε τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγωνου OSC και ας είναι T το δεύτερο σημείο τομής του με την CD. Από το σημείο O φέρουμε την μεσοκάθετο στο τμήμα ST και ας είναι Q το σημείο τομής της με την ευθεία CD.

Από το σημείο O φέρουμε την παράλληλη προς την ST που είναι και εφαπτόμενη του παραπάνω κύκλου και ας είναι P,R τα σημεία τομής της με τα τμήματα AB , CD αντίστοιχα.

Παρατηρούμε οτι τα σημεία P,R και S,T είναι συμμετρικά ως προς την ευθεία OQ και από την στιγμή που R,T,Q συνευθειακά, θα είναι συνευθειακά και τα P,S,Q.

Η PQ είναι η ζητούμενη ευθεία αφού CR = AP \Rightarrow QR = AP+CQ και QR = QP.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5055
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Κατασκευή ευθείας

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #4 από Doloros » Τρί Μαρ 21, 2017 10:07 pm

Al.Koutsouridis έγραψε:
george visvikis έγραψε:Κατασκευή ευθείας.png
Να κατασκευάσετε ευθεία που να διέρχεται από ένα σημείο S της πλευράς BC τετραγώνου ABCD και να τέμνει

την πλευρά AB στο P και την προέκταση της DC στο Q, έτσι ώστε: PQ=AP+CQ


Καλησπέρα,
kataskeuh_eutheias.png

Έστω O το κέντρο του τετραγώνου. Κατασκευάζουμε τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγωνου OSC και ας είναι T το δεύτερο σημείο τομής του με την CD. Από το σημείο O φέρουμε την μεσοκάθετο στο τμήμα ST και ας είναι Q το σημείο τομής της με την ευθεία CD.

Από το σημείο O φέρουμε την παράλληλη προς την ST που είναι και εφαπτόμενη του παραπάνω κύκλου και ας είναι P,R τα σημεία τομής της με τα τμήματα AB , CD αντίστοιχα.

Παρατηρούμε οτι τα σημεία P,R και S,T είναι συμμετρικά ως προς την ευθεία OQ και από την στιγμή που R,T,Q συνευθειακά, θα είναι συνευθειακά και τα P,S,Q.

Η PQ είναι η ζητούμενη ευθεία αφού CR = AP \Rightarrow QR = AP+CQ και QR = QP.


Την έλυσα υπολογίζοντας το \boxed{PB = \frac{{2BS - 1}}{{2(BS - 1)}}} , AB > BS > 1.

Αλλά η λύση του AL. Koutsouridis είναι υπέροχη :coolspeak: .


Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3688
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Κατασκευή ευθείας

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #5 από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Τρί Μαρ 21, 2017 10:14 pm

Al.Koutsouridis έγραψε:
george visvikis έγραψε:Κατασκευή ευθείας.png
Να κατασκευάσετε ευθεία που να διέρχεται από ένα σημείο S της πλευράς BC τετραγώνου ABCD και να τέμνει

την πλευρά AB στο P και την προέκταση της DC στο Q, έτσι ώστε: PQ=AP+CQ


Καλησπέρα,
kataskeuh_eutheias.png

Έστω O το κέντρο του τετραγώνου. Κατασκευάζουμε τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγωνου OSC και ας είναι T το δεύτερο σημείο τομής του με την CD. Από το σημείο O φέρουμε την μεσοκάθετο στο τμήμα ST και ας είναι Q το σημείο τομής της με την ευθεία CD.

Από το σημείο O φέρουμε την παράλληλη προς την ST που είναι και εφαπτόμενη του παραπάνω κύκλου και ας είναι P,R τα σημεία τομής της με τα τμήματα AB , CD αντίστοιχα.

Παρατηρούμε οτι τα σημεία P,R και S,T είναι συμμετρικά ως προς την ευθεία OQ και από την στιγμή που R,T,Q συνευθειακά, θα είναι συνευθειακά και τα P,S,Q.

Η PQ είναι η ζητούμενη ευθεία αφού CR = AP \Rightarrow QR = AP+CQ και QR = QP.


Μπράβο Αλέξανδρε! :10sta10: . Αυτή ήταν η πρώτη μου σκέψη. Αλλά πριν τις "κουκουβάγες" υπάρχουν και οι "γάτοι" ! :) .

Επειδή όμως το σχήμα είναι "προκλητικό" ελπίζω να βρώ και άλλη γεωμετρική κατασκευή. Εχει πολλά πράγματα εδώ! από τα οποία μπορεί να πιαστεί κάποιος.

Στάθης


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5055
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Κατασκευή ευθείας

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #6 από Doloros » Τρί Μαρ 21, 2017 11:16 pm

Έστω E η προβολή του P στην CD. Θέτω BS = d ( σταθερό ) και AB = a

(σταθερό) ενώ PB = x ( εις αναζήτηση ).

κατασκευή ευθείας Βισβίκης.png
κατασκευή ευθείας Βισβίκης.png (11.8 KiB) Προβλήθηκε 702 φορές


Επειδή \vartriangle CSQ \approx \vartriangle BSP θα έχω \boxed{CQ = u = \frac{{(a - d)x}}{d}} Ενώ

P{Q^2} = P{E^2} + E{Q^2} = {a^2} + {(x + u)^2} από την εξίσωση :

{(a - x + u)^2} = {a^2} + {(x + u)^2} βρίσκω \boxed{x = \frac{{a(a - 2d)}}{{2(a - d)}}} .

Έτσι οδηγούμαστε στην παρακάτω κατασκευή.

κατασκευή ευθείας Βισβίκης_katask.png
κατασκευή ευθείας Βισβίκης_katask.png (15.66 KiB) Προβλήθηκε 695 φορές



Γράφω τον κύκλο (B,BS) που τέμνει ακόμα την BC στο T η AT τέμνει την

ευθεία CD στο Q και η QS είναι η ζητούμενη .

Η απόδειξη προκύπτει από την ομοιότητα των τριγώνων BAT και CQT.


Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 611
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Κατασκευή ευθείας

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #7 από Γιώργος Μήτσιος » Τετ Μαρ 22, 2017 3:16 am

Καλημέρα σε όλους !
Μια προσπάθεια με χρήση και του σχήματος :
22-3-17 Κατασκευή...PNG
22-3-17 Κατασκευή...PNG (10.64 KiB) Προβλήθηκε 668 φορές

Έστω ότι η PSQ κατασκευάστηκε. Το O είναι το κέντρο συμμετρίας . Φέρω την QOE .Τότε είναι AE=CQ\Rightarrow PQ=PE άρα PO\perp QE.
Για να βρούμε την θέση του P αρκει να υπολογίσουμε την P\widehat{O}S.

Τα τρίγωνα ZOA,BOP είναι ίσα αφού OA=OB και οι προσκείμενες γωνίες είναι 45-άρες οι μεν και συμ/κές της A\widehat{O}P οι δε , άρα AZ=PB.

Από τα όμοια τρίγωνα παίρνουμε διαδοχικά : \dfrac{OP}{OQ}=\dfrac{AZ}{AE}=\dfrac{PB}{CQ}=\dfrac{PS}{SQ} συνεπώς η OS διχοτόμος της P\widehat{O}Q


άρα P\widehat{O}S=45^{0} και η θέση του P έχει προσδιοριστεί ..

Φιλικά Γιώργος .


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5648
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Κατασκευή ευθείας

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #8 από george visvikis » Τετ Μαρ 22, 2017 9:43 am

Να ευχαριστήσω τον Αλέξανδρο, τον Νίκο, το Στάθη (η σκέψη του συνέπεσε με του Αλέξανδρου) και το Γιώργο

για τις πολύ όμορφες και ξεχωριστές κατασκευές τους! :clap2:

Να πω επίσης, για όποιον ενδιαφέρεται ν' ασχοληθεί, ότι υπάρχουν τουλάχιστον δύο ακόμα απλές κατασκευές

της άσκησης, εκ των οποίων η μία χωρίς υπολογισμούς!

Κερδίζει όποιος συμπέσει με την αρχική μου σκέψη...Καλή διασκέδαση! :lol:


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5055
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Κατασκευή ευθείας

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #9 από Doloros » Τετ Μαρ 22, 2017 10:04 am

george visvikis έγραψε:Να ευχαριστήσω τον Αλέξανδρο, τον Νίκο, το Στάθη (η σκέψη του συνέπεσε με του Αλέξανδρου) και το Γιώργο

για τις πολύ όμορφες και ξεχωριστές κατασκευές τους! :clap2:

Να πω επίσης, για όποιον ενδιαφέρεται ν' ασχοληθεί, ότι υπάρχουν τουλάχιστον δύο ακόμα απλές κατασκευές

της άσκησης, εκ των οποίων η μία χωρίς υπολογισμούς!

Κερδίζει όποιος συμπέσει με την αρχική μου σκέψη...Καλή διασκέδαση! :lol:



Ακόμα λοιπόν μία.

Μια ακόμη λύση στην κατασκευή ευθείας του Βισ βίκη.png
Μια ακόμη λύση στην κατασκευή ευθείας του Βισ βίκη.png (14.45 KiB) Προβλήθηκε 642 φορές



Από το S φέρνω την εφαπτομένη στον εγγεγραμμένο κύκλο του τετραγώνου.

Απόδειξη

Μια ακόμη λύση στην κατασκευή ευθείας_απόδειξη.png
Μια ακόμη λύση στην κατασκευή ευθείας_απόδειξη.png (15.69 KiB) Προβλήθηκε 632 φορές


\left\{ \begin{gathered}
  AP = \frac{a}{2} + KP \hfill \\
  CQ = MQ - \frac{a}{2} \hfill \\ 
\end{gathered}  \right. \Rightarrow AP + CQ = KP + MQ = PT + TQ = PQ


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5648
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Κατασκευή ευθείας

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #10 από george visvikis » Τετ Μαρ 22, 2017 10:30 am

Doloros έγραψε:
george visvikis έγραψε:Να ευχαριστήσω τον Αλέξανδρο, τον Νίκο, το Στάθη (η σκέψη του συνέπεσε με του Αλέξανδρου) και το Γιώργο

για τις πολύ όμορφες και ξεχωριστές κατασκευές τους! :clap2:

Να πω επίσης, για όποιον ενδιαφέρεται ν' ασχοληθεί, ότι υπάρχουν τουλάχιστον δύο ακόμα απλές κατασκευές

της άσκησης, εκ των οποίων η μία χωρίς υπολογισμούς!

Κερδίζει όποιος συμπέσει με την αρχική μου σκέψη...Καλή διασκέδαση! :lol:



Ακόμα λοιπόν μία.

Μια ακόμη λύση στην κατασκευή ευθείας του Βισ βίκη.png


Από το S φέρνω την εφαπτομένη στον εγγεγραμμένο κύκλο του τετραγώνου.


Αυτό ακριβώς!!! :clap2: :clap2:

And the Oscar goes to Doloros
:winner_third_h4h:


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 8731
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Κατασκευή ευθείας

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #11 από KARKAR » Τετ Μαρ 22, 2017 12:25 pm

Η ταινία εκτός από το όσκαρ α' λυτικού ρόλου , κερδίζει και - με τον Γιώργο Βισβίκη -

και όσκαρ ασκησο-σκηνοθεσίας . Αν βραβεύαμε την άσκηση του μήνα -

υπάρχει τέτοια σκέψη ? - σίγουρα θα ήταν το πρώτο φαβορί :clap2:


Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 559
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Κατασκευή ευθείας

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #12 από Al.Koutsouridis » Τετ Μαρ 22, 2017 2:39 pm

κ.Νίκο :clap2: . Το βρόβλημα, πέραν των άλλων, είναι όμορφο γιατί και μετά την λύση του κ.Νίκου έχει έντονη την αίσθηση "μα ήταν σχεδόν προφανές γιατί δεν το είδα".


Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1072
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Κατασκευή ευθείας

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #13 από Ορέστης Λιγνός » Τετ Μαρ 22, 2017 3:32 pm

Καταπληκτική λύση κύριε Νίκο! :notworthy:

Αν χρειαστείς παιδί για πάτημα των σταφυλιών από τα αμπελοχώραφά σου να με
προτιμήσεις , να είμαι κοντά σου να μάθω την τέχνη και να μου βάζεις και κανένα
προβληματάκι !!!


Ο καθένας λέει ότι να΄ναι και είναι πάντα σύμφωνος με τον εαυτό του ! 'Ολοι μιλάνε και κανείς δεν ακούει! Ο κόσμος είναι σε νοητική αδράνεια ! Ελένη Γλυκατζή Αρβελέρ
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3688
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Κατασκευή ευθείας

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #14 από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Τετ Μαρ 22, 2017 5:24 pm

Doloros έγραψε:
george visvikis έγραψε:Να ευχαριστήσω τον Αλέξανδρο, τον Νίκο, το Στάθη (η σκέψη του συνέπεσε με του Αλέξανδρου) και το Γιώργο

για τις πολύ όμορφες και ξεχωριστές κατασκευές τους! :clap2:

Να πω επίσης, για όποιον ενδιαφέρεται ν' ασχοληθεί, ότι υπάρχουν τουλάχιστον δύο ακόμα απλές κατασκευές

της άσκησης, εκ των οποίων η μία χωρίς υπολογισμούς!

Κερδίζει όποιος συμπέσει με την αρχική μου σκέψη...Καλή διασκέδαση! :lol:



Ακόμα λοιπόν μία.

Μια ακόμη λύση στην κατασκευή ευθείας του Βισ βίκη.png


Από το S φέρνω την εφαπτομένη στον εγγεγραμμένο κύκλο του τετραγώνου.

Απόδειξη

Μια ακόμη λύση στην κατασκευή ευθείας_απόδειξη.png

\left\{ \begin{gathered}
  AP = \frac{a}{2} + KP \hfill \\
  CQ = MQ - \frac{a}{2} \hfill \\ 
\end{gathered}  \right. \Rightarrow AP + CQ = KP + MQ = PT + TQ = PQ

:winner_first_h4h:


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2955
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Re: Κατασκευή ευθείας

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #15 από Μιχάλης Νάννος » Τετ Μαρ 22, 2017 7:39 pm

Doloros έγραψε:
george visvikis έγραψε:Να ευχαριστήσω τον Αλέξανδρο, τον Νίκο, το Στάθη (η σκέψη του συνέπεσε με του Αλέξανδρου) και το Γιώργο

για τις πολύ όμορφες και ξεχωριστές κατασκευές τους! :clap2:

Να πω επίσης, για όποιον ενδιαφέρεται ν' ασχοληθεί, ότι υπάρχουν τουλάχιστον δύο ακόμα απλές κατασκευές

της άσκησης, εκ των οποίων η μία χωρίς υπολογισμούς!

Κερδίζει όποιος συμπέσει με την αρχική μου σκέψη...Καλή διασκέδαση! :lol:



Ακόμα λοιπόν μία.




Από το S φέρνω την εφαπτομένη στον εγγεγραμμένο κύκλο του τετραγώνου.

Απόδειξη



\left\{ \begin{gathered}
  AP = \frac{a}{2} + KP \hfill \\
  CQ = MQ - \frac{a}{2} \hfill \\ 
\end{gathered}  \right. \Rightarrow AP + CQ = KP + MQ = PT + TQ = PQ

Μπράβο σε όλους και ειδικά στο φίλο Νίκο Φραγκάκη για την σπουδαία, λιτή και απέριττη κατασκευή που εμπνεύστηκε.

Να σημειώσω ότι το :clap2: είναι η τροφή του καλλιτέχνη-μαθηματικού, ανεξαρτήτως ηλικίας, μορφωτικού επιπέδου και δημοσιεύσεων στο :logo: , οπότε πρέπει να δίνεται απλόχερα!

Υ.Γ. Παρατήρησα, μέσω geogebra, ότι αν ενώσω το S με το μέσο M της CD, τότε DP//MS και έτσι προσδιορίζεται το P…απόδειξη δεν έχω για την ώρα


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Φανης Θεοφανιδης
Δημοσιεύσεις: 730
Εγγραφή: Παρ Απρ 10, 2015 9:04 pm

Re: Κατασκευή ευθείας

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #16 από Φανης Θεοφανιδης » Τετ Μαρ 22, 2017 8:15 pm

Να συγχαρώ και εγώ τον Μάγο του :logo: Νίκο Φραγκάκη.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5648
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Κατασκευή ευθείας

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #17 από george visvikis » Τετ Μαρ 22, 2017 9:00 pm

Μιχάλης Νάννος έγραψε:
Υ.Γ. Παρατήρησα, μέσω geogebra, ότι αν ενώσω το S με το μέσο M της CD, τότε DP//MS και έτσι προσδιορίζεται το P…απόδειξη δεν έχω για την ώρα


Αυτή είναι η δεύτερη κατασκευή(η πρώτη ήταν του Νίκου Φραγκάκη) στην οποία αναφέρθηκα πιο πάνω λέγοντας:

"Να πω επίσης, για όποιον ενδιαφέρεται ν' ασχοληθεί, ότι υπάρχουν τουλάχιστον δύο ακόμα απλές κατασκευές

της άσκησης, εκ των οποίων η μία χωρίς υπολογισμούς"!


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3753
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Κατασκευή ευθείας

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #18 από Γιώργος Ρίζος » Τετ Μαρ 22, 2017 9:23 pm

Καλησπέρα σε όλους. Θεώρησα υποχρέωση να δώσω και την ΑναλυτικοΓεωμετρική προσέγγιση του θέματος, που μάς δίνει (δίχως να τον αναζητήσουμε εξ αρχής) τον (προφανή) περιορισμό ότι το S δεν μπορεί να είναι το μέσο του BC.

22-03-2017 Γεωμετρία.jpg
22-03-2017 Γεωμετρία.jpg (19.9 KiB) Προβλήθηκε 490 φορές


Έστω A(-1,0), B(0, 0), C(0, 1), D(-1,1), S(0, a), 0, < a< 1.

Έστω \displaystyle PSQ:\;\;y = \lambda x + a,\;\;\lambda  > 0 , οπότε \displaystyle P\left( { - \frac{a}{\lambda },\;0} \right),\;\;Q\left( {\frac{{1 - a}}{\lambda },\;1} \right) .

Τότε, \displaystyle PQ = AP + CQ \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {\frac{{1 - a}}{\lambda } + \frac{a}{\lambda }} \right)}^2} + 1}  = \left| {\frac{a}{\lambda } - 1} \right| + \frac{{1 - a}}{\lambda }

Αφού η PQ τέμνει την AB σε εσωτερικό σημείο, είναι \displaystyle \frac{a}{\lambda } < 1 .

Οπότε, η εξίσωση γίνεται \displaystyle \frac{{\sqrt {1 + {\lambda ^2}} }}{\lambda } = \frac{{\lambda  - a}}{\lambda } + \frac{{1 - a}}{\lambda } \Leftrightarrow {\lambda ^2} + 1 = {\left( {\lambda  - 2a + 1} \right)^2} \Leftrightarrow 2{a^2} - 2\lambda a + \lambda  - 2a = 0 (1).

Αν \displaystyle a \ne \frac{1}{2} , είναι \displaystyle \lambda  = \frac{{2a\left( {a - 1} \right)}}{{2a - 1}} . Προσδιορίζουμε το συντελεστή διεύθυνσης της PS, συναρτήσει του a ή εναλλακτικά, προσδιορίζουμε το μήκος του BP που ισούται με \displaystyle \left( {BP} \right) = \frac{a}{\lambda } = \frac{{2a - 1}}{{2\left( {a - 1} \right)}}

Αν \displaystyle a = \frac{1}{2} , τότε η εξίσωση (1) είναι αδύνατη.

Αυτό είναι προφανές, αφού τότε, AP+CQ=AP+PB=AB, που δεν μπορεί αν είναι ίσο με το PQ.


Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 611
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Κατασκευή ευθείας

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #19 από Γιώργος Μήτσιος » Πέμ Μαρ 23, 2017 1:09 am

Καλημέρα στην μεγάλη παρέα ! Ένα ακόμη :clap2: κι' από μένα στον αγαπητό Νίκο Φραγκάκη (και) για την τελευταία υπέροχη κατασκευή !
Υποβάλλω στη συνέχεια άλλη μια προσπάθεια :
23-3-17 Κατασκευή... GM.PNG
23-3-17 Κατασκευή... GM.PNG (7.97 KiB) Προβλήθηκε 444 φορές

Το O είναι το μέσον της AC. Με δοσμένο το S , η O\widehat{S}C είναι επίσης γνωστή.

Τότε το σημείο P της πλευράς AB για το οποίο ισχύει O\widehat{S}P=O\widehat{S}C= \varphi είναι το ζητούμενο ,δηλ

Μπορούμε να δείξουμε ότι ισχύει PQ=AP +CQ όπου Q η τομή των PS,DC..

Ας .. :) ..προβλέψω ότι θα δοθεί απόδειξη (πιθανότατα κομψότερη απ' αυτή που έχω υπ' όψιν ) ..

Φιλικά Γιώργος.


Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3688
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Κατασκευή ευθείας

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #20 από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Πέμ Μαρ 23, 2017 1:23 am

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:Καλημέρα στην μεγάλη παρέα ! Ένα ακόμη :clap2: κι' από μένα στον αγαπητό Νίκο Φραγκάκη (και) για την τελευταία υπέροχη κατασκευή !
Υποβάλλω στη συνέχεια άλλη μια προσπάθεια :
23-3-17 Κατασκευή... GM.PNG
Το O είναι το μέσον της AC. Με δοσμένο το S , η O\widehat{S}C είναι επίσης γνωστή.

Τότε το σημείο P της πλευράς AB για το οποίο ισχύει O\widehat{S}P=O\widehat{S}C= \varphi είναι το ζητούμενο ,δηλ

Μπορούμε να δείξουμε ότι ισχύει PQ=AP +CQ όπου Q η τομή των PS,DC..

Ας .. :) ..προβλέψω ότι θα δοθεί απόδειξη (πιθανότατα κομψότερη απ' αυτή που έχω υπ' όψιν ) ..

Φιλικά Γιώργος.


Από \angle OSC=\angle OSP\Rightarrow d\left( O,BC \right)=d\left( O,SP \right)\Rightarrow SP εφάπτεται στον έγκυκλο του τετραγώνου και η ζητούμενη ισότητα προκύπτει άμεσα από την εμπνευσμένη λύση του Νίκου (Φραγκάκη)

Στάθης


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης