Ενδιαφέρουσα διχοτόμηση

#1

: Ενδιαφέρουσα διχοτόμηση.png (14.26 KiB) Προβλήθηκε 1348 φορές

Έστω τυχόν σημείο της πλευράς τετραγώνου κέντρου και ας είναι το σημείο τομής της εκ του καθέτου στην με την . Αν είναι τα σημεία τομής της καθέτου επί την στο με τις ευθείες αντίστοιχα να δειχθεί ότι η διχοτομεί τη γωνία $\angle CQO$ όπου $O\equiv SF\cap KM$ .

Στάθης

Υ.Σ. Μήπως έχουμε ένα διαφορετικό τρόπο της κατασκευής αυτής

#2

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε:Ενδιαφέρουσα διχοτόμηση.pngΈστω τυχόν σημείο της πλευράς τετραγώνου κέντρου και ας είναι το σημείο τομής της εκ του καθέτου στην με την . Αν είναι τα σημεία τομής της καθέτου επί την στο με τις ευθείες αντίστοιχα να δειχθεί ότι η διχοτομεί τη γωνία $\angle CQO$ όπου $O\equiv SF\cap KM$ .

Στάθης

Υ.Σ. Μήπως έχουμε ένα διαφορετικό τρόπο της κατασκευής αυτής

: Ενδιαφέρουσα διχοτόμιση.png (29.52 KiB) Προβλήθηκε 1292 φορές

Ας είναι

η τομή των ευθειών $FS\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DC$ και

το σημείο τομής των

$BC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DF$ επειδή στο τραπέζιο TCQF

το

είναι μέσο της μιας βάσης του και το

θα είναι μέσο της βάσης του

. Τότε όμως όπως έδειξα στη άσκηση της

παραπομπής DP + BF = PF

αλλά από το τραπέζιο DPFB

η διάμεσος του

$KO = \dfrac{{DP + BF}}{2}$ και άρα $KO = \dfrac{{PF}}{2} = OF = OQ$ . Μα αφού $KO = OQ\,\,\kappa \alpha \iota \,\,KO//DQ$

Η

θα διχοτομεί τη γωνία $\widehat {DQO}$ .

#3

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε:Ενδιαφέρουσα διχοτόμηση.pngΈστω τυχόν σημείο της πλευράς τετραγώνου κέντρου και ας είναι το σημείο τομής της εκ του καθέτου στην με την . Αν είναι τα σημεία τομής της καθέτου επί την στο με τις ευθείες αντίστοιχα να δειχθεί ότι η διχοτομεί τη γωνία $\angle CQO$ όπου $O\equiv SF\cap KM$ .

Στάθης

Υ.Σ. Μήπως έχουμε ένα διαφορετικό τρόπο της κατασκευής αυτής

Χαιρετώ τους εκλεκτούς φίλους!

: Ενδιαφέρουσα διχοτόμηση.png (23.23 KiB) Προβλήθηκε 1245 φορές

Όπως απέδειξε ο Νίκος, είναι PF=DP+BF

και σύμφωνα με την απόδειξη (και πάλι του Νίκου) στην παραπομπή,

η

θα εφάπτεται του κύκλου $(K,\dfrac{a}{2}),$ το ίδιο και η

(αφού η

είναι μεσοκάθετη της

). Άρα ο κύκλος $(K,\dfrac{a}{2}),$

είναι παρεγγεγραμμένος του τριγώνου QOP

και το ζητούμενο έπεται.

#4

Πολυ ωραία φίλοι μου!. Όμως αν θελουμε να έχουν μια ακόμα κατασκευή της παραπομπής θα πρέπει να δείχθει η διχοτόμηση ανεξάρτητα από την παραπομπή για να προκύψει η παραπομπή .

Στάθης

#5

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε:Πολυ ωραία φίλοι μου!. Όμως αν θελουμε να έχουν μια ακόμα κατασκευή της παραπομπής θα πρέπει να δείχθει η διχοτόμηση ανεξάρτητα από την παραπομπή για να προκύψει η παραπομπή .

Στάθης

Σωστά!

Η

τέμνει την

στο

Έστω

η πλευρά του τετραγώνου, BF=x, DP=y.

Προφανώς

είναι το μέσο της PF.

Αρκεί να δείξω ότι OK=OQ,

δηλαδή $P\widehat KF=90^0.$

: Ενδιαφέρουσα διχοτόμηση.b.png (20.53 KiB) Προβλήθηκε 1184 φορές

$\displaystyle{PC||BF \Leftrightarrow \frac{{a - y}}{x} = \frac{{SC}}{{SB}} \Leftrightarrow \frac{{a - y}}{{a - y + x}} = \frac{{SC}}{a} \Leftrightarrow }$ $\boxed{SC = \frac{{a(a - y)}}{{a - y + x}}}$ (1)

$\displaystyle{SC||MQ \Leftrightarrow \frac{a}{{a + x}} = \frac{{2SC}}{a} \Leftrightarrow SC = \frac{{{a^2}}}{{2(a + x)}}\mathop \Leftrightarrow \limits^{(1)} }$ $\boxed{a^2-ay+ax=2xy}$ (2)

Πυθαγόρειο στο KMF

και νόμο συνημιτόνων στο KDP:

$\displaystyle{K{F^2} = {\left( {\frac{a}{2} + x} \right)^2} + \frac{{{a^2}}}{4},K{P^2} = {\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} + {y^2} - 2ay\frac{{\sqrt 2 }}{2} \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow K{P^2} + K{F^2} = {x^2} + {y^2} + {a^2} + ax - ay}$

και από τη (2),

$\boxed{KP^2+KF^2=(x+y)^2}$ Τέλος Π. Θ στο PQF:

$\displaystyle{P{F^2} = {(a + x - y)^2} + {a^2}\mathop \Leftrightarrow \limits^{(2)} }$ $\boxed{PF^2=(x+y)^2}$

Από το αντίστροφο του Πυθαγορείου έπεται το ζητούμενο. Έχουμε λοιπόν, ότι $\boxed{PF=DP+BF}$ και η

διχοτομεί τη γωνία

$C\widehat QO$ . Άρα πράγματι, από αυτή την κατασκευή προκύπτει και η κατασκευή της παραπομπής.

Στάθη, έχεις πιο σύντομη λύση;

#6

george visvikis έγραψε:
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε:Πολυ ωραία φίλοι μου!. Όμως αν θελουμε να έχουν μια ακόμα κατασκευή της παραπομπής θα πρέπει να δείχθει η διχοτόμηση ανεξάρτητα από την παραπομπή για να προκύψει η παραπομπή .

Στάθης
...

Στάθη, έχεις πιο σύντομη λύση;

Προφανώς Γιώργο όπως και να γίνει το θέμα είναι μετρικό (λόγω παραλληλίας και ορθών γωνιών). Υπάρχει μια πιο σύντομη λύση (στο ίδιο πάντα μετρικό μοτίβο(δεν ξέρω αν μπορούμε να ξεφύγουμε από αυτό)) από το Θάνο Καλογεράκη εδώ

Στάθης

#7

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε: Προφανώς Γιώργο όπως και να γίνει το θέμα είναι μετρικό (λόγω παραλληλίας και ορθών γωνιών). Υπάρχει μια πιο σύντομη λύση (στο ίδιο πάντα μετρικό μοτίβο(δεν ξέρω αν μπορούμε να ξεφύγουμε από αυτό)) από το Θάνο Καλογεράκη εδώ

Στάθης

Δυστυχώς δεν μπορώ να δω τη λύση γιατί δεν έχω (!) facebook

#8

: image.jpg (99.95 KiB) Προβλήθηκε 1094 φορές

george visvikis έγραψε:
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε: Προφανώς Γιώργο όπως και να γίνει το θέμα είναι μετρικό (λόγω παραλληλίας και ορθών γωνιών). Υπάρχει μια πιο σύντομη λύση (στο ίδιο πάντα μετρικό μοτίβο(δεν ξέρω αν μπορούμε να ξεφύγουμε από αυτό)) από το Θάνο Καλογεράκη εδώ

Στάθης
Δυστυχώς δεν μπορώ να δω τη λύση γιατί δεν έχω (!) facebook

Γιώργο , εχω νομίζω και μια άλλη απόδειξη που θα γράψω το βραδάκι .

Με όλη μου την εκτίμηση
Στάθης

#9

Σ' ευχαριστώ πολύ Στάθη!

#10

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε:Ενδιαφέρουσα διχοτόμηση.pngΈστω τυχόν σημείο της πλευράς τετραγώνου κέντρου και ας είναι το σημείο τομής της εκ του καθέτου στην με την . Αν είναι τα σημεία τομής της καθέτου επί την στο με τις ευθείες αντίστοιχα να δειχθεί ότι η διχοτομεί τη γωνία $\angle CQO$ όπου $O\equiv SF\cap KM$ .

Στάθης

Υ.Σ. Μήπως έχουμε ένα διαφορετικό τρόπο της κατασκευής αυτής

$\bullet$ Έστω $L\equiv FS\cap DC$ και ας είναι οι ορθές προβολές του στις και (σε μήκη) αντίστοιχα .

Τότε με και θα είναι προφανώς $LT = \left( {a - y} \right)\sqrt 2$ . Ετσι $\boxed{\dfrac{{LT}}{{LN}} = \dfrac{{a - y}}{{y\sqrt 2 }}}:\left( 1 \right)$ και

$\dfrac{b}{{a - y}}\mathop = \limits^{LC\parallel BF} \dfrac{{SB}}{{SC}} = \dfrac{{2a}}{{SB}} - 1\mathop = \limits^{SC\parallel MQ}$ $\dfrac{{2DQ}}{{DC}} - 1 = \dfrac{{4a + 2b}}{{2a}} - 1 = \dfrac{{a + b}}{a} \Rightarrow$ $\left\{ \begin{gathered} a - y = \dfrac{{ab}}{{a + b}} \hfill \\ y = \dfrac{{{a^2}}}{{a + b}} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \dfrac{{a - y}}{{y\sqrt 2 }} = \dfrac{b}{{a\sqrt 2 }}\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 1 \right)} \boxed{\dfrac{{LT}}{{NL}} = \dfrac{{BF}}{{KB}}}:\left( 2 \right)$
[attachment=0]Ενδειαφέρουσα διχοτόμηση.png[/attachment]
$\bullet$ Από την $\left( 2 \right)$ σύμφωνα με το [/color][color=#000000][b][i]Stathis ko ... b][/color] προκύπτει ότι $LK \bot FK\mathop \Rightarrow \limits^{FQ \bot LQ} K,F,Q,L$ σημεία κύκλου διαμέτρου (προφανώς κέντρου ) άρα $OK=OQ\Rightarrow \ldots QK$ διχοτόμος της $\angle OQL$ .

Παρατήρηση $\dfrac{{SL}}{{SF}} = \dfrac{{a - y}}{b} = \dfrac{{a - \dfrac{{{a^2}}}{{a + b}}}}{b}$ $= \dfrac{a}{{a + b}} = \dfrac{{AE}}{{EF}} \Rightarrow \boxed{SE\parallel AL}$ (όπου το μέσο της ) πράγμα που επιβεβαιώνει την παρατήρηση του Μιχάλη (Νάννου) στην κατασκευή ευθείας (15η δημοσίευση) και έτσι έχουμε δύο νέες κατασκευές της ζητούμενης ευθείας

Στάθης

#11

Καλησπέρα σε όλους τους αγαπητούς φίλους!

"Τι γυρεύει ο Καρτέσιος στα χωράφια του Ευκλείδη;", θα αναρωτηθεί κανείς...

Μια λύση δίχως βοηθητικές, μόνο με σύστημα συντεταγμένων, εξισώσεις ευθείων και ολίγη τριγωνομετρία στο τελείωμα.

: 24-03-2017 Γεωμετρία γ.jpg (45.31 KiB) Προβλήθηκε 1029 φορές

Έστω

.

Τότε, K(-1,1)

, $\displaystyle DS:\;\;y = \frac{a}{2}x + a$ , KM: y=1

, οπότε $\displaystyle M\left( {\frac{{2 - 2a}}{a},\;1} \right)$ .

Οπότε, $\displaystyle Q\left( {\frac{{2 - 2a}}{a},\;0} \right),\;\;F\left( {\frac{{2 - 2a}}{a},\;2} \right)$

Είναι $\displaystyle SF:\;\;y = \frac{{{a^2} - 2a}}{{2a - 2}}x + a$ , άρα $\displaystyle O\left( {\frac{{2{{\left( {a - 1} \right)}^2}}}{{2a - {a^2}}},\;1} \right)$ .

Είναι $\displaystyle \varepsilon \varphi \left( {CQK} \right) = \frac{1}{{1 + \frac{{2 - 2a}}{a}}} = \frac{a}{{2 - a}}$ και $\displaystyle \varepsilon \varphi \left( {CQO} \right) = \frac{1}{{\frac{{2 - 2a}}{a} - \frac{{2{{\left( {a - 1} \right)}^2}}}{{2a - {a^2}}}}} = \frac{{a\left( {2 - a} \right)}}{{2\left( {1 - a} \right)}}$ .

Είναι $\displaystyle \frac{{2\varepsilon \varphi \left( {CQK} \right)}}{{1 - \varepsilon {\varphi ^2}\left( {CQK} \right)}} = \frac{{\frac{{2a}}{{2 - a}}}}{{1 - {{\left( {\frac{a}{{2 - a}}} \right)}^2}}} = \frac{{a\left( {2 - a} \right)}}{{2\left( {1 - a} \right)}} = \varepsilon \varphi \left( {CQO} \right)$ , άρα η

διχοτομεί την $\displaystyle \widehat {CQO}$ .

Ενδιαφέρουσα διχοτόμηση

Ενδιαφέρουσα διχοτόμηση

Re: Ενδιαφέρουσα διχοτόμηση

Re: Ενδιαφέρουσα διχοτόμηση

Re: Ενδιαφέρουσα διχοτόμηση

Re: Ενδιαφέρουσα διχοτόμηση

Re: Ενδιαφέρουσα διχοτόμηση

Re: Ενδιαφέρουσα διχοτόμηση

Re: Ενδιαφέρουσα διχοτόμηση

Re: Ενδιαφέρουσα διχοτόμηση

Re: Ενδιαφέρουσα διχοτόμηση

Re: Ενδιαφέρουσα διχοτόμηση

Μέλη σε σύνδεση